高中人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质3.3 幂函数巩固练习

3.3   幂函数

一、选择题

1．（2017·全国高一课时练习）如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A.－1<n<0,0<m<1 B.n<－1,0<m<1

C.－1<n<0，m>1 D.n<－1，m>1

【答案】B

【解析】由题图知，在上是增函数，

在上为减函数，

，

又当时，的图象在的下方，

的图象在的下方，

，

从而，故选B.

2．（2018·全国高一课时练习）若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是(　　)

A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)

C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)

【答案】D

【解析】

本题主要考查的是幂函数的图像与性质。设幂函数为，因为图像过，所以。由幂函数的性质：当时，在上是减函数。又为偶函数，所以在上是增函数。应选D。

3．（2018·浙江高三课时练习）已知，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a<c.

故选A.

4．（2017·全国高一课时练习）    下列结论中，正确的是(　　)

A.幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)

B.幂函数的图象可以出现在第四象限

C.当幂指数α取1,3， 时，幂函数y＝xα是增函数

D.当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

【答案】C

【解析】

当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；

因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选B不正确；

当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D不正确．

故选C.

5．（2017·全国高一课时练习）    在下列四个图形中，y＝x的图像大致是(　　)

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

函数的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.

6．（2017·全国高一课时练习）若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图像不过原点，则m的取值范围为(　　)

A.1≤m≤2 B.m＝1或m＝2

C.m＝2 D.m＝1

【答案】D

【解析】

由幂函数的图像不过原点，可得，解得，，故选D.

二、填空题

7．（2017·全国高一课时练习）已知幂函数f（x）的部分对应值如下表：

则不等式f（|x|）≤2的解集是___________．

【答案】[–4，4]

【解析】

由表中数据知＝，∴α＝，∴f(x)＝，∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4,故填{x|－4≤x≤4}.

8．（2017·全国高一课时练习）    已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．

【答案】f(x)＝x－1

【解析】

∵函数的图像与x轴，y轴都无交点，

∴m2－1<0，解得－1<m<1；

∵图像关于原点对称，且m∈Z，

∴m＝0，∴f(x)＝x－1.

9．（2017·全国高一课时练习）若幂函数y＝xα的图像经过点(8，4)，则函数y＝xα的值域是________.

【答案】[0，＋∞)

【解析】

幂函数图象经过点，解得函数的值域为.

10．（2016·全国高一课时练习）已知幂函数f(x)＝，若f(a+1)<f(10−2a)，则实数a的取值范围是________．

【答案】(3，5)

【解析】f(x)＝＝(x>0)，易知f(x)在(0，+∞)上为减函数，又f(a+1)<f(10−2a)，

∴解得∴3<a<5.

三、解答题

11．（2017·全国高一课时练习）    已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：

(1)是幂函数；

(2)是正比例函数；

(3)是反比例函数；

(4)是二次函数．

【答案】(1)m＝2或m＝－1.(2)m＝－ .(3)m＝－ .(4) m＝－1.

【解析】(1)∵f(x)是幂函数，

故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，

解得m＝2或m＝－1.

(2)若f(x)是正比例函数，

则－5m－3＝1，解得m＝－.

此时m2－m－1≠0，故m＝－.

(3)若f(x)是反比例函数，

则－5m－3＝－1，

则m＝－，此时m2－m－1≠0，

故m＝－.

(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，

即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.

12．（2017·全国高一课时练习）    比较下列各题中两个幂的值的大小：

(1)2.3，2.4；

(2)，；

(3)(－0.31)，0.35.

【答案】(1)2.3<2.4.(2) >；(3)(－0.31) <0.35.

【解析】(1)∵y＝为R上的增函数，

又2.3<2.4，

∴2.3<2.4.

(2)∵y＝为(0，＋∞)上的减函数，又<，

∴()>().

(3)∵y＝为R上的偶函数，

∴＝.

又函数y＝为[0，＋∞)上的增函数，

且0.31<0.35，

∴0.31<0.35，即(－0.31) <0.35.