黑龙江省大庆市林甸县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案）

黑龙江省大庆市林甸县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（   ）

A． B． C． D．

2．如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（　　）

A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定

3．桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（　　）

A．12个 B．8个 C．14个 D．13个

4．已知点A（x，y)，B(x，y)，C(x，y)都在反比例函数y=(k<0)的图象上，且x<x<0<x，则y，y，y的大小关系是（   ）

A．y>y>y B．y>y>y C．y>y>y D．y>y>y

5．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（　　）

A．有两个正根 B．有一正根一负根且正根的绝对值大

C．有两个负根 D．有一正根一负根且负根的绝对值大

6．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则的值等于（ ）

A． B． C．或 D．

7．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（    ）

A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2

8．若a+b=3，a－b=7，则的值为  （   ）

A．－21 B．21 C．－10 D．10

9．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（   ）

A．6 B．7 C．8 D．9

10．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（    ）

A．25° B．30° C．35° D．40°

二、填空题

11．一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2 000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有_____尾鲫鱼．

12．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为________．

13．已知函数是反比例函数，则的值为__________．

14．当m=__________时，关于x的方程(m+2)x+5x+7=0是一元二次方程．

15．对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b=，若2⊕（2x﹣1）=1，则x的值为____．

16．一个三角形三条边长分别为xcm、（x+1）cm、(x+2)cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是__________．

17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则EF=_____ cm．

18．如图，在正方形，E是对角线上一点，的延长线交于点F，连接．若，则______．

三、解答题

19．解一元二次方程2(x-3)=x-9

20．为了测量校园内水平地面上的一棵树的高度，小明在距树5米处立了一根高为3米的标杆，然后小明前后调整自己的位置，当小明与标杆相距1米时，小明的眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上．已知小明的眼睛距地面1.5米，求树的高度．

21．如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．

求证：△ABC∽△AED．

22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E，若AC=8，BD=6，求BE的长．

23．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求．某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10件，问应将每件涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？

24．如图，在△ABC中，∠B=，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始，以1cm/s的速度沿AB边向点B移动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟，能使△PBQ的面积等于8？

25．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上任意一点，点Q为BC上一点，且AP=CQ．

（1）求证：BP=DQ；

（2）若AB=4，且当PD=5时四边形PBQD为菱形．求AD为多少．

26．已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时).

(1)求关于的函数表达式.

(2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？

27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象交于点A(3，1)，且过点B(0，-2)．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式．

(2)如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且ΔABP的面积是3，求点P的坐标．

28．如图，在中，点分别在边上，的延长线相交于点，且

求证：

当时，求的长

参考答案

1．B

【详解】

分析: 先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解.

详解: 列表如下：

，

共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，

所以小亮恰好站在中间的概率=．

故选B.

点睛：本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率.

2．A

【详解】

当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小．故圆形阴影越来越小．

故选A.

3．D

【分析】

易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．

【详解】

解：底层正方体最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最多有13个．

故选：D．

【点睛】

本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆违章”找到所需正方体的个数．

4．A

【分析】

根据反比例函数的性质解答．

【详解】

解：∵反比例函数y=(k<0)，

∴该函数图象的两个分支在第二、四象限内，且在每个象限内y随着x的增大而增大，

∵点A（x，y)，B(x，y)，C(x，y)都在反比例函数y=(k<0)的图象上，且x<x<0<x，

∴y<0，y>y>0，

∴y>y>y，

故选：A．

【点睛】

此题考查反比例函数的性质：当k>0时，函数图象的两个分支在第一、三象限内，且在每个象限内y随着x的增大而减小；当k<0时，函数图象的两个分支在第二、四象限内，且在每个象限内y随着x的增大而增大．

5．B

【分析】

先根据根的判别式得出方程有两个不相等的实数根，设方程x2+bx-2=0的两个根为c、d，根据根与系数的关系得出c+d=-b，cd=-2，再判断即可．

【详解】

x2+bx−2=0，

△=b2−4×1×(−2)=b2+8，

即方程有两个不相等的实数根，

设方程x2+bx−2=0的两个根为c、d，

则c+d=−b，cd=−2，

由cd=−2得出方程的两个根一正一负，

由c+d=−b和b<0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，

故答案选：B.

【点睛】

本题考查的知识点是根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根的判别式及根与系数的关系.

6．B

【分析】

根据方程的两根互为倒数结合根的判别式以及根与系数的关系，即可得出关于的一元二次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论.

【详解】

关于的一元二次方程的两根互为倒数，

，

解得：.

故选：.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根的判别式及根与系数的关系找出关于的一元二次不等式以及一元二次方程是解题的关键.

7．B

【分析】

设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．

【详解】

解：设菱形的对角线分别为8x和6x，

已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，

根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，

即可知（4x）2+（3x）2=25，

解得x=1，

故菱形的对角线分别为8cm和6cm，

所以菱形的面积=×8×6=24cm2，

故选B．

【点睛】

本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．

8．A

【分析】

先把多项式分解因式，利用因式分解整体代入即可得到答案．

【详解】

解：

故选A．

【点睛】

本题考查的是多项式的因式分解，利用因式分解进行代数式的求值，掌握多项式的因式分解是解题关键．

9．C

【分析】

分为等腰底边和腰两种情况讨论，在网格中确定点即可．

【详解】

解：如图所示，①为等腰底边时，符合条件的点有4个；

②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个．

故选：．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的作法，解题关键是根据腰和底对已知线段分类讨论，准确判断点的位置．

10．B

【分析】

依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．

【详解】

解：∵DE垂直平分AC，

∴AD＝CD，

∴∠A＝∠ACD ＝50°，

又∵CD平分∠ACB，

∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，

∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

11．460．

【分析】

根据小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，即可求出捕捞鲫鱼的概率,然后根据概率公式即可求出水库里鲫鱼的尾数.

【详解】

解: 捕捞鲫鱼的概率为:1－51%－26%=23%

则水库里鲫鱼的尾数为: 2 000×23%=460

故答案为: 460

【点睛】

此题考查的是概率问题,掌握概率公式是解决此题的关键.

12．54

【分析】

根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．

【详解】

解：设这栋楼的高度为hm，

∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，

∴，

解得h=54（m）．

故答案为54．

【点睛】

本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．

13．1

【分析】

根据反比例函数的定义列出方程，然后解一元二次方程即可．

【详解】

解：根据题意得，n2﹣2＝﹣1且n+1≠0，

整理得，n2＝1且n+1≠0，

解得n＝1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．

14．2

【分析】

根据一元二次方程的概念可得，即可得解．

【详解】

解：∵关于x的方程(m+2)x+5x+7=0是一元二次方程，

∴，，

解得：，

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念，根据题意得出，是解题的关键．

15．．

【分析】

先根据规定运算把方程转化为一般形式，然后把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．

【详解】

解：2⊕（2x﹣1）=1可化为﹣=1，

方程两边都乘以2（2x﹣1）得，2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1），

解得x=，

检验：当x=时，2（2x﹣1）=2（2×﹣1）=≠0，

所以，x=是原分式方程的解，

即x的值为．

故答案为．

【点睛】

本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

16．1<x≤12

【分析】

根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可．

【详解】

解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x＋1）cm，（x＋2）cm，它的周长不超过39cm，
∴，
解得1＜x≤12．
故答案为：1＜x≤12．

【点睛】

本题主要考查的是解一元一次不等式组，在解答此题时要注意三角形的三边关系．

17．．

【分析】

先由勾股定理求出BD，再得出OD，证明EF是△AOD的中位线，即可得出结果．

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，OD=BD，AD=BC=12，

∴BD==13，

∴OD=，

∵点E、F分别是AO、AD的中点，

∴EF是△AOD的中位线，

∴EF=OD=；

故答案为．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形中位线定理；熟练掌握菱形的性质，证明三角形中位线是解决问题的关键．

18．

【分析】

先证明，得到，可得到，再根据平行线的性质得到，可得，根据三角形内角和定理即可求解；

【详解】

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CB，AB∥CD，

又∵BD是角平分线，

∴，

又∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案是．

【点睛】

本题主要考查了利用正方形的性质求角度，准确利用三角形全等和三角形内角和定理求解是解题的关键．

19．

【分析】

利用因式分解法解方程．

【详解】

解：2(x-3)=x-9，

，

即，

则，

则．

【点睛】

此题考查解一元二次方程：因式分解法，正确掌握解一元二次方程的方法，并依据一元二次方程的特点恰当选择解方程的方法是解题的关键．

20．10.5米

【分析】

过点A作AH⊥ED与H，垂足为点H，交FC于点G，只需要证明△AFG∽△AEH，得到，求出EH的值即可得到答案.

【详解】

解：如图，过点A作AH⊥ED与H，垂足为点H，交FC于点G．

由题意可知：FG∥EH，

∴△AFG∽△AEH，

∴，

∵AG=BC=1米，HG=CD=5米，CG=HD=AB=1.5米，

∴，

∴HE=9，

∴ED=DH+EH=10.5米，

答：树ED的高为10.5米.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得到△AFG∽△AEH是解题的关键.

21．见解析

【分析】

根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似．可证明三角形相似．

【详解】

证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40，

∴，，

∴

又∵∠BAC＝∠EAD，

∴△ABC∽△AED．

【点睛】

本题考核知识点：相似三角形判定． 解题关键点：找出两组对应边成比例且夹角相等．

22．10

【分析】

先根据菱形和垂直的定义得到∠AOB=∠EDB=90°，AB∥CD，从而得到ED∥AC，即可证明四边形ACDE是平行四边形，得到ED=AC=8，再利用勾股定理求解即可.

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠AOB=90°，AB∥CD，

∵DE⊥BD，

∴∠EDB=90°，

∴∠AOB=∠EDB，

∴ED∥AC，

∴四边形ACDE是平行四边形，

∴ED=AC=8，

在直角三角形BDE中，.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质，垂直的定义，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

23．涨价2元

【分析】

设应将每个口罩涨价元，则每天可售出个，根据总利润每个的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【详解】

解：设应将每个口罩涨价元，则每天可售出个，

依题意，得：，

化简，得：，

解得：，．

又要让顾客得到实惠，

．

答：应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

24．经过2s或4s后，△PBQ的面积等于8．

【分析】

根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可．

【详解】

设经过s后，△PBQ的面积等于8．此时PB=，BQ=．

又△PBQ是直角三角形，且∠B=，

由题意，得，即，解得，．

经检验：，均符合题意．

因此，经过2s或4s后，△PBQ的面积等于8．

【点睛】

此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用直角三角形的面积公式列方程求解．

25．（1）见解析；（2）8.

【分析】

（1）依据矩形的性质，通过全等三角形的判定定理判定△ABP≌△QCD，所以BP=DQ．

（2）设AP=a，AD=5+a．当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=5．在直角△ABP中，根据勾股定理得到AP2+AB2=PB2，即a2+42=52，由此可以求得a，再可得AD的长度．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠C=90°，AB=CD，

在Rt△ABP和Rt△QCD中，

∴△ABP≌△QCD（SAS），

∴BP=DQ；

（2）设AP=a，AD=5+a．

当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=5，

在直角△ABP中，根据勾股定理得到AP2+AB2=PB2，即a2+42=52，

可得：a=3，

所以AD=3+5=8．

【点睛】

考查了、矩形的性质、勾股定理以及菱形的性质．通过全等三角形的判定定理判定△ABP≌△QCD是关键．

26．(1)v=；(2)平均每小时至少要卸货20吨．

【分析】

（1）直接利用vt=100进而得出答案；
（2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案．

【详解】

(1)由题意可得：100=vt，

则；

(2)∵不超过5小时卸完船上的这批货物，

∴t≤5，

则v≥=20，

答：平均每小时至少要卸货20吨．

【点睛】

考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．

27．（1），y=x-2；（2）点P的坐标为(4，0).

【分析】

(1)利用待定系数法，确定二函数的解析式即可；

(2)运用图形分割法，利用点P的坐标表示三角形的面积，求解即可.

【详解】

（1）∵反比例函数（m≠0）的图象过点A(3，1)，

∴， 

∴ m=3，

∴反比例函数的表达式为．

∵一次函数y=kx+b的图象过点A(3，1)和B(0，-2)，

∴解得

∴一次函数的表达式y=x-2．

 (2)如图，设一次函数y=x-2的图象与x轴的交点为C，

令y=0，则x-2=0，x=2，

∴点C的坐标为(2，0)．

∵

∴

∴PC=2

∵点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，

∴点P的坐标为(4，0)．

【点睛】

本题考查了待定系数法确定函数的解析式，交点的意义，用点的坐标表示三角形的面积，熟练使用待定系数法，灵活运用图形的分割法表示三角形的面积是解题的关键.

28．(1)见解析;(2)6.

【分析】

（1）先证，得，，可证；（2）根据相似三角形性质得，求AD即可.

【详解】

证明：，且

又

又

；

即，

【点睛】

考核知识点：相似三角形的判定和性质.分析判定相似三角形的条件是关键.