河南省商丘市睢阳区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案）

2020-2021学年河南省商丘市睢阳区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共10小题，30分）

1．（3分）下列各式是二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）下列曲线中，表示y是x函数的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．（3分）甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组的平均分相同，若要从中选择出一个各成员实力更平均的小组参加年级的比赛，那么应选（　　）

A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组

4．（3分）下列各式中，计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框中通过的是（　　）

A．2.9×2.2 B．2.8×2.3 C．2.7×2.4 D．2.6×2.5

6．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．下列结论不一定成立的是（　　）

A．AD＝BC B．AB∥CD C．∠DAB＝∠BCD D．∠DAC＝∠DCA

7．（3分）如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点B的坐标是（　　）

A．（4，2） B．（5，2） C．（4，3） D．（5，3）

8．（3分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学党史知识迎建党百年”为主题的党史知识竞赛，并将所有参赛学生的成绩进行统计整理，绘制成如图统计图（每个小组含前一个边界值，不含后一个边界值）．根据图中的信息判断：关于这次知识竞赛成绩的中位数的结论正确的是（　　）

A．中位数在60分～70分之间 

B．中位数在70分～80分之间 

C．中位数在80分～90分之间 

D．中位数在90分～100分之间

9．（3分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）

A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4

10．（3分）已知某四边形的两条对角线相交于点O．动点P从点A出发，沿四边形的边按A→B→C的路径匀速运动到点C．设点P运动的时间为x，线段OP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是（　　）

A． B． 

C． D．

二、填空题（每小题3分，共5个小题，15分）

11．（3分）化简二次根式：＝　                　，＝　                　．

12．（3分）如图，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是 　       　．

13．（3分）某商场为了招聘商品拆装上架员工一名，设置了计算机、语言和商品知识三项测试，并对这三项测试成绩分别赋权2，3，5．若某应试者三项测试成绩分别为70，50，80，则该应试者的平均成绩是 　   　．

14．（3分）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 　      　．

15．（3分）阅读下面材料：

已知：两条线段a、b．

求作：菱形AMBN，使得其对角线分别等于b和2a．

作法：（1）画一条线段AB等于b；

（2）分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径，在线段AB的上下各作两条弧，两弧相交于P、Q两点；

（3）作直线PQ交AB于点O；

（4）以O点为圆心，线段a的长为半径作两条弧，交直线PQ于M、N两点，连接AM、AN、BM、BN．

所以四边形AMBN就是所求的菱形．

写出四边形AMBN就是菱形的依据：　                　．

三、综合解答题（共8个小题，75分）

16．（8分）（1）计算：×﹣|2﹣|﹣（）﹣1；

（2）先化简，再求值：÷，其中x＝+1，y＝﹣1．

17．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，5），B（1，0），C（3，1），连接BC．

（1）在图中画出点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，A'C，并直接写出点A′的坐标；

（2）在（1）的基础上，试判断△A′BC的形状，并说明理由．

18．（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是 　             　．

19．（9分）某植物t天后的高度为ycm，l反映了y与t之间的关系．根据图象回答下列问题：

（1）求3天后该植物高度为多少？

（2）图象对应的一次函数y＝kt+b中，k和b的实际意义分别是什么？

20．（10分）甲、乙两人在“定位投篮”选拔赛测试中（共10轮，每轮投10个球）成绩如下：

（1）填表：

（2）如果你是教练，你会选择谁参加正式比赛？请说明理由．

21．（10分）小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快．如果两人同时起跑，小明肯定赢．现在小明让小亮先跑若干米．图中l1，l2，分别表示两人的路程与小明追赶时间的关系．

（1）哪条线表示小明的路程与时间之间的关系？

（2）小明让小亮先跑了多少米？

（3）谁将赢得这场比赛？

22．（10分）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．

（1）每个甲种书柜的进价是多少元？

（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？

23．（11分）阅读与思考：

正方形还有许多有趣的性质，下面是小宇同学找到的有关正方形的几个图形，想一想其中的道理．

如图，在正方形ABCD中，点E、F、H分别是边CD、AD，BC上的点．

获得发现：

如图①，当AE⊥BF时，则有AE＝BF；如图②，当AE⊥FH时，则有AE＝FH；如图③，当GE⊥FH时，则有GE＝FH．

想一想，这是为什么？结合图②给出证明．

解决问题：

如图④，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E与点B、C不重合），过点E作FG⊥AE，FG与边CD相交于点F，与边AB的延长线相交于点G．

（1）猜想线段BG、CF、BE的数量关系是 　         　，并证明你的猜想；

（2）连接AF，如果正方形的边长为2，设BE＝x，△AFG的面积为y，直接写出y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．

2020-2021学年河南省商丘市睢阳区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共10小题，30分）

1．（3分）下列各式是二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．

【解答】解：A、中被开方数﹣2＜0，无意义，故此选项不符合题意；

B、∵a2≥0，∴a2+1≥1，是二次根式，故此选项符合题意；

C、当a＜0时，无意义，故此选项不符合题意；

D、属于三次根式，故此选项不符合题意；

故选：B．

2．（3分）下列曲线中，表示y是x函数的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应进行判断即可．

【解答】解：在某个变化过程中，有两个变量x、y，一个量变化，另一个量也随之变化，当x每取一个值，y就有唯一的值与之相对应，这时我们就把x叫做自变量，y叫做因变量，y是x的函数，

只有选项B中的“x每取一个值，y有唯一值与之相对应”，其它选项中的都不是“有唯一相对应”的，所以选项B中的y表示x的函数，

故选：B．

3．（3分）甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组的平均分相同，若要从中选择出一个各成员实力更平均的小组参加年级的比赛，那么应选（　　）

A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组

【分析】在平均分相同的情况下，方差越小，波动越小，成绩越稳定．

【解答】解：由图表可得：，

∴若要从中选择出一个各成员实力更平均的小组参加年级的比赛，那么应选乙组．

故选：B．

4．（3分）下列各式中，计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．

【解答】解：A.与不能合并，所以A选项不符合题意；

B．原式＝2，所以B选项不符合题意；

C．原式＝＝3，所以C选项符合题意；

D．原式＝6×3＝18，所以D选项不符合题意．

故选：C．

5．（3分）一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框中通过的是（　　）

A．2.9×2.2 B．2.8×2.3 C．2.7×2.4 D．2.6×2.5

【分析】解答此题先要弄清题意，只要求出门框对角线的长再与已知薄木板的宽相比较即可得出答案．

【解答】解：薄木板不能从门框内通过．理由如下：

连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形，

根据勾股定理得AC＝＝＝≈2.236＞2.2．

∴只有2.9×2.2薄木板能从门框内通过，

故选：A．

6．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．下列结论不一定成立的是（　　）

A．AD＝BC B．AB∥CD C．∠DAB＝∠BCD D．∠DAC＝∠DCA

【分析】根据平行四边形的判定定理可以推出此四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断．

【解答】解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，∠BAD＝∠DCB，AD＝BC．

所以A、B、C三项均成立，

故选：D．

7．（3分）如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点B的坐标是（　　）

A．（4，2） B．（5，2） C．（4，3） D．（5，3）

【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，且BC＝OA即可得到结论．

【解答】解：如图，在▱OABC中，O（0，0），A（4，0），

∴OA＝BC＝4，

∵BC∥AO，

∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，

∴B（5，2）；

故选：B．

8．（3分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学党史知识迎建党百年”为主题的党史知识竞赛，并将所有参赛学生的成绩进行统计整理，绘制成如图统计图（每个小组含前一个边界值，不含后一个边界值）．根据图中的信息判断：关于这次知识竞赛成绩的中位数的结论正确的是（　　）

A．中位数在60分～70分之间 

B．中位数在70分～80分之间 

C．中位数在80分～90分之间 

D．中位数在90分～100分之间

【分析】求出调查总人数，再根据中位数的意义求解即可．

【解答】解：调查总人数为：30+90+90+60＝270（人），

将这270人的得分从小到大排列后，处在第135、136位的两个数都落在80～90分之间，

因此中位数在80分～90分之间．

故选：C．

9．（3分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）

A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4

【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．

【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，

当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；

当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；

当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，

∵，

∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，

故选：B．

10．（3分）已知某四边形的两条对角线相交于点O．动点P从点A出发，沿四边形的边按A→B→C的路径匀速运动到点C．设点P运动的时间为x，线段OP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】通过点P经过四边形各个顶点，观察图象的对称趋势问题可解．

【解答】解：C、D选项A→B→C路线都关于对角线BD对称，因而函数图象应具有对称性，故C、D错误，对于选项B点P从A到B过程中OP的长也存在对称性，则图象前半段也应该具有对称特征，故B错误．

故选：A．

二、填空题（每小题3分，共5个小题，15分）

11．（3分）化简二次根式：＝　　，＝　　．

【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．

【解答】解：＝＝，

＝．

故答案为：，．

12．（3分）如图，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是 　y＝2x+1　．

【分析】寻找寻找原直线解析式上的向上平移1个单位得到的点．

【解答】解：可从直线OA上找两点：（0，0）、（2，4）这两个点向上平移1个单位得到的点是（0，1）（2，5），那么这两个点在将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象y＝kx+b上，

则b＝1，2k+b＝5

解得：k＝2．

∴解析式为：y＝2x+1．

13．（3分）某商场为了招聘商品拆装上架员工一名，设置了计算机、语言和商品知识三项测试，并对这三项测试成绩分别赋权2，3，5．若某应试者三项测试成绩分别为70，50，80，则该应试者的平均成绩是 　69　．

【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式计算即可．

【解答】解：该应试者的平均成绩是：70×20%+50×30%+80×50%＝69．

故答案为：69．

14．（3分）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 　130cm　．

【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．

【解答】解：如图所示，

∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，

∴AB＝＝130（cm）．

答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．

故答案为：130cm．

15．（3分）阅读下面材料：

已知：两条线段a、b．

求作：菱形AMBN，使得其对角线分别等于b和2a．

作法：（1）画一条线段AB等于b；

（2）分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径，在线段AB的上下各作两条弧，两弧相交于P、Q两点；

（3）作直线PQ交AB于点O；

（4）以O点为圆心，线段a的长为半径作两条弧，交直线PQ于M、N两点，连接AM、AN、BM、BN．

所以四边形AMBN就是所求的菱形．

写出四边形AMBN就是菱形的依据：　对角线互相垂直平分的四边形是菱形　．

【分析】利用作法得到PQ垂直平分AB，OM＝ON，则AB与MN互相垂直平分，然后根据菱形的判定方法可判断四边形AMBN为菱形．

【解答】解：由作法得PQ垂直平分AB，OM＝ON，

∴OA＝OB，MN⊥AB，

即AB与MN互相垂直平分，

∴四边形AMBN为菱形．

故答案为对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

三、综合解答题（共8个小题，75分）

16．（8分）（1）计算：×﹣|2﹣|﹣（）﹣1；

（2）先化简，再求值：÷，其中x＝+1，y＝﹣1．

【分析】（1）原式利用二次根式乘法法则，绝对值的代数意义，以及负整数指数幂法则计算即可求出值；

（2）原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．

【解答】解：（1）原式＝﹣（﹣2）﹣2

＝3﹣+2﹣2

＝2；

（2）原式＝÷

＝•

＝，

当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝＝．

17．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，5），B（1，0），C（3，1），连接BC．

（1）在图中画出点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，A'C，并直接写出点A′的坐标；

（2）在（1）的基础上，试判断△A′BC的形状，并说明理由．

【分析】（1）由轴对称的性质，可求点A'的坐标；

（2）由勾股定理的逆定理可求解．

【解答】解：（1）如图所示：

∴点A'（1，5）；

（2）△A'BC是直角三角形，

理由如下：

∵点A'（1，5），B（1，0），C（3，1），

∴A'B＝5，AC＝＝2，BC＝＝，

∵A'B2＝25，A'C2＝20，BC2＝5，

∴A'B2＝A'C2+BC2，

∴△A'BC是直角三角形．

18．（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是 　50　．

【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF （HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵CF＝BE，

∴BC＝EF，

∴AD∥EF，AD＝EF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴平行四边形AEFD是矩形；

（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF （HL），

∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵AC＝10，

∴AE＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，

∵AD＝EF＝10，

∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，

故答案为：50．

19．（9分）某植物t天后的高度为ycm，l反映了y与t之间的关系．根据图象回答下列问题：

（1）求3天后该植物高度为多少？

（2）图象对应的一次函数y＝kt+b中，k和b的实际意义分别是什么？

【分析】（1）利用待定系数法求出y与t之间的函数关系式，当t＝3，求出y的值，即可解答；

（2）k表示植物的生长速度，b表示某植物最开始的高度．

【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kt+b

由图可知，函数过点（0，3），（10，10）

代入y＝kt+b，

得，

解得，

∴y＝0.7t+3

当t＝3时，y＝0.7×3+3＝5.1厘米

3天后，该植物高度为5.1厘米；

（2）k表示植物的生长速度；b表示某植物最开始的高度．

20．（10分）甲、乙两人在“定位投篮”选拔赛测试中（共10轮，每轮投10个球）成绩如下：

（1）填表：

（2）如果你是教练，你会选择谁参加正式比赛？请说明理由．

【分析】（1）先根据题意得出甲、乙10次的成绩，再根据平均数和方差、中位数及众数的概念求解即可．

（2）在平均数相等的情况下，从中位数、众数和方差的角度分析求解即可．

【解答】解：（1）根据题意，甲10轮的成绩分别为：4、5、6、7、7、8、8、8、8、9，

乙10轮的成绩分别为：6、6、6、6、6、7、8、8、8、9，

∴甲的平均数为＝7，方差为×[（4﹣7）2+（5﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+4×（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝2.2，

乙成绩的中位数为＝6.5，众数为6，

补全表格如下：

（2）选择甲参加比赛，理由如下：

∵甲乙的平均成绩相同，而甲成绩的中位数大于乙，

∴甲成绩的高分次数多于乙．

∴选择甲参加比赛（答案不唯一，合理均可）．

21．（10分）小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快．如果两人同时起跑，小明肯定赢．现在小明让小亮先跑若干米．图中l1，l2，分别表示两人的路程与小明追赶时间的关系．

（1）哪条线表示小明的路程与时间之间的关系？

（2）小明让小亮先跑了多少米？

（3）谁将赢得这场比赛？

【分析】（1）因为小明让小亮先跑，所以开始计时时小亮在前小明在后．

（2）结合图形可得．

（3）分别求出时间，用时间少的先到达终点．

【解答】（1）l2表示小明的路程与时间之间的关系；

（2）观察图象可知，小明让小亮先跑了10米；

（3）方法1：由图象可知当小明跑了5秒时，小亮跑了40﹣10＝30米，小明跑了35米，

所以小明的速度为：35÷5＝7（米/秒），

小亮的速度为：30÷5＝6（米/秒）；

小明到达终点的时间是（秒），

小亮到达终点的时间是（100﹣10）÷6＝15（秒），

方法2：由l1，l2的图象可得s1＝6t+10，s2＝7t，

小亮跑完全程时，6t+10＝100，

解之得t＝15；

小明跑完全程时，7t＝100，

解之得；

∵，

∴小明赢得这场比赛．

22．（10分）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．

（1）每个甲种书柜的进价是多少元？

（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？

【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．

（2）设甲书柜的数量为y个，根据题意列出求出y的范围，再设购进书柜所需费用为z元，求出z与y的函数关系即可求出答案．

【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，

∴每个甲种书柜的进价为1.2x元，

∴＝﹣6，

解得：x＝300，

经检验，x＝300是原分式方程的解，

∴1.2x＝360，

答：每个甲种书柜的进价为360元．

（2）设甲书柜的数量为y个，

∴乙书柜的数量为（60﹣y）个，

由题意可知：60﹣y≤2y，

∴20≤y＜60，

设购进书柜所需费用为z元，

∴z＝360y+300（60﹣y）

∴z＝60y+18000，

∴当y＝20时，

z有最小值，最小值为19200元，

答：甲、乙书柜进货数量分别为20和40时，所需费用最少．

23．（11分）阅读与思考：

正方形还有许多有趣的性质，下面是小宇同学找到的有关正方形的几个图形，想一想其中的道理．

如图，在正方形ABCD中，点E、F、H分别是边CD、AD，BC上的点．

获得发现：

如图①，当AE⊥BF时，则有AE＝BF；如图②，当AE⊥FH时，则有AE＝FH；如图③，当GE⊥FH时，则有GE＝FH．

想一想，这是为什么？结合图②给出证明．

解决问题：

如图④，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E与点B、C不重合），过点E作FG⊥AE，FG与边CD相交于点F，与边AB的延长线相交于点G．

（1）猜想线段BG、CF、BE的数量关系是 　BG+CF＝BE　，并证明你的猜想；

（2）连接AF，如果正方形的边长为2，设BE＝x，△AFG的面积为y，直接写出y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．

【分析】获得发现：过H作HG⊥AD于G，则可得到△ADE≌△HGF，从而得到AE＝FH；

解决问题：

（1）过F作FH⊥AB于H，则可得到△FHG≌△ABE，再由三角形全等的性质可以得到BG+CF＝BE；

（2）连接AF，由已知及勾股定理可以用x表示出FG与AE的值，再根据三角形面积公式即可得解．

【解答】获得发现：证明：如图，过H作HG⊥AD于G，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CD＝AD，∠ADE＝∠HGF＝90°，

∴HG＝CD＝AD，

∵AE⊥FH，

∴∠EAF+∠AFH＝90°，

又∵∠D＝90°，

∴∠EAF+∠AED＝90°，

∴∠AFH＝∠AED，

在△ADE和△HGF中，

，

∴△ADE＝△HGF（AAS），

∴AE＝FH；

解决问题：

解：（1）BG+CF＝BE．

证明：过点F作FH⊥AB，垂足为H，则∠FHG＝90°，

∵在正方形ABCD中，∠ABC＝∠C＝90°，

∴四边形HBCF是矩形，

∴FH＝BC＝AB，HB＝CF，

∵AE⊥FG，∠ABC＝90°，

∴∠G＝90°﹣∠BEG＝∠AEB，

又∵∠ABE＝∠FHG＝90°，

∴△FHG≌△ABE（AAS），

∴HG＝BE，即HB+BG＝BE，

∵HB＝CF，

∴BG+CF＝BE．

故答案为：BG+CF＝BE；

（2）如图④，连接AF，

∵△FHG≌△ABE，

∴，

∴，

∴解析式为，自变量x的取值范围是0＜x＜2．

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日期：2021/8/19 5:06:31；用户：老师；邮箱：13844932936；学号：32350959