苏教版必修13.4.1 函数与方程教学设计

这是一份苏教版必修13.4.1 函数与方程教学设计，共10页。教案主要包含了知识讲解，例题精析，课程小结等内容，欢迎下载使用。

教学过程
一、知识讲解
考点/易错点1函数图像及其变换
（1）平移变换
（2）伸缩变换

（3）对称变换


（右翻左）
（下翻上）
考点/易错点2方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、零点存在定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
4、函数零点的求法：
判断函数零点个数的方法：
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、例题精析
例1：函数 f(x)＝x2－x －2的零点为________.
例2、已知函数 ，判断函数零点的个数
练习：
三、课程小结
1．函数图像及其变换
(1)平移变换；(2)伸缩变换；(3)对称变换
2．判断函数零点所在区间的方法
判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．
3．判断函数零点个数的方法
(1)解方程法；(2)零点存在性定理法；(3)数形结合法
4．已知函数有零点方程有根求参数值常用的方法和思路
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.
课后作业
【基础】
1．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_______
【答案】（－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)）
【解析】∵函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点为2和3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝－b，))即a＝5，b＝－6.
∴g(x)＝bx2－ax－1＝－6x2－5x－1，令g(x)＝0，得x＝－eq \f(1,2)或－eq \f(1,3).
2．（2013·朝阳模拟）函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（ ）
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
【答案】C
【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0 3．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（ ）
A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)
【答案】C
【解析】因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e2>0，所以f(0)·f(1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．
4．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________．
【答案】(0,1)
【解析】在同一直角坐标系内，画出y1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0 5．（2013·湖南卷6）函数f(x)＝ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋4的图像的交点个数为（ ）
A．0 B．1C．2 D．3
【答案】A
【解析】方法一：作出函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2－4x＋4的图像如图所示
可知，其交点个数为2，选C.
方法二：（数值法）
可知它们有2个交点，选C.
【巩固】
1．下列区间中，函数在其上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的解析式表明其图象是由基本函数通过平移、对称和翻折等变换所得，因此应选用图象法.
按的程序，画出函数的图象（如图），可知函数在上为增函数，故选D.
2．（2013·武汉模拟）在下列区间中，函数f(x)＝e－x－4x－3的零点所在的区间为（ ）
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,4)))C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))
【答案】B
【解析】易知函数f(x)在R上是单调减函数．对于A，注意到feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝e－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))－3＝e>0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝e－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－3＝e－1>0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,2)))上；对于B，注意到feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))>0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝e－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))－3＝e－2<4－2<0，因此在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,4)))上函数f(x)＝e－x－4x－3一定存在零点；对于C，注意到feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))<0，f(0)＝－2<0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))上；对于D，注意到f(0)＝－2<0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝e－4×eq \f(1,4)－3＝e－4<0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))上．
3．函数f(x)＝的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】当x≤0时，函数有零点x＝－eq \f(1,4)；当x>0时，作出函数eq \a\vs4\al(y＝ln x)，y＝x2－2x的图象，观察图象可知两个函数的图象(如图)有2个交点，即当x>0时函数f(x)有2个零点．故函数f(x)的零点的个数为3.
4．（2013·杭州模拟）已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（ ）
A．f(x)＝x2－2ln |x|B．f(x)＝x2－ln |x|
C．f(x)＝|x|－2ln |x|D．f(x)＝|x|－ln |x|
【答案】B
【解析】由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x>0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，eq \f(\r(2),2)，2，1，由此可得仅函数f(x)＝x2－ln |x|符合条件．
【拔高】
1．（2012·福建高考）对于实数a和b，定义运算“*”：
a*b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－ab，a≤b，,b2－ab，a>b.))设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),16)，0))
【解析】由定义可知，f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝
即f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－x，x≤0，,－x2＋x，x>0.))作出函数f(x)的图象，如图所示，
关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0当x>0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1，
∴0当x<0时，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－x＝\f(1,4)，,x<0，))得x＝eq \f(1－\r(3),4)，∴eq \f(1－\r(3),4)∴0<－x1∴eq \f(1－\r(3),16) 2．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x，x>0，,0，x＝0，,－\f(1,x)，x<0，))则方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5,5]上的解的个数为（ ）
A．5 B．7C．8 D．10
【答案】C
【解析】依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象，结合图象得，当x∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5,5]内的解的个数是8.
3．（2013·济宁模拟）函数f(x)＝3sin eq \f(π,2)x－lgeq \f(1,2)x的零点的个数是（ ）
A．2 B．3C．4 D．5
【答案】D
【解析】函数y＝3sin eq \f(π,2)x的周期T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4，由lgx＝3，可得x＝eq \f(1,8)，
由lgx＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函
数y＝3sin eq \f(π,2)x和y＝lgx的图象(如图所示)，易知f(x)有5
个零点．
4．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－lg3|x|的零点个数是（ ）
A．多于4 B．4C．3 D．2

【答案】B
【解析】由题意可知，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数，在同一直
角坐标中作出函数y＝f(x)和y＝lg3|x|的图象，如图所示，
结合图象可以知函数的零点有4个．
函数图像、函数与方程
适用学科
数学
适用年级
高三（文）
适用区域
通用
课时时长（分钟）
45
知识点
函数图象变换
方程的根与函数的零点
函数与方程的综合问题
教学目标
1.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．
2.会用数形结合思想、转化与化归思想解决函数问题.
教学重点
1.对图象的判断主要有以下两种：
(1)根据所给函数解析式，利用其与基本初等函数的关系以及它们之间的变化规律，根据图象变换得出所求函数的图象
(2)根据函数的性质(如：奇偶性、单调性、周期性等)或函数图象的特殊点得出所求函数的图象
2.图象的应用主要有以下几个方面：求函数的值域、单调区间，求参数的取值范围，判断非常规解的个数等
教学难点
(1)结合函数与方程的关系，求函数的零点；
(2)结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点及零点个数(方程是否存在实数根及方程根的个数)进行判断
(3)利用零点(方程实根)的存在性求相关参数的值或范围.
x
1
2
4
f(x)＝ln x
0
ln 2(>0)
ln 4(<4)
g(x)＝x2－4x＋4
1
0
4