2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练 考点5 利用导数求解不等式问题

考点5 利用导数求解不等式问题

一、选择题

1.已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为(   )
A. B. C. D.

2.已知定义域为R的函数的导函数为，若，则下列结论一定成立的是(   )

A. B. C. D.

3.已知奇函数的导函数为,当时, ,则与的大小关系为(   )
A. B. C. D.与大小不确定

4.已知函数是定义在R上的奇函数,其导函数为，且对任意实数x都有，则不等式的解集为(   )
A. B. C. D.

5.已知是自然对数的底数，函数，若整数m满足，则所有满足条件的m的和为(   )

A.0 B.13 C.21 D.30

6.已知函数满足,当时,函数.若对任意的,存在,使得不等式成立，则a的取值范围是(   )
A. B. C. D.

二、填空题

7.已知不等式对任意恒成立,则实数a的最小值为_______.

8.对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______.

9.已知定义在R上的偶函数，其导函数为，若，则不等式的解集是________.

三、解答题

10.已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若存在，使不等式成立，求实数a的取值范围.

11.已知函数，.
（1）若曲线与在处有相同的切线，求实数a的值.
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.

12.已知函数.

（1）当时，试判断函数的单调性；

（2）若，且当时，恒成立，有且只有一个实数解，证明：.

13.已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，证明：.

（Ⅱ）设，若对，均有，证明：.

参考答案

1.答案：D

解析：令函数,则，则为减函数.令，则由得,即,即为减函数，，即，故选D.

2.答案：B

解析：令，则，所以在R上单调递增，又0，所以当时，，即，所以，所以当时，由得，当时，，即，所以，所以综上，.

3.答案：B

解析：令，则在上恒成立，所以函数在上单调递增.又，所以函数为奇函数，所以在上单调递增.因为，所以，所以，所以，故选B.

4.答案：B

解析：设，则.
因为，所以，即，故在R上单调递增.因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，不等式，即，则.

5.答案：C

解析：当时，，令，则.若，则，所以函数在上单调递减.易知，，又，，由于，所以，即，所以m可以取1，2，3，4，5，6，7，8.当时，令，则.若，则，所以函数在上单调递增.易知，又，故m可以取.综上所述，所有满足条件的m的和为.

6.答案：C

解析：当时，在上的最大值为4.
又，所以在上的最大值为1.
对于函数，有,则在上，，函数为增函数，在上，，函数为减函数，则函数在上，有最大值.若对任意的,存在，使得不等式成立，必有，即，解得,即a的取值范围为.

7.答案：

解析：由题意,不等式可变形为,得对任意恒成立.设,则对任意恒成立,,当时,,所以函数在上单调递减,当时,,所以函数在上单调递增.当时,,因为求实数a的最小值,所以考虑的情况,此时.因为函数在上单调递增,所以要使,只需,两边取对数,得,由于,所以.令,则,令,得,易得在上单调递减,在上单调递增,所以,所以,所以,所以实数a的最小值为.

8.答案：

解析：，设，，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，所以原不等式等价于，即.设，，则，所以在上单调递减，所以.

9.答案：

解析：构造函数，所以,

可得函数在上单调递增.因为是偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增.由，即得.又因为，所以不等式的解集为.

10.答案：（1）当时，，
则，所以.
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）若存在，使不等式成立，
即存在，使不等式成立，
所以只需使，.
设，
则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，，
，
所以.
所以，
所以实数a的取值范围为.

解析：

11.答案：（1）由题意，得，
所以曲线在处的切线斜率.
易得,所以曲线在处的切线斜率.
因为曲线与在处有相同的切线，所以，即，解得.
经检验，满足题意.
（2）令，则
.
因为当时，，所以在区间上单调递增，故.
当时，，所以在区间上单调递减.
又因为，所以当时，，不合题意.
当时，存在，使得，即.
所以当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减.
因此的最大值为.
所以.
令.则,
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增.
因此，的最小值为，所以.
故，即.
综上所述，实数a的取值范围为.

解析：

12.答案：（1）【解】当时，，

则，

所以当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

（2）【证明】由题意可得，令，解得.

因为，所以，

所以在上有唯一零点.

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减.

所以.

因为在上恒成立，且有且只有一个实数解，所以即

消去a并整理得.

令，则，

在上恒成立，所以在上单调递增，

又，所以.

又，且函数在上单调递增，

所以.

解析：

13.答案：（Ⅰ）证明：因为
所以切线的斜率
又因为切线与直线平行，
所以，解得，
所以，
，
由得，则函数的单调递增区间为；
由得，则函数的单调递减区间为，
所以在处取极大值，也为最大值，
且，所以.
（Ⅱ）证明：由得，
整理得
设，
则在上恒成立，

①当，即时，在上单调递增，
依题意得，满足题意；
②当，即时，
由得，，则函数在上单调递减，
由得，则函数在上单调递增，
所以在处取极小值，也为最小值，

依题意得，
可得，解得
综上可得.