高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系学案，共8页。


授课提示：对应学生用书第4页
[教材提炼]
知识点一 子集的定义
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；A与B之间有什么关系？能说A比B小吗？
知识梳理 (1)Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
(2)子集
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集(subset)，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
(3)一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
知识点二 真子集
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
如果A⊆B，那么A与B有可能相等吗？
知识梳理 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集(prper subset)，记作AB(或BA)．
例如，A⊆B，但a∈B，且a∉A，所以集合A是集合B的真子集．
知识点三 空集的定义
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
方程x2＋1＝0的解集是什么？
知识梳理 空集及表示
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．是任何非空集合的真子集．
知识点四 子集的性质
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，C＝{1,2,3,4,5}，A、B、C之间有什么关系？
知识梳理 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
(3)对于集合A、B、C，如果AB，且BC，那么AC.
[自主检测]
1．(教材P8练习2题改编)下列关系式正确的是( )
A．{0}⊆{0} B．{0}∈{0}
C．0＝{0} D．0∉{0}
答案：A
2．下列集合中是空集的是( )
A．{∅} B．{x∈R|x2＋1＝0}
C．{x|x＜4或x＞8} D．{x|x2＋2x＋1＝0}
答案：B
3．集合{a、b}的非空真子集为________．
答案：{a}，{b}
4．用适当的符号填空：
(1)a________{a，b，c}；
(2)∅________{x∈R|x2＋7＝0}；
(3){0}________(x|x2＝x)．
答案：(1)∈ (2)＝ (3)
授课提示：对应学生用书第4页
探究一 集合关系的判断
[例1] 已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,2)－\f(1,3)，n∈Z))))，P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(p,2)＋\f(1,6)，p∈Z)))).试确定M，N，P之间的关系．
[解析] 集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z)))).
关于集合N：
①当n是偶数时，令n＝2m(m∈Z)，
则N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m－\f(1,3)，m∈Z))))；
②当n是奇数时，令n＝2m＋1(m∈Z)，
则N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2m＋1,2)－\f(1,3)，m∈Z))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z)))).
从而，得MN.
关于集合P：①当p＝2m(m∈Z)时，
P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z))))；
②当p＝2m－1(m∈Z)时，
P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2m－1,2)＋\f(1,6)，m∈Z))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m－\f(1,3)，m∈Z)))).
从而，得N＝P.综上，知MN＝P.
判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法
当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
(2)集合元素特征法
先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．
(3)数形结合法
利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．
1．集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－3,x＋2)＝0))))，则A与B的关系是( )
A．A⊆B B．A＝B
C．AB D．BA
解析：∵A＝{－2,3}，B＝{3}，∴BA.
答案：D
2．已知集合A＝{x|x＜－2或x＞0}，B＝{x|0＜x＜1}，则( )
A．A＝B B．AB
C．BA D．A⊆B
解析：在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知BA.
答案：C
探究二 子集、真子集及个数问题
[例2] [教材P8例1探究]
(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件ACB的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．
[答案] B
(2)写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少个？
[解析] 子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，∅共8个．
真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，∅共7个．
(3)若集合A中有5个元素，不具体写出子集．可猜到有多少个子集吗？
[解析] 25＝32个．
1．元素个数与集合子集个数的关系
(1)探究.
(2)结论．
①A的子集的个数有2n个．
②A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个．
③A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个．
2．求给定集合的子集的两个关注点
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写．
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．
提醒：真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身，做题时看清是真子集还是子集．
1．已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为( )
A．－2 B．4
C．0 D．以上答案都不是
解析：由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；
若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.
答案：C
2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为( )
A．3 B．6
C．7 D．8
解析：由题意A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6,8,12}，所以集合B的非空真子集个数为：23－2＝6.
答案：B
探究三 由集合间的关系求参数的取值范围
[例3] 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝eq \f(1,5)，试判定集合A与B的关系．
(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．
[解析] (1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝eq \f(1,5)时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.
(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅时，a≠0，集合B＝{eq \f(1,a)}，由B⊆A得eq \f(1,a)＝3或eq \f(1,a)＝5，所以a＝eq \f(1,3)或a＝eq \f(1,5).综上所述，实数a的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).
根据集合的包含关系求参数的两种方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}，若AB，求a的取值范围．
解析：由题意，在数轴上表示出集合A，B，如图所示：
若AB，由图可知，a＞2.
授课提示：对应学生用书第6页
一、相逢又相识——∈、⊆、及0、{0}、∅、{∅}的区别与联系eq \x(►逻辑推理、数学抽象)
1．元素与集合、集合与集合的关系．
“∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}．
“⊆或”是两个集合之间的包含关系．
2．0、{0}、∅、{∅}的关系
(1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合；
∅为不含任何元素的集合；{∅}为含有一个元素∅的集合，此时∅作为集合{∅}的一个元素．
(2)联系：0∈{0},0∉∅，0∉{∅}，∅⊆{0}，∅{0}，∅⊆{∅}，∅{∅}．
[典例] 已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得集合B是A的子集？若存在，求出A，B，若不存在，说明理由．
[解析] 因为B⊆A，所以当x＋2＝3，即x＝1时，A＝{1,3,1}不满足互异性，所以x＝1(舍)．
当x＋2＝x2，即x＝2或x＝－1，
若x＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，满足B⊆A；
若x＝－1时，A＝{1,3,1}不满足互异性．
综上，存在x＝2使得B⊆A.
此时，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}．
二、∅的呐喊——勿忘我eq \x(►逻辑推理、直观想象)
[典例] 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
[解析] 当B＝∅时，B⊆A
显然成立，
此时有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，如图．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－3,m≤4，,m＞2，))
解得2＜m≤4.
综上，m的取值范围为{m|m≤4}．
[答案] {m|m≤4}
纠错心得 空集是任何集合的子集，忽视这一点会导致漏解，产生错误结论．对于形如{x|a＜x＜b}一类的集合，当a≥b时，它表示空集，解题中要十分注意．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解集合之间的包含与相等的含义．
数学抽象、直观想象
数学运算
能识别给定集合的子集．
2.针对具体集合，利用集合包含关系求参数．
3.在具体情境中了解空集的含义.
集合A
集合A中元素的个数n
集合A子集个数
∅
0
1
{a}
1
2
{a，b}
2
4
{a，b，c}
3
8
{a，b，c，d}
4
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