华师大版14.2 勾股定理的应用同步训练题

2021人教版八年级下册期中专题突破复习

勾股定理的应用

一．选择题

1．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（　　）

A．一定不会 B．可能会 

C．一定会 D．以上答案都不对

2．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向滑动（　　）

A．15m B．9m C．7m D．8m

3．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　）尺．

A．26 B．24 C．13 D．12

4．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km．

A．5 B．10 C．15 D．25

5．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（　　）

A．12 B．13 C．15 D．24

6．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（　　）

A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里

7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（　　）

A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米

8．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（　　）

A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4

二．填空题

9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了　   　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

10．如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯　   　米．

11．如图，将长为12cm的弹性绳放置在直线l上，固定端点A和B，然后把中点C竖直向上拉升4.5cm至点D，则拉长后弹性绳的长为　   　．

12．如图所示，BC是新建快速公路，长度为10km，∠A＝90°，AB＝6km，AC＝8km，一小镇位于点A，现在该小镇要修一条公路到达快速公路，则修这条公路最短长度为　   　km．

13．如图，扶梯AB的坡比为4：3，滑梯CD的坡比为1：2，若AE＝BC＝30米，一男孩经扶梯AB走到滑梯的顶部BC，然后从滑梯CD滑下，共经过了　   　米．

14．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值　   　，h的最大值　   　．

三．解答题

15．如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．

16．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？

17．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．

（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；

（2）求新路CH比原路CA少多少千米？

18．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．

（1）求出空地ABCD的面积．

（2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？

19．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．

（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．

（2）C岛在A港的什么方向？

20．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．

（1）求∠ACB的度数；

（2）海港C受台风影响吗？为什么？

（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？

参考答案

一．选择题

1．解：因为房屋是有高度的（并且题中未说明房屋到底多高），大树倒下部分，以AB为半径，绕点A做圆弧形的运动，AB＝10，10大于9，当房屋超过一定高度的时候，就一定会被砸到，故A、B、C都是错误的．

故选：D．

2．解；梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），

顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为＝15（m），

15﹣7＝8（m）．

故选：D．

3．解：设水池的深度为x尺，由题意得：

x2+52＝（x+1）2，

解得：x＝12，

答：水深12尺，

故选：D．

4．解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，

由勾股定理得：

在Rt△ADE中，

DE2＝AD2+AE2＝102+x2，

在Rt△BCE中，

CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，

由题意可知：DE＝CE，

所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，

解得：x＝15（km），

所以，AE＝15km，

故选：C．

5．解：如图，

设旗杆的高度为xm，则AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，

在Rt△ABC中，52+x2＝（x+1）2，解得x＝12，

答：旗杆的高度是12m．

故选：A．

6．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，

∴∠AOB＝90°，

又∵OA＝8海里，OB＝6海里，

∴AB＝＝10（海里）．

故选：B．

7．解：在Rt△ABC中，

AB＝＝＝2.5（米），

∴A′B＝2.5米，

在Rt△A′BD中，

BD＝＝＝2（米），

∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），

故选：C．

8．解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；

②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，

底面对角线直径为5cm，高为12cm，

由勾股定理可得杯里面管长为＝13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；

则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．

故选：B．

二．填空题

9．解：由勾股定理，得

路长＝＝5，

少走（3+4﹣5）×2＝4步，

故答案为：4．

10．解：根据勾股定理，楼梯水平长度为＝12米，

则红地毯至少要12+5＝17米长，

故答案为：17．

11．解：Rt△ACD中，AC＝AB＝6cm，CD＝4.5cm；

根据勾股定理，得：AD＝＝＝7.5（cm）；

∴AD+BD＝2AD＝15cm．

故答案是：15cm．

12．解：过A作AD⊥BC于D，

∵∠A＝90°，AB＝6km，AC＝8km，

∴BC＝（km），

∴AD＝（km），

故答案为：4.8．

13．解：∵扶梯AB的坡比（BE与AE长度之比）为4：3，AE＝30米，

∴BE＝40，

∴AB＝＝50（米），

∵CF＝BE＝40米，CD的坡比（CF与DF长度之比）为1：2，BC＝30米，

∴FD＝2CF＝2×40＝80，

∴CD＝＝40（米），

∴经过的路程＝AB+BC+CD＝50+30+40＝（80+40）（米），

故答案为：（80+40）．

14．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，

此时，在杯子内部分＝＝13（cm），

故h＝24﹣13＝11（cm）．

故h的取值范围是11≤h≤12．

故答案为：11cm；12cm．

三．解答题

15．解：∵AB⊥l于B，AB＝3千米，AD＝5千米．

∴BD＝＝＝4（千米）．

设CD＝x千米，则CB＝（4﹣x）千米，

x2＝（4﹣x）2+32，

x2＝16+x2﹣8x+32，

解得：x＝3.125（千米）．

答：物品中转站与车站之间的距离为3.125千米．

16．解：∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°；

根据勾股定理，得

BC＝（米），

∴BD＝15+1.5＝16.5（米）；

答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5米．

17．解：（1）是，

理由是：在△CHB中，

∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，

BC2＝2.25，

∴CH2+BH2＝BC2，

∴CH⊥AB，

所以CH是从村庄C到河边的最近路；

（2）设AC＝x千米，

在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，

由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2

∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，

解这个方程，得x＝1.25，

1.25﹣1.2＝0.05（千米）

答：新路CH比原路CA少0.05千米．

18．解：（1）连接AC，

在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，

在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，

而52+122＝132，

即AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝C•BC﹣AD•CD

＝×5×12﹣×4×3＝24（m2）．

（2）需费用24×300＝7200（元），

答：总共需投入7200元．

19．解：（1）由题意AD＝60km，

Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．

∴BD＝80（km）．

∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．

∴AC＝＝75（km）．

75÷25＝3（小时）．

答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．

（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，

∴AB2+AC2＝BC2．

∴∠BAC＝90°．

∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．

∴C岛在A港的北偏西42°．

20．解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；

（2）海港C受台风影响，

理由：过点C作CD⊥AB，

∵△ABC是直角三角形，

∴AC×BC＝CD×AB，

∴300×400＝500×CD，

∴CD＝240（km），

∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，

∴海港C受台风影响；

（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，

∵ED＝＝70（km），

∴EF＝140km，

∵台风的速度为20千米/小时，

∴140÷20＝7（小时）．

答：台风影响该海港持续的时间为7小时．