高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直第1课时达标测试

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11.4.1直线与平面垂直（1）【基础练习】一、单选题1．如图，正方体中，异面直线与所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】连结，则，所以为异面直线与所成的角.在正方体中，因为为正三角形，所以.故选：C.2．设直线l为平面外的一条直线，则的充要条件是（    ）A．内有无数条直线都与l垂直 B．内有两条相交直线都与l垂直C．l，垂直于同一条直线 D．l，垂直于同一平面【答案】B【解析】由线面垂直的判定定理知：内两条相交直线都与l垂直是的充分条件；由线面垂直的性质定理可知：若，则内任意一条直线都与l垂直，所以内两条相交直线都与l垂直是的必要条件故选：B3．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（     ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【解析】由题意：，，，平面所以平面正确，D不正确；.又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；同理平面不正确；故选：A4．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（　　　　）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】解：由正方体的性质得BD∥，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面；所以①正确.
由正方体的性质得 AC⊥BD，⊥BD，可得⊥平面 ，所以⊥BD，所以②正确.　　　　
由正方体的性质得 BD∥，由②可得⊥BD，所以⊥，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到：⊥平面 ，所以③正确.
故选：D.5．如图，设平面，平面，平面，垂足分别为.为使，则需增加的一个条件是（    ）A．平面 B．平面 C． D．【答案】B【解析】因为平面，平面，所以.若平面，则由平面，得.又与为相交直线，且平面，平面，则，∴四点共面，所以平面，所以，故选：B.二、填空题6．设，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是______．(1)若，，，则；(2)若，，，则；(3)若，，，，则；(4)若，，,则．【答案】(1)【解析】 (1) ， ，，则，正确(2)若，，，则，错误(3)若，则不成立，错误(4)若，，,则，错误7．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，则异面直线AB与CD的夹角为_____．【答案】【解析】如图所示：取的中点，连接，因为，为的中点，所以，因为，为的中点，所以，又，所以平面，因为平面，所以，所以异面直线与所成的角为.故答案为：8．从正方体的个顶点中任意选择个点，记这个点确定的平面为，则垂直于直线的平面的个数为__________．【答案】2.【解析】与直线垂直的平面有平面和平面，故与直线垂直的平面的个数为． 三、解答题9．在长方体的面所在的平面中,分别写出与下列直线垂直的平面.（1）;（2）;（3）.【答案】（1）平面和平面.（2）平面和平面.（3）平面和平面.【解析】（1）根据线面垂直判定,即一条线垂直平面内的两条相交线,这条线垂直这个平面. ,, 面.又 面面 面（2）根据线面垂直判定,即一条线垂直平面内的两条相交线,这条线垂直这个平面.,, 面 又 面面面（3）根据线面垂直判定,即一条线垂直平面内的两条相交线,这条线垂直这个平面.,, 面又 面面 面10．四边形是圆柱的轴截面，为底面圆周上的一点，，，.（1）求证：平面；（2）求圆柱的表面积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）证明：∵平面是圆柱的轴截面，∴平面，∵平面，∴，又为底面圆周上一点，为直径，∴，又，∴平面（2）在中∵，，∴，∴底面圆的半径，又∵∴圆柱侧面积为，上下两底面面积为，∴圆柱的表面积为.【提升练习】一、单选题1．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，异面直线SC与OE所成角的正切值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角，∵，∴，又OB＝3，∴，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴，∴等腰△SCF中，.故选：D.2．如图，在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的条数为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60°的直线有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4条．故选B．3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（　　）A．所在平面 B． 所在平面C．所在平面 D．所在平面【答案】B【解析】根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥AH，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，D不正确．故选B．4．如图，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，则与平面的位置关系是（    ）A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对【答案】A【解析】连接.∵几何体是正方体，底面是正方形，∴.又∵，∴平面.∵平面，∴.∵，∴平面.故选A.5．如图，四面体的棱平面，，则四面体的四个面中直角三角形的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】∵四面体ABCD的棱平面ABC，，即为直角三角形，∴，，即，为直角三角形∴，又∵，，∴面，∴，即为直角三角形，∴四面体的四个面中直角三角形共有4个，故选：D. 二、填空题6．如图，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当_______时，平面.【答案】或【解析】由已知得是等腰直角三角形，，是的中点，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴.若平面，则.设，则，，∴，解得或.7．在正四棱锥中，底面正方形的边长为1，侧棱长为2，则异面直线与所成角的大小为__________．【答案】【解析】如图所示，连接AC，交BD于O，连接VO∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，O为BD的中点又∵正四棱锥V﹣ABCD中，VB＝VD∴VO⊥BD∵AC∩VO＝O，AC、VO⊂平面ACV∴BD⊥平面ACV∵VA⊂平面ACV∴BD⊥VA；即异面直线VA与BD所成角等于．．故答案为．8．如图所示，在四棱锥中，垂直于正方形所在的平面，在这个四棱锥的所有表面及面、面中，一定互相垂直的平面有_________对．【答案】7【解析】由PD⊥面ABCD，则面PDA⊥面ABCD、面PDB⊥面ABCD、面PDC⊥面ABCD；由AD⊥CD，AD⊥PD，PD∩CD=D，则AD⊥面PDC，所以面PAD⊥面PDC；同理可证AB⊥面PDA，BC⊥面PDC，AC⊥面PDB，从而有：面PAB⊥面PDA、面PBC⊥面PDC、面PAC⊥面PDB，综上，互相垂直的平面有7对.所以本题答案为7. 三、解答题9．如图所示，在长方体中，， 为棱上—点.(1)    若，求异面直线和所成角的大小；(2)    若，求证平面.【答案】(1) ；(2)证明详见解析.【解析】 (1),是异面直线和所成角,∵在长方体中,平面,,,,,M为棱上一点,,,,即异面直线和所成角的大小为.(2) 时,,,.,,,,又,平面.10．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E、F、M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．（1）在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）（2）在图2中，求证：D1B⊥平面DEF．【答案】（1）6（2）见解析【解析】（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，则四边形MNAC为所作图形．由题意知MN∥A1C1（或∥EF），四边形MNAC为梯形，且MNAC＝2，过M作MP⊥AC于点P，可得MC2，PC，得MP，∴梯形MNAC的面积（24）6．证明：（2）示例一：在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，如图，D1Q4，由DE＝DF得DQ⊥EF，又EF⊥BB1，∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，，∴∠D1QD＝∠BD1D，∴∠QD1B+∠D1QD＝∠DD1B+∠BD1Q＝90°，∴DQ⊥D1B，∴D1B⊥平面DEF．示例二：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，D1Q4，由BB1⊥平面A1B1C1D1可知BB1⊥EF，又B1D1⊥EF，BB1∩B1D1＝B1，∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，由，得tan∠QDD1＝tan∠D1BD，得∠QDD1＝∠D1BD，∴∠QDB+∠D1BD＝∠QDB+∠QDD1＝90°，∴DQ⊥D1B，又DQ∩EF＝Q，∴D1B⊥平面DEF．；