高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.2 平面与平面垂直第2课时课时练习

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11.4.2 平面与平面垂直（2）【基础练习】一、单选题1．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（   ）如图，在三棱锥中，平面平面，求证：证明：因为平面平面平面平面，平面所以______．因为平面．所以A．底面 B．底面 C．底面 D．底面【答案】C【解析】根据面面垂直的性质定理判定得：BC⊥底面PAC，故选C．2．已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是A．或 B．C． D．【答案】A【解析】对于A，直线平面，，则或，A正确；对于B，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴B错误；对于C，直线平面，直线平面，且，则或与相交或或，∴C错误；对于D，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴D错误．故选A．3．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉ l，则下列命题中是假命题的为A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β【答案】B【解析】过点P且垂直于α的直线一定平行于在β内与交线垂直的直线，故A正确；过点P且垂直于l的直线有可能垂直于α，如图所示．B不正确；由题意和面面垂直的判定定理知，选项C正确；由题意和面面垂直的性质定理知，选项D正确；故选B．4．如图，则（    ）A．90° B．60° C．45° D．30°【答案】B【解析】由三余弦定理得 选B.5．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)A．PD平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC【答案】B【解析】∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.故选B 二、填空题6．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.【答案】6【解析】解：，O为的中点，.又平面平面，且交线为，平面.平面，，为直角三角形.∴图中的直角三角形有，，，，，，共6个.故答案为：6.7．如图，在三棱锥内，侧面底面，且，则 ________．【答案】【解析】∵侧面底面，交线为，(即)，平面PAC，∴平面，又平面，∴，∴.8．如图，平面平面，，，且，则三棱锥的体积______.【答案】4【解析】..三、解答题9．已知是所在平面外的一点，且平面，平面平面.求证:.【答案】证明见解析【解析】如图，在平面内作于点，∵平面平面，平面平面，平面，且，平面，又平面，.平面，平面，，，平面，平面，又平面，.10．如图，三棱锥中，已知是等腰直角三角形，，是直角三角形，，平面平面.求证：平面平面.【答案】证明见解析【解析】证明  ∵平面平面，平面平面，又是直角三角形，所以，平面.又平面，.，，平面，平面，平面.又平面，故平面平面. 【提升练习】一、单选题1．、、为不同的平面，、、为不同的直线，则的一个充分条件是（   ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【解析】选项A, 由,可得∥，又, 故,所以A正确.选项B, ，,,则与可能平行、相交，与可能相交，也可能平行得不出，所以B不正确.选项C, ，,与可能平行也可能相交，当时，则推不出，所以C不正确.选项D，，，，由于的位置不定，所以无法判断与的关系，所以D不正确.故选：A.2．如图，在四面体ABCD中，已知那么D在面ABC内的射影H必在（     ） A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．内部【答案】A【解析】由可得，即平面内的射影必在平面与平面的交线上，故选A3．如图所示，三棱锥的底面在平面内，且，平面平面，点是定点，则动点的轨迹是（    ）A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点【答案】D【解析】因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC，AC⊂平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.选D.4．如图，在四边形ABCD中，，，.将四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥，使平面平面BCD，则下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．三棱锥的体积为【答案】B【解析】因为四边形中，，可得，由，若，可得平面，即有，这与矛盾，所以A项不正确；平面平面，，可得平面，可得，即有，即，所以B项正确；由，平面平面，易得平面，则，，可得为等腰直角三角形，所以，所以C不正确；，所以D项不正确；故选：B.5．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为　(　　)A．2 B． C．4 D．4【答案】B【解析】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM=，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM=4×=2，所以PM的最小值为2. 选B. 二、填空题6．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则_______.【答案】【解析】如图，设两个矩形分别为矩形、矩形，因为平面平面，平面平面，平面，，故平面，而平面，所以，同理. 由题意，两个矩形的对角线长分别为，所以，所以.故填.7．如图，四面体中，，平面平面，，，则_______.【答案】13【解析】取的中点，连接.因为，，所以，所以.因为，是的中点，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.在中，.8．将正方形沿对角线折成直二面角，①与平面所成角的大小为②是等边三角形③与所成的角为④ ⑤二面角为则上面结论正确的为_______．【答案】②③④【解析】作出如图的图象，E是BD的中点，易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角的平面角，又BH=DH=AC,BD=∠BHD=-故二面角不是综上知②③④是正确的故答案为②③④三、解答题9．如图在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点.（1）求证：平面；（2）若，且平面平面，证明平面.【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】（1）证明：因为点、分别是棱和的中点，所以，又在矩形中，，所以，又面，面，所以平面（2）证明：在矩形中，，又平面平面，平面平面，面，所以平面，又面，所以①因为且是的中点，所以，②由①②及面，面，，所以平面 .10．如图，在平行六面体中，底面为菱形，和相交于点为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】证明：（1）如图，连接.因为，，所以相互平分，所以为和的中点.又因为为的中点，所以为的中位线，所以.又因为平面，平面，所以平面.因为四边形为菱形，所以.（2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.又因，所以.因为，所以.