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第6章 第2节 等差数列-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)教案
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这是一份第6章 第2节 等差数列-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)教案,共14页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现,基本技能·思想·活动体验等内容,欢迎下载使用。
一、教材概念·结论·性质重现
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
等差数列的定义用递推公式表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
2.等差数列的通项公式
(1)若首项是a1,公差是d,则这个等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d.
(2)若已知ak,公差是d,则这个等差数列的通项公式是an=ak+(n-k)d.
当d≠0时,等差数列通项公式可以看成关于n的一次函数an=dn+(a1-d).
3.等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项,且2A=a+b.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广公式:an=am+(n-m)d(n,m∈N*)⇔d=eq \f(an-am,n-m)(n≠m).
(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w∈N*).
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
5.等差数列的前n项和公式及其性质
(1)设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=eq \f(na1+an,2)=na1+eq \f(nn-1,2)d.
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.
(3)等差数列的前n项和的最值.
在等差数列{an}中,若a1>0,d0,a7+a10eq \f(n,n+1).
(1)证明:因为an+1=eq \f(an,2an+1),
所以eq \f(1,an+1)=eq \f(2an+1,an),化简得eq \f(1,an+1)=2+eq \f(1,an),
即eq \f(1,an+1)-eq \f(1,an)=2.
故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)解:由(1)知eq \f(1,an)=2n-1,
所以Sn=eq \f(n1+2n-1,2)=n2,
eq \f(1,Sn)=eq \f(1,n2)>eq \f(1,nn+1)=eq \f(1,n)-eq \f(1,n+1).
证明:eq \f(1,S1)+eq \f(1,S2)+…+eq \f(1,Sn)=eq \f(1,12)+eq \f(1,22)+…+eq \f(1,n2)
>eq \f(1,1×2)+eq \f(1,2×3)+…+eq \f(1,nn+1)
=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,2)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-\f(1,3)))+…+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)-\f(1,n+1)))
=1-eq \f(1,n+1)=eq \f(n,n+1).
本例条件变为“若a1=1,a2=eq \f(1,2),eq \f(2,an+1)=eq \f(1,an)+eq \f(1,an+2)(n∈N*)”,求数列{an}的通项公式.
解:由已知式eq \f(2,an+1)=eq \f(1,an)+eq \f(1,an+2)可得eq \f(1,an+1)-eq \f(1,an)=eq \f(1,an+2)-eq \f(1,an+1),知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)=1,公差为eq \f(1,a2)-eq \f(1,a1)=2-1=1的等差数列,所以eq \f(1,an)=n,即an=eq \f(1,n).
等差数列的四个判定方法
(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.
(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.
(3)通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差数列.
(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.设cn=beq \\al(2,n+1)-beq \\al(2,n),n∈N*, 求证:数列{cn}是等差数列.
证明:由题意得beq \\al(2,n)=anan+1,有cn=beq \\al(2,n+1)-beq \\al(2,n)=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以数列{cn}是等差数列.
考点3 等差数列性质的应用——应用性
考向1 等差数列项的性质问题
(1)(2020·宁德二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a5+a8=9,则S9=( )
A.21 B.27 C.30 D.36
B 解析:因为等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a5+a8=9=3a5,所以a5=3,
则S9=eq \f(9a1+a9,2)=9a5=27.
(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1B.2
C.4D.8
C 解析:(方法一)设等差数列{an}的公差为d,
依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1+3d+a1+4d=24,,6a1+\f(6×5,2)d=48,))解得d=4.
(方法二)等差数列{an}中,S6=eq \f(a1+a6×6,2)=48,
则a1+a6=16=a2+a5.
又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,
所以d=4.
等差数列项的性质的关注点
(1)项的性质:在等差数列{an}中,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq;
(2)在等差数列题目中,只要出现项的和问题,一般先考虑应用项的性质;
(3)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn=eq \f(na1+an,2)相结合命题.
考向2 等差数列前n项和的性质
(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15等于( )
A.35B.42
C.49D.63
B 解析:在等差数列{an}中,
S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,
即7,14,S15-21成等差数列,
所以7+(S15-21)=2×14,
解得S15=42.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2 018,eq \f(S2 019,2 019)-eq \f(S2 013,2 013)=6,则S2 020=________.
2 020 解析:由等差数列的性质可得数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列.设其公差为d,则eq \f(S2 019,2 019)-eq \f(S2 013,2 013)=6d=6,所以d=1.故eq \f(S2 020,2 020)=eq \f(S1,1)+2 019d=-2 018+2 019=1,
所以S2 020=1×2 020=2 020.
等差数列前n项和的性质
在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则:
(1)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,构成等差数列;
(2)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
(3)S2n-1=(2n-1)an.
1.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,2+a5=a6+a3,则S7=( )
A.2B.7
C.14D.28
C 解析:因为2+a5=a6+a3,
所以2+a4+d=a4+2d+a4-d,解得a4=2.
所以S7=eq \f(7a1+a7,2)=7a4=14.
2.(2020·海南模拟)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且eq \f(Sn,Tn)=eq \f(n+5,2n-1),则eq \f(a7,b6)=( )
A.eq \f(6,7)B.eq \f(12,11)
C.eq \f(18,25)D.eq \f(16,21)
A 解析:因为等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且eq \f(Sn,Tn)=eq \f(n+5,2n-1),
所以可设Sn=kn(n+5),Tn=kn(2n-1),k≠0.
所以a7=S7-S6=18k,b6=T6-T5=21k,
所以eq \f(a7,b6)=eq \f(6,7).
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S10=16,S100-S90=24,则S100=________.
200 解析:依题意,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d.又S10=16,S100-S90=24,因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d=eq \f(8,9),因此S100=10S10+eq \f(10×9,2)d=10×16+eq \f(10×9,2)×eq \f(8,9)=200.
考点4 等差数列前n项和的最值——应用性
等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a70,,a60.由结论a7=0,a80,S140,S140,a1+a14=a7+a80,a80,d0,首项a10,d=-eq \f(5,3)
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