第5章 第3节　平面向量的数量积及综合应用-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案

这是一份第5章 第3节　平面向量的数量积及综合应用-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案，共14页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
一、教材概念·结论·性质重现
1．向量的夹角
2.平面向量的数量积
(1)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现．
(2)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(1)要准确理解数量积的运算律，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．
(2)平面向量数量积运算的常用公式．
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
4．平面向量数量积的性质
已知两个非空向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0．(×)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(×)
(5)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．(×)
2．若两个非零向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，则a，b的夹角是( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(π,2) D．π
D 解析：因为|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，
所以(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝9，得a·b＝－2.
所以cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2,2×1)＝－1.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
12 解析：因为2a－b＝(4,2)－(－1,k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，
所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
4．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2,－1)，D(3,4)，则向量eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为________．
eq \f(3\r(2),2) 解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(5,5)，
由定义知，eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(15,5\r(2))＝eq \f(3\r(2),2).
考点1 平面向量数量积的运算——基础性
1．(2020·重庆模拟)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则a在b上的投影为( )
A．－eq \r(5) B．eq \r(5) C．－eq \f(\r(10),2) D．eq \f(\r(10),2)
A 解析：由数量积定义可知，a在b方向上的投影为|a|cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(3×－1＋－1×2,\r(5))＝－eq \r(5).
2．(2020·乐山模拟)已知向量a与向量m＝(4,6)平行，b＝(－5,1)，且a·b＝14，则a＝( )
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(13),13)，\f(3\r(13),13)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(13),13)，－\f(3\r(13),13)))
B 解析：因为向量a与向量m＝(4,6)平行，可设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k，\f(3,2)k)).
由a·b＝14可得－5k＋eq \f(3,2)k＝14，得k＝－4，
所以a＝(－4，－6)．
3．(2020·三明模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点M满足eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC,\s\up6(→))，设AM与BD交于点G，则eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A 解析：以A为原点，AB和AD分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．
因为eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC,\s\up6(→))，所以M为线段CD的靠近点D的三等分点，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).
(方法一)显然△DGM∽△BGA，且相似比为1∶3.
eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3,4)))，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,1)，eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3,4)))·(1,1)＝1.
(方法二)直线BD的方程为y＝－x＋1，直线AM的方程为y＝3x.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x＋1，,y＝3x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(3,4)，))所以点Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3,4))).
所以eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3,4)))·(1,1)＝eq \f(1,4)×1＋eq \f(3,4)×1＝1.
4．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于________．
12 解析：因为a＝(x,1)，b＝(－2,4)，所以a＋b＝(x－2,5)．又(a＋b)⊥b，所以(x－2)×(－2)＋20＝0，所以x＝12.
平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律，几何意义等化简，再运算．
考点2 平面向量数量积的性质——应用性
(2020·汕头二模)已知非零向量a，b，若|a|＝eq \r(2)|b|，且a⊥(a－2b)，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(3π,4)
B 解析：因为a⊥(a－2b)，
所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，
所以a·b＝eq \f(a2,2).又|a|＝eq \r(2)|b|，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(a2,2),\f(\r(2)a2,2))＝eq \f(\r(2),2)，
且0≤〈a，b〉≤π，
所以a与b的夹角为eq \f(π,4).
1．将本例条件改为“已知平面向量a，b满足|a＋b|＝|a|＝|b|≠0”，求a与b的夹角．
解：由|a＋b|＝|a|＝|b|≠0，
所以(a＋b)2＝a2＝b2，
a2＋2a·b＋b2＝a2＝b2.
设a与b的夹角为θ，则|a|2＋2|a||b|·cs θ＋|b|2＝|a|2，化简得1＋2cs θ＋1＝1，
解得cs θ＝－eq \f(1,2).
又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角θ＝eq \f(2π,3).
2．本例若把条件改为“已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝|2a－b|＝1”，求|b|.
解：因为|2a－b|＝1，
所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，
所以4－4|b|cs 30°＋b2＝1，
整理得|b|2－2eq \r(3)|b|＋3＝(|b|－eq \r(3))2＝0，
解得|b|＝eq \r(3).
(2020·人大附中三模)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则集合{y|y＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))，i＝1,2,3，…，8}中的元素个数( )
A．1 B．2 C．4 D．8
A 解析：由图可知，eq \(APi,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BPi,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BPi,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→)).
因为正方体的棱长为1，AB⊥BPi，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))＝1＋0＝1.
故集合{y|y＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))，i＝1,2，…，8}中的元素个数为1.
1．求解平面向量模的方法
(1)利用公式|a|＝eq \r(x2＋y2).
(2)利用|a|＝eq \r(a2).
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，θ的取值范围为[0，π]．
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．
3．两向量垂直的应用
两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝eq \f(2\r(3),3)|a|，求向量a＋b与a－b的夹角．
解：将|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0.
将|a＋b|＝eq \f(2\r(3),3)|a|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝eq \f(4,3)a2，所以b2＝eq \f(1,3)a2.
设a＋b与a－b的夹角为θ，
所以cs θ＝eq \f(a＋b·a－b,|a＋b||a－b|)＝eq \f(a2－b2,\f(2\r(3),3)|a|·\f(2\r(3),3)|a|)＝eq \f(\f(2,3)a2,\f(4,3)a2)＝eq \f(1,2).
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,3).
考点3 平面向量数量积的应用——综合性
考向1 平面向量与三角函数
已知A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cs α，sin α)．
(1)若|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，求角α 的值；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－1，求eq \f(2sin2α＋sin 2α,1＋tan α)的值．
解：(1)因为A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cs α，sin α)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(cs α－3，sin α)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(cs α，sin α－3)．
所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(cs α－32＋sin α2)，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(cs α2＋sin α－32).
因为|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，所以eq \r(cs α－32＋sin α2)＝eq \r(cs α2＋sin α－32)，即(cs α－3)2＋(sin α)2＝(cs α)2＋(sin α－3)2，
所以sin α＝cs α，所以tan α＝1，
所以α＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z.
(2)由(1)知，eq \(AC,\s\up6(→))＝(cs α－3，sin α)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(cs α，sin α－3)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(cs α－3)cs α＋sin α·(sin α－3)＝1－3(sin α＋cs α)＝－1.
所以sin α＋cs α＝eq \f(2,3)，
所以(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up8(2)，
所以2sin αcs α＝－eq \f(5,9).
所以eq \f(2sin2α＋sin 2α,1＋tan α)＝eq \f(2sin2α＋2sin αcs α,1＋\f(sin α,cs α))＝2sin αcs α＝－eq \f(5,9).
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
考向2 平面向量的最值问题
(2020·武汉模拟)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为eq \f(π,3)，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
A．eq \r(3)－1B．eq \r(3)＋1
C．2D．2－eq \r(3)
A 解析：设e＝(1,0)，b＝(x，y)，则b2－4e·b＋3＝0⇒x2＋y2－4x＋3＝0⇒(x－2)2＋y2＝1.如图所示，a＝eq \(OA,\s\up6(→))，b＝eq \(OB,\s\up6(→))(其中A为射线OA上动点，B为圆C上动点，∠AOx＝eq \f(π,3))．
所以|a－b|min＝|CD|－1＝eq \r(3)－1(其中CD⊥OA)．
平面向量的最值一般有两种处理方法
(1)几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积运算解决．
(2)代数法：将平面向量的最值转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数方法解决．
1. (2020·西城区二模)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝eq \f(1,2)，则|a＋xb|(x∈R)的最小值为( )
A．eq \f(\r(5),2) B．eq \f(\r(3),2) C．1 D．eq \r(2)
B 解析：|a＋xb|2＝a2＋2xa·b＋x2b2＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up8(2)＋eq \f(3,4)，
所以当x＝－eq \f(1,2)时，|a＋xb|取得最小值eq \f(\r(3),2).
2．已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3x,2)，sin \f(3x,2)))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,2)，－sin \f(x,2)))，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4))).
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f (x)＝a·b－|a＋b|，求f (x)的最大值和最小值．
解：(1)a·b＝cs eq \f(3x,2)cs eq \f(x,2)－sin eq \f(3x,2)·sin eq \f(x,2)＝cs 2x.
因为a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3x,2)＋cs \f(x,2)，sin \f(3x,2)－sin \f(x,2)))，
所以|a＋b|＝
eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3x,2)＋cs \f(x,2)))eq \s\up10(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3x,2)－sin \f(x,2)))eq \s\up10(2))
＝eq \r(2＋2cs 2x)＝2|cs x|.
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，
所以cs x>0，所以|a＋b|＝2cs x.
(2)f (x)＝cs 2x－2cs x＝2cs2x－2cs x－1
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x－\f(1,2)))eq \s\up10(2)－eq \f(3,2).
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，所以eq \f(1,2)≤cs x≤1，
所以当cs x＝eq \f(1,2)时，f (x)取得最小值－eq \f(3,2)；
当cs x＝1时，f (x)取得最大值－1.
(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq \r(3)，AD＝5，∠BAD＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝________.
[四字程度]
思路参考：探究△AEB中的边角大小．
－1 解析：如图，因为AD∥BC，且∠DAB＝30°，
所以∠ABE＝30°.
又因为AE＝BE，所以∠EAB＝30°.
所以∠E＝120°.
所以在△AEB中，AE＝BE＝2.
所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))
＝－eq \(BA,\s\up6(→))2＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))
＝－12＋2eq \r(3)×2×cs 30°＋5×2eq \r(3)×cs 30°＋5×2×cs 180°
＝－12＋6＋15－10＝－1.
思路参考：用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))作基向量表示eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→)).
－1 解析：如图，
因为AE＝BE，AD∥BC，∠BAD＝30°，
所以在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°.
又AB＝2eq \r(3)，所以AE＝BE＝2，
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝－eq \f(2,5)eq \(AD,\s\up6(→)).
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,5)eq \(AD,\s\up6(→)).
又eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))－\f(2,5)\(AD,\s\up6(→))))
＝－eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(7,5)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(2,5)eq \(AD,\s\up6(→))2
＝－eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(7,5)|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AD,\s\up6(→))|cs 30°－eq \f(2,5)eq \(AD,\s\up6(→))2
＝－12＋eq \f(7,5)×2eq \r(3)×5×eq \f(\r(3),2)－eq \f(2,5)×25＝－1.
思路参考：构造菱形AEBF.
－1 解析：如图，过点B作AE的平行线交AD于点F.
因为AD∥BC，所以四边形AEBF为平行四边形，
因为AE＝BE，故四边形AEBF为菱形．
因为∠BAD＝30°，AB＝2eq \r(3)，
所以AF＝2，即eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AD,\s\up6(→)).
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,5)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))－\f(2,5)\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(7,5)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \f(2,5)eq \(AD,\s\up6(→))2
＝eq \f(7,5)×2eq \r(3)×5×eq \f(\r(3),2)－12－10＝－1.
思路参考：利用坐标法求AE，BE所在直线的方程．
－1 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2eq \r(3)，0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(3),2)，\f(5,2))).
因为AD∥BC，∠BAD＝30°，所以∠ABE＝30°.因为AE＝BE，所以∠BAE＝30°，所以直线BE的斜率为eq \f(\r(3),3)，其方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－2eq \r(3))，直线AE的斜率为－eq \f(\r(3),3)，其方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(\r(3),3)x－2\r(3)，,y＝－\f(\r(3),3)x，))得x＝eq \r(3)，y＝－1，
所以E(eq \r(3)，－1)．
所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(5,2)))·(eq \r(3)，－1)＝－1.
思路参考：利用坐标法确定点A，B，D，E的坐标．
－1 解析：过点B作BF垂直于ADF.
因为AB＝2eq \r(3)，∠A＝30°，
则BF＝eq \r(3)，AF＝3.
又因为AD∥BC，AE＝BE，
则∠EBA＝∠BAD＝∠EAB＝30°，则BE＝2.
以F为原点，FD，FB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(－3,0)，B(0，eq \r(3))，D(2,0)，E(－2，eq \r(3))．
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝(2，－eq \r(3))，eq \(AE,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3))，
则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝2－3＝－1.
1．本题考查平面向量数量积的计算问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于数量积计算的两个公式，利用基向量法或者坐标法求解．
2．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握读图能力、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．本题以几何图形的处理为切入点，求向量的数量积，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．
已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
2 解析：(方法一)|a＋2b|＝eq \r(a＋2b2)
＝eq \r(a2＋4a·b＋4b2)
＝eq \r(22＋4×2×1×cs 60°＋4×12)＝eq \r(12)＝2eq \r(3).
(方法二：数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图所示，则|a＋2b|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|.
又∠AOB＝60°， 所以|a＋2b|＝2eq \r(3).定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角
设θ为a与b的夹角，则θ的取值范围是0≤θ≤π
θ＝0或θ＝π⇔a∥b，θ＝eq \f(π,2)⇔a⊥b
定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积
性质
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
读
想
算
思
求eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))
1.数量积的计算方法；
2．用哪个公式好？
用恰当的基底或坐标表示两向量
转化与化归
四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq \r(3)，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，AE＝BE
1.基向量法1；
2．基向量法2；
3．基向量法3；
4．坐标法1；
5．坐标法2
1.几何法计算线段与夹角；
2．用基底或坐标表示eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(AE,\s\up6(→))；
3．计算数量积
1.向量的线性运算法则；
2．数量积计算公式