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第2章 第5节 指数与指数函数-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案
展开这是一份第2章 第5节 指数与指数函数-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案，共11页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
一、教材概念·结论·性质重现
1．n次方根
(1)根式的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
①当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；
②当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
2．有理数指数幂
3.指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
4．指数函数的图象与性质
5.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)eq \r(n,an)＝(eq \r(n,a))n＝a．(×)
(2)(－1)eq \s\up8(eq \f(2,4))＝(－1)eq \s\up8(eq \f(1,2))＝eq \r(－1)．(×)
(3)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)
(4)函数y＝aeq \s\up8(x2＋1) (a>1)的值域是(0，＋∞)．(×)
(5)函数y＝2x－1是指数函数．(×)
(6)若am
A．－9 B．7 C．－10 D．9
B 解析：原式＝2eq \s\up8(6×eq \f(1,2))－1＝23－1＝7.故选B．
3．若函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，则f (－1)＝________.
eq \r(2) 解析：由题意知eq \f(1,2)＝a2，所以a＝eq \f(\r(2),2)，所以f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up8(x)，所以f (－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up8(－1)＝eq \r(2).
4．已知函数f (x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
－eq \f(3,2) 解析：当a>1时，易知f (x)在[－1,0]上单调递增，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f －1＝－1，,f 0＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝－1，,1＋b＝0，))无解．
当0
5．已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up8(－eq \f(1,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up8(－eq \f(1,4))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up8(－eq \f(3,4))，则a，b，c的大小关系是________．
c＜b＜a 解析：因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up8(x)是减函数，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up8(－eq \f(1,3))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up8(－eq \f(1,4))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up8(0)，即a＞b＞1.
又c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up8(－eq \f(3,4))＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up8(0)＝1，所以c＜b＜a.
考点1 指数幂的化简与求值——基础性
1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4B．2a－3＝eq \f(1,2a3)
C．(－2)0＝－1D．(aeq \s\up8(－eq \f(1,4)))4＝eq \f(1,a)
D 解析：对于A，(－2)－2＝eq \f(1,4)，故A错误；对于B,2a－3＝eq \f(2,a3)，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(aeq \s\up8(－eq \f(1,4)))4＝eq \f(1,a)，故D正确．
2．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up8(－eq \f(1,2))·eq \f(\r(4ab－1)3,0.1－1·a3b－3eq \s\up8(\f(1,2)))(a＞0，b＞0)＝________.
eq \f(8,5) 解析：原式＝2×eq \f(23·aeq \s\up12(\f(3,2))·beq \s\up12(－\f(3,2)),10aeq \s\up12(\f(3,2))·beq \s\up12(－\f(3,2)))＝21＋3×10－1＝eq \f(8,5).
3．计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))eq \s\up8(－eq \f(2,3))＋(0.002)eq \s\up8(－eq \f(1,2))－10(eq \r(5)－2)－1＋π0＝________.
－eq \f(167,9) 解析：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))eq \s\up8(－2)＋500eq \s\up8(eq \f(1,2))－eq \f(10\r(5)＋2,\r(5)－2\r(5)＋2)＋1＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20＋1＝－eq \f(167,9).
指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要力求统一．
考点2 指数函数的图象及应用——综合性
(1)已知函数f (x)＝2x－2，则函数y＝|f (x)|的图象可能是( )
B 解析：y＝|f (x)|＝|2x－2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2，x≥1，,2－2x，x<1，))易知函数y＝|f (x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f (x)|≥0. 又y＝|f (x)|在(－∞，1)上单调递减．故选B．
(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．
(0,1) 解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)．
指数函数图象的应用问题的求解方法
(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(2)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．
1．若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
(－∞，0] 解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．
2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
[－1,1] 解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1.
3．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) 解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图1，两个图象只有一个交点，不合题意；当0
考向1 比较大小
已知a＝2eq \s\up8(eq \f(4,3))，b＝4eq \s\up8(eq \f(2,5))，c＝25eq \s\up8(eq \f(1,3))，则( )
A．b
(1)已知实数a≠1，函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，x≥0，,2a－x，x<0.))若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为________．
eq \f(1,2) 解析：当a<1时，41－a＝2，解得a＝eq \f(1,2)；当a>1时，代入不成立．故a的值为eq \f(1,2).
(2)设函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(x)－7，x<0，,\r(x)，x≥0.))若f (a)<1，则实数a的取值范围是________．
(－3,1) 解析：当a<0时，不等式f (a)<1可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(a)－7<1，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(a) <8，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(a)
又a<0，所以－3
所以0≤a<1.
综上，a的取值范围为(－3,1)．
考向3 指数型函数的单调性
已知函数f (x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
(－∞，4] 解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f (x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq \f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
考向4 指数型函数的最值
若函数f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(ax2－4x＋3)有最大值3，则a＝________.
1 解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(h(x))．因为f (x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，
即当f (x)有最大值3时，a的值为1.
1．已知f (x)＝2x－2－x，a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)))eq \s\up8(－eq \f(1,4))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,7)))eq \s\up8(eq \f(1,5))，c＝lg2eq \f(7,9)，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系为( )
A．f (b)＜f (a)＜f (c)B．f (c)＜f (b)＜f (a)
C．f (c)＜f (a)＜f (b)D．f (b)＜f (c)＜f (a)
B 解析：易知f (x)＝2x－2－x在R上为增函数．又a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)))eq \s\up8(－eq \f(1,4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,7)))eq \s\up8(eq \f(1,4))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,7)))eq \s\up8(eq \f(1,5))＝b＞0，c＝lg2eq \f(7,9)＜0，则a＞b＞c，所以f (c)＜f (b)＜f (a)．
2．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0
A 解析：(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y，
令f (x)＝2x－3－x，则f (x)在R上单调递增，且f (x)＜f (y)，
所以x＜y，即y－x＞0，由于y－x＋1＞1，
故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0.
(方法二)取x＝－1，y＝0，满足2x－2y＜3－x－3－y，
此时ln(y－x＋1)＝ln 2＞0，ln|x－y|＝ln 1＝0，可排除BCD．
3．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(x2＋2x－1)的值域是( )
A．(－∞，4)B．(0，＋∞)
C．(0,4]D．[4，＋∞)
C 解析：设t＝x2＋2x－1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(t).因为0
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
D 解析：由题知，80 ℃的物体放在20 ℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ℃，则40＝20＋(80－20)e－4k.从而e－4k＝eq \f(1,3).所以－4k＝ln eq \f(1,3)＝－ln 3，得k＝eq \f(1,4)ln 3≈eq \f(1.009,4)≈0.3.故选D．
5．函数f (x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是________．
[0，＋∞) 解析：设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t的单调递增区间为[1，＋∞)．令2x≥1，得x≥0.又y＝2x在R上单调递增，所以函数f (x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是[0，＋∞).
(2020·临沂月考)设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up8(eq \f(2,5))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up8(eq \f(3,5))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up8(eq \f(2,5))，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
[四字程序]
思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．
A 解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up8(x). 因为0
思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．
A 解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up8(2)＝eq \f(9,25)，b5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up8(3)＝eq \f(8,125)，c5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up8(2)＝eq \f(4,25)，
所以a5> c5> b5，即a>c>b.故选A．
思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．
A 解析：因为a＝eq \r(5,\f(9,25))，b＝eq \r(5,\f(8,125))，c＝eq \r(5,\f(4,25))，所以a>c>b.故选A．
1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法一是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法二与解法三比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法三，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．
2．基于新课程标准，对于比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识. 比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．
(多选题)已知函数a，b满足等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(b)，下列四个关系式中可能成立的是( )
A．0＜b＜aB．a＜b＜0
C．0＜a＜bD．b＜a＜0
AB 解析：函数y1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(x)与y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(x)的图象如图所示．
由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(b)得a
正数的正分数指数幂：aeq \s\up8(eq \f(m,n))＝eq \r(n,am) (a＞0，m，n∈N*，n＞1)
正数的负分数指数幂：aeq \s\up8(－eq \f(m,n))＝eq \f(1,aeq \s\up8(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指数幂的运算性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
0
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0
当x<0时，0
增函数
综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略
常考题型
求解策略
比较幂值
的大小
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指
数不等式
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解，要注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论
探究指数
型函数的
性质
与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致，另外要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决
读
想
算
思
比较大小
比较大小的方法是什么？
式子变换
转化与化归
a, b, c均为幂值的形式
1.利用函数单调性；
2.通过中间量比较大小；
3.作差或商比较
1.构造函数；
2.统一幂指数；
3.化为根式形式
注意分数指数幂的等价变形以及分数指数幂的运算法则
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