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人教A版高一（上）期末数学试卷

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这是一份人教A版高一（上）期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上;，当且仅当x＝4y＝16时取等号等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I（选择题）
一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分，）

1. 已知集合A＝{x||x−2|>1}，B＝{x|y＝lg(2x−x2)}，则(∁RA)∩B＝（）
A.(1, 2)B.[1, 2)C.(2, 3)D.(0, 1]

2. 设a＝lg52，，，则（）
A.a
3. 225∘的余弦值是（）
A.12B.22C.−22D.−12

4. “△ABC中，若∠C=90∘，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为( )
A.△ABC中，若∠C≠90∘，则∠A，∠B全不是锐角
B.△ABC中，若∠C≠90∘，则∠A，∠B不全是锐角
C.△ABC中，若∠C≠90∘，则∠A，∠B中必有一钝角
D.以上都不对

5. 函数f(x)=(ex−1)sinxex+1的部分图形大致为（）
A.B.C.D.

6. 函数fx=lnx+12x−2的零点所在的一个区间是（）
A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4

7. 下列选项中，可以作为曲线y＝ax2−2x−1与x轴有两个交点的充分不必要条件是（）
A.(−1, +∞)B.(−1, 0)∪(0, +∞)C.(−1, 0)D.(−2, +∞)

8. 已知一个扇形的周长为10，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为( ) cm2．
A.25B.5C.254D.252
二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）

9. 已知函数f(x)=(x2−1)2−|x2−1|+k，给出下列四个命题，其中真命题的序号是( )
A.存在实数k，使得函数恰有2个不同的零点
B.存在实数k，使得函数恰有5个不同的零点
C.存在实数k，使得函数恰有6个不同的零点
D.存在实数k，使得函数恰有8个不同的零点

10. 设A，B，C，D是两两不同的四个点，若AC→=mAB→， AD→=nAB→，且m+n=2mn，则下列说法正确的有( )
A.点C可能是线段AB的中点
B.点B可能是线段AC的中点
C.点C，D不可能同时在线段AB上
D.点C，D可能同时在线段AB的延长线上

11. 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（）

A.
B.ω＝2
C.f(7π−x)＝f(x)
D.函数f(x)的图象可由y＝2sinx先向右平移个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的得到

12. 函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有（）
A.f(x2)＝|x|B.f(x2)＝xC.f(csx)＝xD.f(ex)＝x
卷II（非选择题）
三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）

13. 已知lga2=m，lga3=n，则a2m+n=________，lg46=________（用m，n表示）．

14. 已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x2+1x，则当x<0时，f(x)＝________．

15. 已知x>0，y>0，且2x+8y−xy＝0，则xy的最小值为________．

16. [x]是不超过x的最大整数，则方程(2x)2−74•[2x]−14=0满足x<1的所有实数解是________
四、解答题（本题共计 6 小题，共计70分，）

17.(10分) 已知a∈R，命题p:∀x∈1,2，a≤x2；命题q:∃x0∈R，x02+2ax0−a−2=0.
(1)若p是真命题，求a的最大值；

(2)若p∨q是真命题， p∧q是假命题，求a的取值范围．

18.(12分) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin(A−B)=2sin2(C2−π4)．
（1）求sinAcsB的值；

（2）若ab=233，求B．

19.(12分) 已知函数f(x)=2sinx4csx4−23sin2x4+3．
（1）求函数f(x)的最小正周期及最值；

（2）令g(x)＝f(x−a)，其中a>0，若g(x)为偶函数，求a的最小值．

20.(12分) 先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定．甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式．已知第一次购物时该物品单价为p1，第二次购物时该物品单价为p2(p1≠p2)．甲两次购物的平均价格记为Q1，乙两次购物的平均价格记为Q2．
（1）求Q1，Q2的表达式（用力p1，p2表示）；

（2）通过比较Q1，Q2的大小，说明哪种购物方式比较划算．

21. （12分）已知函数 fx 是定义在R上的偶函数，当 x≥0,fx=x3+3x，则 a=f232,b=flg3127，c=f2 的大小关系为（）
A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. b>c>a

22.(12分) 已知二次函数f(x)满足下列3个条件：①函数 f(x)的图象过坐标原点； ②函数f(x)的对称轴方程为x=−12； ③方程f(x)＝x有两个相等的实数根，
（1）求函数f(x)的解析式；

（2）令g(x)＝f(x)−(1+2λ)x，若函数g(x)在[−2, 1]上的最小值为−3，求实数λ的值；

（3）令h(x)＝f(x)−mx2+m−2，若函数h(x)在(0, 1)内有零点，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
人教A版高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）
1.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
利用否命题的形式：条件、结论同时否定写出命题的否命题．注意“全是”的否定是“不全是”
【解答】
解：“△ABC中，若∠C=90∘，则∠A，∠B全是锐角”，
其否命题为“△ABC中，若∠C≠90∘，则∠A，∠B不全是锐角”．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
先判断函数的奇偶性，利用极限思想进行排除即可．
【解答】
f(−x)=(e−x−1)sin(−x)e−x+1=(1−ex)(−sinx)1+ex=(ex−1)sinxex+1=f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，B
当x>0且当x→0时，f(x)<0，排除D，
6.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
由题意可得函数的定义域0,+∞ ，令fx=lnx+12x−2，然后根据f a⋅fb <0，结合零点判定定理可知函数在a,b上存在一个零点，可得结论．
【解答】
解：由题意可得函数的定义域0,+∞，函数f(x)在定义域上连续，
∵f1=−32<0，f2=ln2−1<0，f3=ln3−12>0，
由函数零点的判定定理可知，函数fx=lnx+12x−2在2,3上有一个零点.
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据二次函数的性质和充分不必要条件的定义即可求出．
【解答】
曲线y＝ax2−2x−1与x轴有两个交点，则△＝4+4a>0，且a≠0，解得a>−1，且a≠0
故可以作为曲线y＝ax2−2x−1与x轴有两个交点的充分不必要条件是a∈(−1, 0)，
8.
【答案】
C
【考点】
扇形面积公式
【解析】
设扇形的半径为r，弧长为l，可得l和r的方程组，解方程组代入扇形的面积公式可得．
【解答】
解：设扇形的半径为r，弧长为l，
∴ l+2r=10,l=2r,
解得l=5，r=52，
∴ 扇形的面积S=12lr=254.
故选C．
二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）
9.
【答案】
A,B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
首先考查函数的奇偶性，然后利用复合函数单调性的法则考查函数的性质，最后数形结合即可确定函数零点的个数．
【解答】
原问题等价于考查函数 g(x)＝(x2−1)2−|x2−1|与函数h(x)＝−k的交点个数，
注意到g(x)为奇函数，故首先研究函数g(x)在[0, +∞)上的性质：
当0≤x≤1时，g(x)＝(1−x2)2−(1−x2)，
函数u(x)＝1−x2在区间[0, 1]上单调递减，值域为[0, 1]，
函数y＝u2−u在区间上单调递减，在区间上单调递增，
由复合函数单调性的法则可得，函数g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
同理可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
据此函数函数g(x)的图象如图所示，
如图所示，x轴与函数图象交点个数为5个，选项C正确，
x轴上方的直线与函数图象交点个数为2个，选项A正确，
x轴下方的直线与函数图象交点个数为8个，选项D正确，
交点个数不可能为6个，选项B错误，
10.
【答案】
B,C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
无
【解答】
解：因为m+n=2mn，
所以1m+1n=2．
A，若C是线段AB的中点，
则m=12，则n不存在，
故点C不可能是线段AB的中点，故A错误；
B，若B可能是线段AC的中点，
则m=2，则n=23，
故点B可能是线段AC的中点，故B正确：
C，若点C，D同时在线段AB上，
则0≤m≤1，0≤n≤1，
则m=n=1，
此时C，D重合，与已知矛盾，
故点C，D不可能同时在线段AB上，故C正确；
D，若点C，D同时在线段AB的延长线上，
则m>1，n>1，
则1m+1n<2，这与1m+1n=2矛盾，
所以点C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D错误.
故选BC．
11.
【答案】
C,D
【考点】
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】
根据函数f(x)的部分图象求得A、T、ω和φ的值，利用正弦函数的性质即可得解．
【解答】
根据函数f(x)＝Asin(ωx+φ)的部分图象知，A＝2，
T＝2×（-）＝4π＝，故B错误；
由点（，0)在函数图像上+φ)＝8+φ＝kπ，
解得φ＝kπ−，k∈Z，
因为|φ|<π，可得k＝1时，当k＝0时，故A错误；
可得f(x)＝2sin（x−）(7π−x)−-x)＝2sin（）＝f(x)；
y＝2sinx先向右平移个单位）的图像，
再将图象上的所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝4sin(2x−，故D正确．
12.
【答案】
A,D
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
根据函数的定义分别进行验证即可．
【解答】
A．设t＝x2，则x＝±，则方程等价为f(t)＝|±，满足函数的定义，
B．设t＝x2，则x＝±，则方程等价为f(t)＝±，不满足唯一性，
C．设t＝csx，x＝kπ，不满足唯一性．
D．设t＝ex，则x＝lnt，则方程等价为f(t)＝lnt．
三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）
13.
【答案】
12,m+n2m
【考点】
对数的运算性质
【解析】
利用指数、对数的性质、运算法则和换底公式求解．
【解答】
解：∵ lga2=m，lga3=n，
∴ am=2，an=3，
a2m+n=(am)2×an=22×3=12，
lg46=lga6lga4=lga2+lga32lga2=m+n2m．
故答案为：12；m+n2m．
14.
【答案】
−x2+1x
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
根据函数的奇偶性的性质，进行转化求解即可．
【解答】
若x<0，则−x>0，则f(−x)＝x2−1x，
因为f(x)是奇函数，
所以f(−x)＝x2−1x=−f(x)，
得f(x)＝−x2+1x，(x<0)，
15.
【答案】
64
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
利用基本不等式构建不等式即可得出
【解答】
∵ x>0，y>0，2x+8y−xy＝0，
∴ xy＝2x+8y≥216xy=8xy，
∴ xy≥8，∴ xy≥64．当且仅当x＝4y＝16时取等号．
故xy的最小值为64．
16.
【答案】
x=12或x=−1
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
分0≤x<1，x<0，分别求解符合条件的x．
【解答】
当0≤x<1，[2x]=1，∴ (2x)2=2⇒x=12符合题意；
当x<0，[2x]=0，∴ (2x)2=14⇒x=−1符合题意，
∴ 满足条件的所有实数解为x=12或x=−1．
四、解答题（本题共计 6 小题，共计70分）
17.
【答案】
解：(1)令fx=x2−a，
根据题意，若命题p为真命题，
只要x∈1,2时，fxmin≥0即可，
也就是1−a≥0，
即a≤1，
∴ a的最大值为1.
(2)由(1)知，命题p为真命题时，a≤1；
命题q为真命题时， Δ=4a2−42−a≥0，
解得a≤−2或a≥1.
∵ 命题“p∨q”为真命题，命题"p∧q"为假命题，
∴ 命题p与q一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，−2当命题p为假，命题q为真时，a>1.
综上：a>1或−2【考点】
复合命题及其真假判断
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)令fx=x2−a，
根据题意，若命题p为真命题，
只要x∈1,2时，fxmin≥0即可，
也就是1−a≥0，
即a≤1，
∴ a的最大值为1.
(2)由(1)知，命题p为真命题时，a≤1；
命题q为真命题时， Δ=4a2−42−a≥0，
解得a≤−2或a≥1.
∵ 命题“p∨q”为真命题，命题"p∧q"为假命题，
∴ 命题p与q一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，−2当命题p为假，命题q为真时，a>1.
综上：a>1或−218.
【答案】
sin(A−B)=1−cs(C−π2)=1−sinC=1−sin(A+B)⇒2sinAcsB=1，
∴ sinAcsB=12；
sinAsinB=ab=233，由（1）知sinAcsB=233sinBcsB=33sin2B=12，
∴ sin2B=32，
∴ 2B=π3或2π3，
∴ B=π6或π3．
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由已知利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可得sinAcsB=12；
（2）由已知利用正弦定理及(Ⅰ)可得sin2B=32，进而可求B的值．
【解答】
sin(A−B)=1−cs(C−π2)=1−sinC=1−sin(A+B)⇒2sinAcsB=1，
∴ sinAcsB=12；
sinAsinB=ab=233，由（1）知sinAcsB=233sinBcsB=33sin2B=12，
∴ sin2B=32，
∴ 2B=π3或2π3，
∴ B=π6或π3．
19.
【答案】
函数f(x)=2sinx4csx4−23sin2x4+3=sinx2+3csx2=2sin(x2+π3)．
所以函数的最小正周期为T=2π12=4π，
当x2+π3=2kπ−π2(k∈Z)时，即x=4kπ−5π3(k∈Z)，函数的最小值为−2，
当x=4kπ+π3(k∈Z)时，函数的最大值为2；
令g(x)＝f(x−a)，＝sin[(x−a)2+π3]，
由于函数g(x)为偶函数，
故π3−a2=kπ+π2(k∈Z)，整理得当k＝−1时，a的最小值为53π．
【考点】
三角函数的最值
正弦函数的奇偶性和对称性
【解析】
（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和最值．
（2）利用（1）的结论，进一步利用函数的奇偶性求出a的最小值．
【解答】
函数f(x)=2sinx4csx4−23sin2x4+3=sinx2+3csx2=2sin(x2+π3)．
所以函数的最小正周期为T=2π12=4π，
当x2+π3=2kπ−π2(k∈Z)时，即x=4kπ−5π3(k∈Z)，函数的最小值为−2，
当x=4kπ+π3(k∈Z)时，函数的最大值为2；
令g(x)＝f(x−a)，＝sin[(x−a)2+π3]，
由于函数g(x)为偶函数，
故π3−a2=kπ+π2(k∈Z)，整理得当k＝−1时，a的最小值为53π．
20.
【答案】
设甲两次购物时购物量均为m，则两次购物总花费为p1m+p2m，
购物总量为2m，平均价格为Q1=p1m+p2m2m＝p1+p22．
设乙两次购物时用去的钱数均为n，则两次购物总花费2n，购物总量为np1+np2，
平均价格为Q2=2nnp1+np2＝2p1p2p1+p2，
∴ Q1=p1+p22，Q2=2p1p2p1+p2．
∵ p1≠p2，
∴ Q1−Q2=p1+p22−2p1p2p1+p2=(p1−p2)22(p1+p2)>0，∴ Q1>Q2，
因此可知，第二种购物方式比较划算．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）利用平均数计算公式，分别计算出平均数，即可表示出来．
（2）利用作差法比较两种购物方式中，哪种划算．
【解答】
设甲两次购物时购物量均为m，则两次购物总花费为p1m+p2m，
购物总量为2m，平均价格为Q1=p1m+p2m2m＝p1+p22．
设乙两次购物时用去的钱数均为n，则两次购物总花费2n，购物总量为np1+np2，
平均价格为Q2=2nnp1+np2＝2p1p2p1+p2，
∴ Q1=p1+p22，Q2=2p1p2p1+p2．
∵ p1≠p2，
∴ Q1−Q2=p1+p22−2p1p2p1+p2=(p1−p2)22(p1+p2)>0，∴ Q1>Q2，
因此可知，第二种购物方式比较划算．
21.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
本题考查了函数奇偶性与单调性应用，由偶函数可知b=f(−3)=f(3)又∵
f(x)在[0,+∞)上单增，又2<232<3，则f(2)【解答】
解：a=f(232)，b=flg3127=f(−3)，c=f(2)
∵ 函数f(x)为偶函数∴ b=f(−3)=f(3)
且x≥0时f(x)=x3+3x
∴ f′(x)=3x2+3>0
即f(x)在[0,+∞)上单增
又∵ 2<232<3
∴ f(2)∴ c故选：C．
22.
【答案】
由题意，可设二次函数f(x)＝ax2+bx+c，a≠0．
∵ 函数 f(x)的图象过坐标原点，
∴ f(0)＝0，即c＝0．
又∵ 函数f(x)的对称轴方程为x=−12，
∴ −b2a=−12，即a＝b．
∴ f(x)＝ax2+ax．
∵ 方程f(x)＝x仅有一根，即方程ax2+(a−1)x＝0仅有一根，
又a≠0．只有△＝0，即(a−1)2＝0，解得a＝1．
∴ f(x)＝x2+x．
由题意，g(x)＝x2−2λx，
则函数g(x)的对称轴方程为x＝λ．
①当λ≤−2时，函数g(x)在[−2, 1]上单调递增．
故g(x)min＝g(−2)＝4+4λ．
即4+4λ＝−3，解得λ=−74（舍去）．
②当−2<λ<1时，函数g(x)在[−2, λ]上单调递减，在[λ, 1]上单调递增．
∴ g(x)min＝g(λ)＝−λ2，
即−λ2＝−3，解得λ=−3，λ=3（舍去）．
③当λ≥1时，函数g(x)在[−2, 1]上单调递减
∴ g(x)min＝g(1)＝1−2λ，
即1−2λ＝−3，解得λ＝2．
综上所述，可知：λ=−3，或λ＝2．
由题意，h(x)＝(1−m)x2+x+m−2，
则当x∈(0, 1)时，有(1−m)x2+x+m−2＝0成立．
∵ x∈(0, 1)，∴ x2−1≠0
∴ m=x2+x−2x2−1=x+2x+1=1+1x+1，x∈(0, 1)，
又∵ x+1∈(1, 2)，
∴ 12<1x+1<1
∴ 1+1x+1∈(32,2)，
∴ m∈(32,2)．
【考点】
函数与方程的综合运用
【解析】
本题第（1）题设二次函数f(x)＝ax2+bx+c，a≠0，根据3个条件依次代入可得系数的值，可求出函数f(x)的解析式；
第（2）题要对函数g(x)的对称轴进行分类讨论，再根据二次函数的特点找出最小值的取值点，可求出实数λ的值；
第（3）题根据题意对函数h(x)＝0进行参变量分离，构造m关于x的表达式，转化为函数求值域问题，即可得到实数m的取值范围．
【解答】
由题意，可设二次函数f(x)＝ax2+bx+c，a≠0．
∵ 函数 f(x)的图象过坐标原点，
∴ f(0)＝0，即c＝0．
又∵ 函数f(x)的对称轴方程为x=−12，
∴ −b2a=−12，即a＝b．
∴ f(x)＝ax2+ax．
∵ 方程f(x)＝x仅有一根，即方程ax2+(a−1)x＝0仅有一根，
又a≠0．只有△＝0，即(a−1)2＝0，解得a＝1．
∴ f(x)＝x2+x．
由题意，g(x)＝x2−2λx，
则函数g(x)的对称轴方程为x＝λ．
①当λ≤−2时，函数g(x)在[−2, 1]上单调递增．
故g(x)min＝g(−2)＝4+4λ．
即4+4λ＝−3，解得λ=−74（舍去）．
②当−2<λ<1时，函数g(x)在[−2, λ]上单调递减，在[λ, 1]上单调递增．
∴ g(x)min＝g(λ)＝−λ2，
即−λ2＝−3，解得λ=−3，λ=3（舍去）．
③当λ≥1时，函数g(x)在[−2, 1]上单调递减
∴ g(x)min＝g(1)＝1−2λ，
即1−2λ＝−3，解得λ＝2．
综上所述，可知：λ=−3，或λ＝2．
由题意，h(x)＝(1−m)x2+x+m−2，
则当x∈(0, 1)时，有(1−m)x2+x+m−2＝0成立．
∵ x∈(0, 1)，∴ x2−1≠0
∴ m=x2+x−2x2−1=x+2x+1=1+1x+1，x∈(0, 1)，
又∵ x+1∈(1, 2)，
∴ 12<1x+1<1
∴ 1+1x+1∈(32,2)，
∴ m∈(32,2)．