2020-2021学年新疆高一（上）期末数学试卷人教新课标A版

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这是一份2020-2021学年新疆高一（上）期末数学试卷人教新课标A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A＝{1, 2, 3, 5, 7, 11}，B＝{x|3A.2B.3C.4D.5

2. 已知向量，，若，则m为（）
A.B.C.2D.4

3. 函数y＝lga(x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是（）
A.(4, 1)B.(3, 1)C.(4, 0)D.(3, 0)

4. 函数f(x)=2sinxcsx是（）
A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数

5. 已知函数，若f（f(0)）＝6a，则实数a＝（）
A.1B.2C.4D.8

6. 已知向量AB→=a→+3b→，BC→=5a→+3b→，CD→=−3a→+3b→，则（）
A.A、B、C三点共线B.A、B、D三点共线
C.A、C、D三点共线D.B、C、D三点共线

7. 设a＝50.4，b＝lg0.40.5，c＝lg50.4，则a，b，c的大小关系是（）
A.a
8. 为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）
A.向左平移π6个单位B.向右平移π6个单位
C.向左平移π12个单位D.向右平移π12个单位

9. 已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0, +∞)上是增函数，若f(a)≥f(−2)，则a的取值范围是（）
A.a≤−2B.a≥2C.a≤−2或a≥2D.−2≤a≤2

10. 若sin(π6−α)=13，cs(2π3+2α)=( )
A.29B.−29C.79D.−79

11. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）
A.(0, 1)B.C.D.

12. 已知函数(ω>0)的一个对称中心为，且将y＝f(x)的图象向右平移个单位所得到的函数为偶函数．若对任意ω，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）
A.B.
C.D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

求函数f(x)＝+lg2x的定义域为________．

已知向量，，且与的夹角为θ，那么csθ＝________．

公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18∘，若a2+b＝4，则1−2cs227ab=________．

若方程|2x−2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）

平面内给定三个向量a→=(3,2)，b→=(−1,2)，c→=(4,1)
（1）求3a→+b→−2c→；

（2）求满足a→=mb→+nc→的实数m、n．

求值：
（1）；

（2）已知2a＝5b＝m，且，求实数m的值．

（1）已知，当时，求f(α)的值．
（2）已知函数，x∈R．求f(x)的单调递增区间．

在平面直角坐标系xOy中，已知向量．
（1）若，求x的值；

（2）若与的夹角为α，求α的取值范围．

若函数y＝f(x)自变量的取值区间为[a, b]时，函数值的取值区间恰为，就称区间[a, b]为y＝f(x)的一个“和谐区间”．已知函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0, +∞)时，g(x)＝−x+3．
（1）求g(x)的解析式；

（2）求函数g(x)在(0, +∞)内的“和谐区间”；

（3）若以函数g(x)在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数y＝ℎ(x)的图象，是否存在实数m，使集合{(x, y)|y＝ℎ(x)}∩{(x, y)|y＝x2+m}恰含有2个元素．若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由．

已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω>0．
(1)若y=f(x)在[−π4, 2π3]上单调递增，求ω的取值范围；

(2)令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，区间[a, b](a，b∈R且a参考答案与试题解析
2020-2021学年新疆某校高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
根据题意求出A∩B，进而能求出A∩B中元素的个数．
【解答】
∵ 集合A＝{1, 2, 3, 5, 7, 11}，B＝{x|3∴ A∩B＝{5, 7, 11}，
∴ A∩B中元素的个数为3．
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得2×(−1)＝4m，求出m的值，即可得答案．
【解答】
根据题意，向量，，
若，则2×(−1)＝4m，则m＝-，
3.
【答案】
A
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得它的图象恒过定点的坐标．
【解答】
对于函数y＝lga(x−3)+l(a>0且a≠1)，令x−3＝1，求得x＝4，y＝1，
可得它的图象恒过定点P(4, 1)，
4.
【答案】
C
【考点】
求二倍角的正弦
【解析】
本题考查三角函数的性质f(x)=2sinxcsx=sin2x，周期为π的奇函数．
【解答】
解：∵ f(x)=2sinxcsx=sin2x，
∴ f(x)为周期为π的奇函数，
故选C
5.
【答案】
A
【考点】
求函数的值
函数的求值
【解析】
利用分段函数的的解析式，先求出f(0)的值，然后再根据f（f(0)）＝6a，求解即可．
【解答】
f(0)＝2，
所以f（f(0)）＝f(2)＝22+2a＝4+2a＝6a，解得a＝1．
6.
【答案】
B
【考点】
向量的共线定理
【解析】
利用向量共线定理即可得出．
【解答】
解：∵ BC→+CD→=2a→+6b→=2(a→+3b→)=2AB→，
∴ A、B、D三点共线．
故选：B．
7.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用指数函数与对数函数的单调性分别与0，1比较大小即可得出．
【解答】
∵ a＝50.4>1，b＝lg0.40.5∈(0, 1)，c＝lg50.4<0，
则a，b，c的大小关系为：c8.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
直接利用函数的图象的平移原则求解即可．
【解答】
解：y=sin(2x−π6)=sin(2(x−π12))，∴ 为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，只需把函数y=sin2x的图象
向右平移π12个单位．
故选：D．
9.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
【解答】
∵ 函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0, +∞)上是增函数，
∴ 不等式f(a)≥f(−2)等价为f(|a|)≥f(2)，
即|a|≥2，得a≥2或a≤−2．
10.
【答案】
D
【考点】
三角函数的化简求值
【解析】
通过诱导公式化简所求的表达式，然后通过二倍角公式求解表达式的值即可．
【解答】
解：∵ sin(π6−α)=13，
∴ cs[π2−(π6−α)]=cs(π3+α)=13，
∴ cs(2π3+2α)=2cs2(π3+α)−1=29−1=−79，
故选：D．
11.
【答案】
B
【考点】
指、对数不等式的解法
指数函数的图象与性质
【解析】
不等式恒成立化为x2−2ax>−(3x+a2)恒成立，即△<0，从而求出a的取值范围．
【解答】
不等式恒成立，
即<恒成立，
即x2−2ax>−(3x+a2)恒成立，
即x2−(2a−3)x+a2>0恒成立，
∴ △＝(2a−3)2−4a2<0，
即(2a−3+2a)(2a−3−2a)<0，
解得a>；
∴ 实数a的取值范围是（，+∞)．
12.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
直接利用三角函数的关系式的变换，三角函数的关系式的求法，函数的恒成立问题，一元二次不等式的解法求出结果．
【解答】
由于函数(ω>0)的一个对称中心为，
所以f（）＝，
整理得(k∈Z)①，
且将y＝f(x)的图象向右平移个单位所得到的函数g(x)＝sinω(x+），
由于该函数g(x)＝sinω(x+）为偶函数，
故(k∈Z)②，
由①-②得：ω＝，
对于不等式恒成立，
且函数f(−）＝，
所以ω2+m>m2恒成立，
解得，
当ω＝时，．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【答案】
(0, 1)∪(1, 2]
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】
由题意得：，
解得：0故函数的定义域是(0, 1)∪(1, 2]，
【答案】
-
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据题意，由向量的坐标求出||、||和•，由向量夹角公式计算可得答案．
【解答】
根据题意，向量，，
则||＝＝5，||＝＝10，且•＝3×(−8)+(−4)×6＝−48，
则csθ＝＝＝-，
【答案】
−12
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求b＝4cs218∘，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案．
【解答】
∵ a＝2sin18∘，若a2+b＝4，
∴ b＝4−a2＝4−4sin218∘＝4(1−sin218∘)＝4cs218∘，
∴ 1−2cs227ab=1−2cs2272sin184cs218=−cs544sin18cs18=−sin362sin36=−12，
【答案】
(2, +∞)∪{0}
【考点】
函数的零点与方程根的关系
函数的零点
【解析】
根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】
作出函数y＝|2x−2|的图象如图：
要使方程|2x−2|＝b有一个零点，
则函数y＝|2x−2|与y＝b有一个交点，
则b>2或b＝0，
故实数b的取值范围是b>2或b＝0，
即(2, +∞)∪{0}．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
【答案】
解：（1）∵ a→=(3,2)，b→=(−1,2)，c→=(4,1)，
∴ 3a→+b→−2c→=(9, 6)+(−1, 2)−(8, 2)=(0, 6)；
（2）∵ a→=mb→+nc→，
∴ (3, 2)=m(−1, 2)+n(4, 1)，
∴ 3=−m+4n2=2m+n，解得m=59n=89．
∴ m=59，n=89．
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
平面向量的坐标运算
【解析】
（1）（2）利用向量的线性运算法则及向量相等即可得出．
【解答】
解：（1）∵ a→=(3,2)，b→=(−1,2)，c→=(4,1)，
∴ 3a→+b→−2c→=(9, 6)+(−1, 2)−(8, 2)=(0, 6)；
（2）∵ a→=mb→+nc→，
∴ (3, 2)=m(−1, 2)+n(4, 1)，
∴ 3=−m+4n2=2m+n，解得m=59n=89．
∴ m=59，n=89．
【答案】
原式＝
＝＝99；
因为2a＝5b＝m，
所以a＝lg2m，b＝lg5m，
所以，
所以．
【考点】
有理数指数幂的运算性质及化简求值
【解析】
（1）直接利用有理数指数幂及根式的运算性质求解即可；
（2）先利用指数式和对数式的互化，表示出a，b的值，然后利用对数的运算性质求解即可．
【解答】
原式＝
＝＝99；
因为2a＝5b＝m，
所以a＝lg2m，b＝lg5m，
所以，
所以．
【答案】
＝＝−csα，
所以当时，求f（）＝−cs＝．
令-+2kπ≤2x−≤+2kπ，k∈Z，
则-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z．
【考点】
正弦函数的单调性
运用诱导公式化简求值
【解析】
（1）利用诱导公式化简，再将代入f(α)中求解即可．
（2）令-+2kπ≤2x−≤+2kπ，可得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即可得到函数f(x)的单调递增区间．
【解答】
＝＝−csα，
所以当时，求f（）＝−cs＝．
令-+2kπ≤2x−≤+2kπ，k∈Z，
则-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z．
【答案】
∵ ，∴ ，∴ tanx＝1，
由，所以．
＝，
∵ ，∴ ，∴ ∈，
即，
∵ α∈(0, π)，∴ ．
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
（1）利用向量的垂直关系，通过数量积为0，求解即可．
（2）利用向量的数量积求解与的夹角为α的余弦函数值，然后求解范围即可．
【解答】
∵ ，∴ ，∴ tanx＝1，
由，所以．
＝，
∵ ，∴ ，∴ ∈，
即，
∵ α∈(0, π)，∴ ．
【答案】
因为g(x)为R上的奇函数，
∴ g(0)＝0，
又当x∈(0, +∞)时，g(x)＝−x+3，
所以，当x∈(−∞, 0)时，g(x)＝−g(−x)＝−(x+3)＝−x−3，
∴ ；
设0∵ g(x)在(0, +∞)上递单调递减，
∴ ，即a，b是方程的两个不等正根．
∵ 0∴ ，
∴ g(x)在(0, +∞)内的“和谐区间”为[1, 2]；
设[a, b]为g(x)的一个“和谐区间”，
则，
∴ a，b同号．
当a∴ ，
依题意，抛物线y＝x2+m与函数ℎ(x)的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此m应当使方程x2+m＝−x+3在[1, 2]内恰有一个实数根，并且使方程x2+m＝−x−3，在[−2, −1]内恰有一个实数．
由方程x2+m＝−x+3，即x2+x+m−3＝0在[1, 2]内恰有一根，
令F(x)＝x2+x+m−3，则，解得−3≤m≤1；
由方程x2+m＝−x−3，即x2+x+m+3＝0在[−2, −1]内恰有一根，
令G(x)＝x2+x+m+3，则，解得−5≤m≤−3．
综上可知，实数m的取值集合为{−3}．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）运用函数的奇偶性求出g(x)的解析式即可；
（2）利用g(x)在(0, +∞)上的单调性，得到关于a和b的一个方程组，构造一个方程使得a，b恰好是其两个根，求解即可；
（3）根据题意，先分析出a和b同号，然后得到ℎ(x)的解析式，判断出抛物线y＝x2+m与函数ℎ(x)的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，由此将问题转化为方程的根的问题进行分析求解即可得到答案．
【解答】
因为g(x)为R上的奇函数，
∴ g(0)＝0，
又当x∈(0, +∞)时，g(x)＝−x+3，
所以，当x∈(−∞, 0)时，g(x)＝−g(−x)＝−(x+3)＝−x−3，
∴ ；
设0∵ g(x)在(0, +∞)上递单调递减，
∴ ，即a，b是方程的两个不等正根．
∵ 0∴ ，
∴ g(x)在(0, +∞)内的“和谐区间”为[1, 2]；
设[a, b]为g(x)的一个“和谐区间”，
则，
∴ a，b同号．
当a∴ ，
依题意，抛物线y＝x2+m与函数ℎ(x)的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此m应当使方程x2+m＝−x+3在[1, 2]内恰有一个实数根，并且使方程x2+m＝−x−3，在[−2, −1]内恰有一个实数．
由方程x2+m＝−x+3，即x2+x+m−3＝0在[1, 2]内恰有一根，
令F(x)＝x2+x+m−3，则，解得−3≤m≤1；
由方程x2+m＝−x−3，即x2+x+m+3＝0在[−2, −1]内恰有一根，
令G(x)＝x2+x+m+3，则，解得−5≤m≤−3．
综上可知，实数m的取值集合为{−3}．
【答案】
解：(1)∵ ω>0，y=f(x)=2sinωx在[−π4, 2π3]上单调递增，
∴ −π4ω≥−π2,2π3ω≤π2,
解得0<ω≤34．
∴ ω的取值范围为(0, 34]．
(2)令ω=2，将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位长度，
可得函数y=2sin2(x+π6)=2sin(2x+π3)的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)=2sin(2x+π3)+1的图象，
令g(x)=0，求得sin(2x+π3)=−12，
∴ 2x+π3=2kπ+7π6，或 2x+π3=2kπ+11π6，k∈Z，
求得x=kπ+5π12 或x=kπ+3π4，k∈Z，
故函数g(x)的零点为x=kπ+5π12或x=kπ+3π4，k∈Z,
∴ 相邻两个零点之间的距离为π3或2π3．
若b−a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a, π+a]，[a, 2π+a]，
⋯，[a, mπ+a](m∈N∗)分别恰有3，5，⋯，2m+1个零点，
∴ 在区间[a, 14π+a]上恰有29个零点，
从而在区间(14π+a, b]上至少有一个零点，
∴ b−a−14π≥π3．
另一方面，在区间[5π12, 14π+π3+5π12]上恰有30个零点，
∴ b−a的最小值为14π+π3=43π3．
【考点】
正弦函数的单调性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的图象
函数的零点
【解析】
（1）依题意可得−π4ω≥−π22π3ω≤π2，解之即可．
（2）由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得g(x)的解析式，令g(x)=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b−a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a, mπ+a](m∈N∗)恰有2m+1个零点，所以在区间[a, 14π+a]是恰有29个零点，从而在区间(14π+a, b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b−a的最小值．
【解答】
解：(1)∵ ω>0，y=f(x)=2sinωx在[−π4, 2π3]上单调递增，
∴ −π4ω≥−π2,2π3ω≤π2,
解得0<ω≤34．
∴ ω的取值范围为(0, 34]．
(2)令ω=2，将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位长度，
可得函数y=2sin2(x+π6)=2sin(2x+π3)的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)=2sin(2x+π3)+1的图象，
令g(x)=0，求得sin(2x+π3)=−12，
∴ 2x+π3=2kπ+7π6，或 2x+π3=2kπ+11π6，k∈Z，
求得x=kπ+5π12 或x=kπ+3π4，k∈Z，
故函数g(x)的零点为x=kπ+5π12或x=kπ+3π4，k∈Z,
∴ 相邻两个零点之间的距离为π3或2π3．
若b−a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a, π+a]，[a, 2π+a]，
⋯，[a, mπ+a](m∈N∗)分别恰有3，5，⋯，2m+1个零点，
∴ 在区间[a, 14π+a]上恰有29个零点，
从而在区间(14π+a, b]上至少有一个零点，
∴ b−a−14π≥π3．
另一方面，在区间[5π12, 14π+π3+5π12]上恰有30个零点，
∴ b−a的最小值为14π+π3=43π3．

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