高一(上)期末数学试卷

这是一份高一(上)期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（　　）
A. M∪N B. M∩N C. ∁U(M∪N) D. ∁U(M∩N)
2. 已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 如图，点M是△ABC的重心，则MA+MB−MC为（　　）
A. O
B. 4ME
C. 4MF
D. 4MD

4. 下列向量中不是单位向量的是（　　）
A. (−1,0) B. (1,1) C. (cosa,sina) D. a|a|(|a|≠0)
5. 已知向量a=（-1，2），b=（2，m），若a∥b，则m=（　　）
A. −4 B. 4 C. −1 D. 1
6. 已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（　　）
A. 12 B. −1 C. −2 D. −3
7. 设x∈R，向量a=（3，x），b=（-1，1），若a⊥b，则|a|=（　　）
A. 6 B. 4 C. 32 D. 3
8. 在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（　　）
A. y=sinx B. y=cosx C. y=tanx D. y=tan2x
9. 函数 y=5sin（2x+π6）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2x的图象？（　　）
A. 向右平移 π6 B. 向左平移 π6 C. 向右平移 π12 D. 向左平移 π12
10. 计算sin7π6=（　　）
A. 12 B. −12 C. 32 D. −32
11. 与-60°角的终边相同的角是（　　）
A. 300∘ B. 240∘ C. 120∘ D. 60∘
12. 已知集合{α|2kπ+π4≤α≤2kπ+π2​，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 比较大小：sin1______cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．
14. 已知向量a=（1，1），b=（2，0），则向量a，b的夹角的余弦值为______．
15. 已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|OM+ON|=______．
16. 定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=f(b)−f(a)b−a，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知函数f(x)=lg(x+1)-lg(1-x)．
（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；
（Ⅱ）判断函数f(x)的奇偶性．







18. 已知集合 A={x|2sin x-1＞0，0＜x＜2π}，B={x|2x2−x＞4}．
（1）求集合 A 和 B；
（2）求 A∩B．







19. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，求函数f（x）的解析式．












20. 已知f(x)=2sin(2x−π6)
（Ⅰ） 求函数f(x)的单调递增区间与对称轴方程；
（Ⅱ） 当x∈[0,π2]时，求f(x)的最大值与最小值．







21. 如图，在平面直角坐标系中，点A（−12，0），B（32，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．
（Ⅰ） 用角α的三角函数表示点P的坐标；
（Ⅱ） 当AP⋅BP=-14时，求α的值．











22. 如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（-x）≠-f（x），则称该函数是“X-函数”．
（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1； ③y=x2+2x-3是否为“X-函数”？（直接写出结论）
（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X-函数”，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知f（x）=x,x∈Bx2+1,x∈A是“X-函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．







答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：CUM={1，4，6}，CUN={1，2，3，6}
选项A，M∪N={1，2，3，4，6}，不满足题意；
选项B，M∩N={5}，不满足题意．
选项C，CU（M∪N）={1，6}，满足题意；
选项D，CU（M∩N）={1，2，3，4，6}，不满足题意；
故选：C．
先求出集合M和集合N的补集，然后根据交集的定义和并集的定义进行逐一进行判定即可．
本题主要考查了集合的交、并、补集的混合运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】
解：∵θ是第二象限角，
∴sinθ＞0，cosθ＜0，
则点M（sinθ，cosθ）在第四象限．
故选：D．
由角θ的范围得到sinθ，cosθ的符号，则答案可求．
本题考查三角函数的象限符号，是基础题
3.【答案】C
【解析】
解：设AB的中点为F
∵点M是△ABC的重心
∴．
故为C
先用向量加法的平行四边形法则化简，再用三角形重心的性质：重心分中线为求值．
考查向量加法法则及三角形重心的性质．
4.【答案】B
【解析】
解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量；
B中的向量的模=，因此不是单位向量．
故选：B．
利用单位向量的模为1即可判断出．
本题考查了单位向量的模为1的性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】
解：∵向量=（-1，2），=（2，m），∥，
∴，
解得m=-4．
故选：A．
利用向量平行的性质能求出m．
本题考查与已知实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．
6.【答案】D
【解析】
解∵A、B、C三点共线，
∴，共线；
∵=（3，1），=（a，-1）
∴3×（-1）=a
解得，a=-3，
故选：D．
由A、B、C三点共线，得，共线；利用向量的知识求出a的值．
本题考查了三点共线的判定问题，利用向量的知识比较容易解答．
7.【答案】C
【解析】
解：∵x∈R，向量=（3，x），=（-1，1），⊥，
∴=-3+x=0，
解得x=3，∴=（3，3），
∴||==3．
故选：C．
由⊥，求出x=3，从而=（3，3），由此能求出||．
本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量垂直的性质的合理运用．
8.【答案】C
【解析】
解：y=sinx是奇函数，周期为2π，
y=cosx是偶函数，周期为2π，
y=tanx是奇函数，周期为π，
y=tan2x是奇函数，周期为．
故选：C．
根据三角函数的奇偶性和周期公式判断．
本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】
解：把函数y=5sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=5sin2x的图象，
故选：C．
由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】
解：sin=sin（π+）=-sin=-，
故选：B．
由条件应用诱导公式化简三角函数式，可得结果．
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】
解：与-60°终边相同的角一定可以写成 k×360°-60°的形式，k∈z，
令k=1 可得，300°与-60°终边相同，
故选：A．
与-60°终边相同的角一定可以写成 k×360°-60°的形式，k∈z，检验各个选项中的角是否满足此条件．
本题考查终边相同的角的特征，凡是与α 终边相同的角，一定能写成k×360°+α，k∈z的形式．
12.【答案】B
【解析】
解：集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，表示第一象限的角，
故选：B．
先由图象写出角在0°～360°间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合．
本题考查角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用
13.【答案】＞
【解析】
解：由三角函数的图象可知当时，sinx＞cosx，
∵，
∴sin1＞cos1．
故答案为：＞．
利用在上的单位圆中的三角函数线及，即可得出sin1与cos1的大小关系．
熟练掌握正弦、余弦、正切函数的单调性是解题的关键．
14.【答案】22
【解析】
解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵=（1，1），=（2，0），
∴cosθ===，
即向量，的夹角的余弦值为，
故答案为：．
利用两个向量的数量积的定义，求得向量，的夹角的余弦值．
本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．
15.【答案】π
【解析】
解：由题意，M，N关于点（，0）对称，
∴|+|=2×=π，
故答案为π．
由题意，M，N关于点（，0）对称，即可求出|+|．
本题考查三角函数图象的对称性，考查向量知识的运用，确定M，N关于点（，0）对称是关键．
16.【答案】（0，2）
【解析】
解：∵函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，
∴关于x的方程x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根．
即x2-mx-1=-m在（-1，1）内有实数根．
即x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必为均值点，
即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求实数m的取值范围是（0，2）．
故答案为：（0，2）
函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．
本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．
17.【答案】解：（1）依题意有1−x>0x+1>0
解得-1＜x＜1
故函数的定义域为（-1，1）
（2）∵f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数．
【解析】
本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决函数奇偶性的基本方法．
（1）欲使f（x）有意义，须有，解出即可；
（2）利用函数奇偶性的定义即可作出判断；

18.【答案】解：（1）集合A={x|2sinx -1＞0，0＜x＜2π}
={x|sinx＞12，0＜x＜2π}
={x|π6＜x＜5π6}，
B={x|2x2−x＞4}
={x|x2-x＞2}
={x|x＜-1或x＞2}；
（2）根据交集的定义知，
A∩B={x|2＜x＜5π6}．
【解析】

（1）解不等式求得集合A、B；
（2）根据交集的定义写出A∩B．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
19.【答案】解：由题意A=1，2πω=25π6−−π6，
∴ω=1，
易知点−π6+5π62,1在函数图象上，将（2π6，1）代入f（x）=sin（x+φ），可得sin（2π6+φ）=1，
∵|φ|＜π2，∴φ=π6，
∴f（x）=sin（x+π6）．
【解析】
本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．

20.【答案】解：（Ⅰ） 因为f(x)=2sin(2x−π6)，由−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，
求得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，
可得函数f（x）的单调递增区间为[−π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z．
由2x−π6=π2+kπ，k∈Z，求得x=π3+kπ2．
故f（x）的对称轴方程为x=π3+kπ2，其中k∈Z．
（Ⅱ） 因为0≤x≤π2，所以−π6≤2x−π6≤5π6，
​故有−12≤sin(2x−π6)≤1
故当2x−π6=−π6即x=0时，f（x）的最小值为-1，
当2x−π6=π2即x=π3时，f（x）的最大值为2．

【解析】
本题主要考查正弦函数的单调性、以及图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
（Ⅰ） 利用正弦函数的单调性、以及图象的对称性，求得函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程．
（Ⅱ）当x∈[0，]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值与最小值．
21.【答案】解：（I）P（cosα，sinα）．…2分
（II）AP=(cosα+12，sinα)，BP=(cosα−32，sinα)AP⋅BP=(cosα+12)(cosα−32)+sin2α，=cos2α−cosα−34+sin2α=14−cosα
因为AP⋅BP=−14，所以14−cosα=−14，即cosα=12，
因为α为锐角，所以α=π3．…6分
（Ⅲ） 法一：
设M（m，0），
则|AP|2=(cosα+12)2+sin2α=1+cosα+14=cosα+54，|MP|2=(cosα−m)2+sin2α=1−2mcosα+m2，
因为|AP|=12|AP|，所以cosα+54=14(1−2mcosα+m2)，
所以(1+m2)cosα+(1−m24)=0对任意α∈(0，π2)成立，
所以1+m2=01−m24=0，所以m=-2．M点的横坐标为-2．…10分
法二：设M（m，0），
则|AP|2=(cosα+12)2+sin2α=1+cosα+14=cosα+54，|MP|2=(cosα−m)2+sin2α=1−2mcosα+m2，
因为|AP|=12|AP|，
所以cosα+54=14(1−2mcosα+m2)，即m2-2mcosα-4cosα-4=0，（m+2）[（m-2）-2cosα]=0，
因为α可以为任意的锐角，（m-2）-2cosα=0不能总成立，
所以m+2=0，即m=-2，M点的横坐标为-2．…10分．
【解析】

（ I）利用三角函数的定义写出P（cosα，sinα）．
（II）求出向量，利用，求出，即可得到，
（Ⅲ） 法一：设M（m，0），利用向量的平方，通过，求出m=-2．即可得到M点的横坐标．
法二：设M（m，0），利用向量的平方，通过，推出α可以为任意的锐角，（m-2）-2cosα=0不能总成立，然后求解m，得到M点的横坐标为-2．
本题考查向量的数量积的应用，三角函数的定义的应用，考查转化思想以及计算能力．
22.【答案】解：（Ⅰ）①、②是“X-函数”，③不是“X-函数”；----（2分）
（说明：判断正确一个或两个函数给1分）
（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（-x）≠-f（x），即f（-x）+f（x）≠0；
因为f（x）=sinx+cosx+a，
所以f（-x）=-sinx+cosx+a，
故f（x）+f（-x）=2cosx+2a；
由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠-cosx；---（4分）
又cosx∈[-1，1]，
所以实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）；---（5分）
（Ⅲ）（1）对任意的x≠0，
（i）若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），
这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），
（ii）若x∈B且-x∈B，则f（-x）=-x=-f（x），
这与y=f（x）是“X-函数”矛盾，（舍去）；
此时，由y=f（x）的定义域为R，
故对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B；
（2）假设存在x0＜0，使得x0∈A，则由x0＜x02，故f（x0）＜f（x02）；
（i）若x02∈A，则f（x02）=x024+1＜x02+1=f（x0），矛盾，
（ii）若x02∈B，则f（x02）=x02＜0＜x02+1=f（x0），矛盾；
综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（-∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；
（3）假设0∈B，则f（-0）=-f（0）=0，矛盾，故0∈A；
故A=[0，+∞），B=（-∞，0]；
经检验A=[0，+∞），B=（-∞，0），符合题意．---（8分）
【解析】

（Ⅰ）根据“X-函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X-函数”；
（Ⅱ）由题意，对任意x∈R，f（-x）≠-f（x），利用不等式求出a的取值范围；
（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B；
（2）用反证法说明（-∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A；
（3）用反证法说明0∈A，即得A、B．
本题考查了新定义的函数的应用问题，也考查了反证法与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．