高一(上)期末数学试卷

这是一份高一(上)期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1. 已知平面α，β，直线l⊥α，直线m⊂β，有下面四个命题：
（1）l⊥α，α∥β∥⇒l⊥m    （2）l⊥α，m⊂β，α⊥β⇒l∥m
（3）l∥m，l⊥α，m⊂β⇒α⊥β     （4）l⊥m⇒α∥β，
其中正确的是（　　）
A. (1)与(2) B. (1)与(3) C. (3)与(4) D. (2)与(4)
2. 已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为（　　）
A. y=x+2 B. y=x−2 C. y=−x+2 D. y=−x−2
3. 某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是（　　）

A. 三棱锥
B. 四棱锥
C. 三棱柱
D. 四棱柱


4. 圆x2+y2=1上的点到点M（3，4）的距离的最小值是（　　）
A. 1 B. 4 C. 5 D. 6
5. 过点（-1，3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（　　）
A. 2x+y−1=0 B. 2x+y−5=0 C. x+2y−5=0 D. x−2y+7=0
6. 下列命题中，错误的命题是（　　）
A. 平行于同一直线的两个平面平行
B. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交
C. 平行于同一平面的两个平面平行
D. 一条直线与两个平行平面所成的角相等
7. 圆x2+y2-2x+2y=0的周长是（　　）
A. 22π B. 2π C. 2π D. 4π
8. 直线2x+y+1=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（　　）
A. k=2，b=1 B. k=−2，b=−1
C. k=−2，b=1 D. k=2，b=−1
9. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与AC（　　）
A. 异面且垂直 B. 异面但不垂直 C. 相交且垂直 D. 相交但不垂直
10. 已知圆心在点P（-2，3），并且与y轴相切，则该圆的方程是（　　）
A. (x−2)2+(y+3)2=4 B. (x+2)2+(y−3)2=4
C. (x−2)2+(y+3)2=9 D. (x+2)2+(y−3)2=9
11. 将8个半径为1实心铁球溶化成一个大球，则这个大球的半径是(　　)
A. 8 B. 22 C. 2 D. 24
12. 已知三点A（1，-1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（　　）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 不确定
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 圆C：x2+y2+2x+2y-2=0，l：x-y+2=0，求圆心到直线l的距离______．
14. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是______


15. 已知l，m为直线，α为平面，l∥α，m⊂α，则l与m之间的关系是______．
16. 圆柱的底面半径为3，侧面积为12π，则圆柱的体积为______．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
17. 已知直线l：3x−y+1=0，方程x2+y2-2mx-2y+m+3=0表示圆．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=-2时，试判断直线l与该圆的位置关系，若相交，求出相应弦长．







18. 求经过A（-2，3），B（4，-1）的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．







19. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为矩形，AB⊥平面AA1D1D，CD⊥平面AA1D1D，E、F分别为A1B1、CC1的中点，且AA1=CD=2，AB=AD=1．
（1）求证：EF∥平面A1BC；
（2）求D1到平面A1BC1的距离．










20. 已知圆C：x2+y2+Dx+Ex+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心在第二象限，半径为2．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点A（3，5）向圆C引切线，求切线的长．







21. 已知直线l过点（1，4）．
（1）若直线l与直线l1：y=2x平行，求直线l的方程并求l与l1间的距离；
（2）若直线l在x轴与y轴上的截距均为a，且a≠0，求a的值．







答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：对于①l⊥α，α∥β，m⊂β⇒l⊥m正确；
对于②l⊥α，m⊂β，α⊥β⇒l∥m；l与m也可能相交或者异面；
对于③l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又因为m⊂β则α⊥β正确；
对于④l⊥m，l⊥α则m可能在平面α内，也可能不在平面α内，所以不能得出α∥β；综上所述①③正确，
故选：B．
利用平面与平面之间的位置关系，结合平行的判定定理以及性质定理，对选项逐一判断即可．
本题考查平面与平面之间的位置关系，考查空间想像能力及组织材料判断面面间位置关系的能力，属于基本题型
2.【答案】A
【解析】
解：∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为k=tan45°=1，
由斜截式可得方程为：y=x+2，
故选A
由题意可得直线的斜率和截距，由斜截式可得答案．
本题考查直线的斜截式方程，属基础题．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查简单几何体的三视图的判断与应用，是基本知识的考查．
根据几何体的三视图，得出该几何体是什么图形．
【解答】
解：根据该几何体的三视图，得出该几何体是平放的三棱柱，
​如图所示；

故选C．
4.【答案】B
【解析】
解：圆x2+y2=1上的点到点M（3，4）的距离的最小值=|OM|-R
==4．
故选：B．
利用圆x2+y2=1上的点到点M（3，4）的距离的最小值=|OM|-R即可得出．
本题考查了点与圆的位置关系及其两点间的距离公式，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】
解：根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2，
又知其过点（-1，3），
由点斜式得所求直线方程为2x+y-1=0．
根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．
本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．
6.【答案】A
【解析】
解：对于A，平行于同一直线的两个平面平行，不正确，如两相交平面，使直线与交线平行；
对于B，一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交，满足直线与平面相交的性质，正确．
对于C，平行于同一平面的两个平面平行，根据面面平行的性质可知正确；
对于D，一条直线与两个平行平面所成的角相等，因为直线在两个平面内的射影平行，所以所成的角相等，正确．
故选：A．
根据面面平行的判定定理、以及性质进行逐一进行判定，对不正确的进行列举反例即可．
本题主要考查了平面与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】
解：x2+y2-2x+2y=0即（x-1）2+（y+1）2=2
所以圆的半径为，故周长为
故选A
由配方法化为标准式，求出圆的半径，再求周长即可．
本题考查圆的一般方程和标准方程，属基础知识的考查．
8.【答案】B
【解析】
解：由直线方程2x+y+1=0化为斜截式：y=-2x-1．
可得斜率k=-2，在y轴上的截距为b=-1．
故选：B．
由直线方程2x+y+1=0化为斜截式：y=-2x-1，即可得出
本题考查了直线的斜截式、斜率与截距，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】
解：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与AC是异面直线．
将BC1平移至AD1处，
∠D1AC就是所求的角，又△AD1C为正三角形．
∴∠D1AC=60°．故异面直线AC与BC1所成的角的大小为 60°．
故选B．
先根据空间直线的位置关系判断它僮异面直线，再通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】
解：因为圆心点P（-2，3）到y轴的距离为|-2|=2，且圆与y轴相切，
所以圆的半径为2，
则该圆的标准方程为：（x+2）2+（y-3）2=4．
故选B
由所求圆与y轴相切可得，圆心P到y轴的距离等于半径，根据P点坐标求出P到y轴的距离，得到圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．
此题考查了圆的标准方程，要求学生会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．由圆与y轴相切，根据P点横坐标的绝对值求出P到y轴的距离得到圆的半径是解本题的关键．
11.【答案】C
【解析】
解：8个半径为1实心铁球的体积为：8×=，
设溶成的大球半径为R，则R3=，
解得：R=2，
故选：C．
根据等体积法，求出8个半径为1实心铁球的总体积，可得答案．
本题考查的知识点是球的体积与表面积，难度不大，属于基础题．
12.【答案】B
【解析】
解：∵三点A（1，-1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，
∴kAB=kAC，
∴，
解得a=3．
故选：B．
三点A（1，-1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，可得kAB=kAC，利用斜率计算公式即可得出．
本题考查了三点共线与斜率的关系、斜率计算公式，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】
解：圆C：x2+y2+2x+2y-2=0，配方为：（x+1）2+（y+1）2=4，可得圆心C（-1，-1）．
∴圆心到直线l的距离d==．
故答案为：．
配方可得圆心，利用点到直线的距离公式即可得出．
本题考查了点圆的标准方程、到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】10π3
【解析】
解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，
且圆锥的底面圆的半径r=2、高是2，圆柱的底面圆的半径r=2、高是1，
所以此几何体的体积V==，
故答案为：．
根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，并求出底面圆的半径以及几何体的高，由椎体、柱体的体积公式求出此几何体的体积．
本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
15.【答案】平行或异面
【解析】
解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
A1B1∥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
A1B1与AB平行，A1B1与BC异面，
∴l，m为直线，α为平面，l∥α，m⊂α，
则l与m之间的关系是平行或异面．
故答案为：平行或异面．
以正方体为载体，列举出所有情况，能求出两直线间的关系．
本题考查两直线间的位置关系的判断，考查空间中空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．
16.【答案】18π
【解析】
解：设圆柱的高为h，则2π×3×h=12π，
∴h=2．
∴圆柱的体积V=π×32×2=18π．
故答案为：18π．
利用侧面积公式计算圆柱的高，代入体积公式计算．
本题考查了圆柱的面积与体积计算，属于基础题．
17.【答案】解：（Ⅰ）∵方程x2+y2-2mx-2y+m+3=0表示圆，
∴4m2+4-4（m+3）＞0⇒m＜-1或m＞2．
∴实数m的取值范围是{m|m＜-1或m＞2}
（Ⅱ）当m=-2时，圆的方程可化为x2+y2+4x-2y+1=0，即（x+2）2+（y-1）2=4．
∴圆心为（-2，1），半径为r=2
则：圆心到直线的距离d=|−23−1+1|3+1=3＜r．
∴直线与圆相交．
弦长公式l=2r2−d2=24−3=2．
故得弦长为2．
【解析】

（Ⅰ）根据圆的一般式可知半径r=4m2+4-4（m+3）＞0，可得实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=-2时，可得圆的圆心为圆心为（-2，1），半径为r=2，利用圆心到直线的距离与半径比较可得答案，利用弦长公式l=，可得相应的弦长．
本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，直线被圆截得的弦长的计算．属于基础题．
18.【答案】解：过A（-2，3），B（4，-1）两点的两点式直线方程为 y+13+1=x−4−2−4；
点斜式直线方程为：y+1=-23（x-4），
斜截式直线方程为：y=-23x+53，
截距式直线方程为：x52+y53=1，
一般式直线方程为：2x+3y-5=0．
【解析】

根据题意，分别求出直线的两点式、点斜式，斜截式，截距式和一般式方程即可．
本题考查了过两点求直线的五种形式方程应用问题，是基础题．
19.【答案】（1）证明：取A1B的中点O，连接OE，OC，则OE平行且等于12BB1，
∵F为CC1的中点，∴CF平行且等于12CC1，
∴OE平行且等于CF，
∴四边形OECF是平行四边形，
∴EF∥OC，
∵EF⊄平面A1BC，OC⊂平面A1BC，
∴EF∥平面A1BC；
（2）解：△A1BC1中，A1B=A1C1=5，BC1=6，∴面积为12×6×5−(62)2=212．
设D1到平面A1BC1的距离为h，则13×212h=13×12×2×1×2
∴h=42121．
即D1到平面A1BC1的距离为42121．
【解析】

（1）取A1B的中点O，连接OE，OC，证明四边形OECF是平行四边形，可得EF∥OC，即可证明EF∥平面A1BC；
（2）利用等体积法求D1到平面A1BC1的距离．
本题考查线面平行的判断，考查点到平面的距离，正确求体积是关键．
20.【答案】解：（1）将圆C化成标准方程，得（x+D2）2+（y+E2）2=14（D2+E2-12）
∴圆C的圆心坐标为（-D2，-E2），半径r=12D2+E2−12
∵圆C关于直线x+y-1=0对称，半径为2．
∴-D2-E2-1=0且12D2+E2−12=2，
解之得D=2E=−4或D=−4E=2
结合圆心C在第二象限，得C的坐标为（-1，2），（舍去C（1，-2））
∴圆C的方程是（x+1）2+（y-2）2=2．
（2）∵C（-1，2），
∴|AC|=42+32=5，
∴切线长为|AC|2−r2=52−2=23．
【解析】

（1）根据题意，求得圆心C（-，-）在x+y-1=0上，且半径r==．联解得D、E的值，即可得到圆C的标准方程；
（2）求出|AC|的长度，进行计算即可．
本题主要考查圆的标准方程的求解，根据圆的对称性是解决本题的关键．
21.【答案】解：（1）由于直线l过点（1，4）与直线l1：y=2x平行，则y-4=2（x-1），化为y=2x+2．
l与l1间的距离d=|2−0|22+(−1)2=255．
（2）由题意可得直线l的方程为：xa+ya=1，把点（1，4）代入可得：1a+4a=1，解得a=5．
【解析】

（1）由于直线l过点（1，4）与直线l1：y=2x平行，则y-4=2（x-1），再利用相互平行的直线斜率之间的距离公式即可得出；
（2）由题意可得直线l的方程为：=1，把点（1，4）代入解得a即可得出．
本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系及其距离、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．