2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（下）入学数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（下）入学数学试卷，共23页。

A．4B．3C．2D．1
2．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10B．a3÷a﹣1＝a2C．a•2a2＝2a4D．（﹣a2）3＝﹣a6
3．（3分）如图所示，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
4．（3分）北京时间5月27日，蛟龙号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟作业区开展了本航段第3次下潜，最大下潜深度突破6500米（ ）
A．65×102B．6.5×102C．6.5×103D．6.5×104
5．（3分）已知关于x的一次函数y＝（2﹣m）x+2的图象如图所示，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞0D．m＜0
6．（3分）分式方程的解为（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝﹣D．x＝
7．（3分）一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．（3分）由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的三视图如下图所示，则这个立体图形可能是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为（ ）
A．75°B．100°C．105°D．120°
10．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）
11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，BP＝6，∠APC＝30°（ ）
A．B．2C．2D．8
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：3a2﹣12a+12＝ ．
14．（3分）如图，已知点P（1，2）在反比例函数，观察图象可知，当x＞1时 ．
15．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sinB的值为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，F分别是AB，AC的中点，连接BP，CP，则 ．
三．解答题（共72分）
17．（6分）计算：|﹣2|+sin60°﹣+2﹣2．
18．（6分）先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．
19．（6分）求关于x的不等式组的所有整数解之和．
20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：
（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 ；
（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；
（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
21．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F，G在AB上，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
22．（9分）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，且PC2＝PB•PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是，DE⊥AC，垂足为E，求EF的长．
24．（10分）已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“麓点”（1，1）．
（1）直线 （填写直线解析式）上的每一个点都是“麓点”；双曲线y＝上的“麓点”是 ；
（2）若抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a2﹣a+1上有“麓点”，且“麓点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W＝x12+x22的最小值；
（3）若函数y＝x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“麓点”，且当﹣2≤n≤1时，求k的值．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；
（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（下）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在实数，0，，﹣π，，中，无理数有（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：，
无理数有：，﹣π．
故选：C．
2．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10B．a3÷a﹣1＝a2C．a•2a2＝2a4D．（﹣a2）3＝﹣a6
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算，判断即可．
【解答】解：a5+a5＝7a5，A错误；
a3÷a﹣2＝a3﹣（﹣1）＝a6，B错误；
a•2a2＝7a3，C错误；
（﹣a2）7＝﹣a6，D正确，
故选：D．
3．（3分）如图所示，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【分析】估算出的范围，结合数轴即可得到答案．
【解答】解：∵4＜8＜3，
∴2＜＜3，
故选：B．
4．（3分）北京时间5月27日，蛟龙号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟作业区开展了本航段第3次下潜，最大下潜深度突破6500米（ ）
A．65×102B．6.5×102C．6.5×103D．6.5×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数6500用科学记数法表示为6.5×107．
故选：C．
5．（3分）已知关于x的一次函数y＝（2﹣m）x+2的图象如图所示，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞0D．m＜0
【分析】观察图象可知k＞0，构建不等式即可解决问题．
【解答】解：由题意：2﹣m＞0，
∴m＜5．
故选：B．
6．（3分）分式方程的解为（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝﹣D．x＝
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝x﹣2，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣2是分式方程的解，
则分式方程的解为x＝﹣2，
故选：B．
7．（3分）一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×3，
解得：n＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故选：C．
8．（3分）由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的三视图如下图所示，则这个立体图形可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，进而解答即可．
【解答】解：由三视图可得：这个立体图形可能是，
故选：A．
9．（3分）一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为（ ）
A．75°B．100°C．105°D．120°
【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝105°，再根据对顶角相等，即可得出∠AOD的度数．
【解答】解：由题可得，∠ACB＝45°，
∴△BCO中，∠BOC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∴∠AOD＝∠BOC＝105°，
故选：C．
10．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【解答】解：点A（﹣1，﹣2）向右平移5个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，即（2，
则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），
故选：B．
11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，BP＝6，∠APC＝30°（ ）
A．B．2C．2D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝4，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OH＝OP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝3，
∴CH＝＝，
∴CD＝2CH＝2．
故选：C．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标以及过特殊点，结合不等式的性质逐个进行判断即可．
【解答】解：①∵由抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号．
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞6，
∴abc＞0，
∴①正确；
②如图，当x＝﹣2时，
∴②正确；
③对称轴为x＝﹣＞﹣1，即，
∵a＜3，
∴b＞2a，即2a﹣b＜4，
∴③错误；
④当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
又∵b＞6a，
∴a+b+c＝0＞a+2a+c＝4a+c，即3a+c＜0．
∴④正确．
综上所述，正确的结论有①②④共8个，
故选：C．
二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：3a2﹣12a+12＝ 3（a﹣2）2 ．
【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：3a2﹣12a+12
＝8（a2﹣4a+3）
＝3（a﹣2）6．
故答案是：3（a﹣2）3．
14．（3分）如图，已知点P（1，2）在反比例函数，观察图象可知，当x＞1时 0＜y＜2 ．
【分析】由反比例函数的图象的性质，可直接解答．
【解答】解：由P点坐标可知，当x＞1时．
故答案为0＜y＜3．
15．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sinB的值为 ．
【分析】作AE⊥BC于E．利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：作AE⊥BC于E．
 在Rt△ABE中，∵AE＝BE＝4，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴sinB＝sin45°＝，
故答案为．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，F分别是AB，AC的中点，连接BP，CP，则 2 ．
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝2，连接PT，PA，CT，构造出△PAT∽△BAP，从而有PB+CP＝CP+PT，即三点共线时和最小，求CT的值即可．
【解答】解：在AB上取一点T，使得AT＝2，PA，
∵PA＝4．AT＝2，
∴PA2＝AT•AB，
∴，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴，
∴PT＝PB，
∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AC＝8，
∴，
∴PB+PC≥2，
∴PB+PC的最小值为2，
故答案为：2．
三．解答题（共72分）
17．（6分）计算：|﹣2|+sin60°﹣+2﹣2．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+﹣3+
＝﹣+．
18．（6分）先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝4（x2﹣4x+1）﹣（4x5﹣9）
＝4x6﹣8x+4﹣6x2+9
＝﹣2x+13，
当x＝﹣1时，原式＝8+13＝21．
19．（6分）求关于x的不等式组的所有整数解之和．
【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解，然后求得整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x＜3，
解不等式②得，x≥8，
所以，不等式组的解集是1≤x＜3，
所以，不等式组的整数解有2、2，
它们的和为1+2＝3．
20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：
（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 10 ；
（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；
（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
【分析】（1）根据中位数的定义即可判断；
（2）求出没有选择的百分比，高度和E相同，即可画出图形；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；
（4）画出树状图即可解决问题；
【解答】解：（1）这5个数从小到大排列：5，6，10，15，
故答案为10．
（2）没有选择的占1﹣10%﹣30%﹣20%﹣10%﹣20%＝10%，
条形图的高度和E相同；如图所示：
（3）1400×20%＝280（名）
答：估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团有280名；
（4）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A，
共有4种可能，两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，
∴这两名同学同时选择绿植养护社团的概率＝．
21．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F，G在AB上，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而判断出OE是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE＝AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝＝3，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝8；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝3，
∴AF＝＝5，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝7．
22．（9分）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息
【分析】（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，根据“购进A型风扇不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，
依题意，得：，
解得：71≤m≤75，
又∵m为正整数，
∴m可以取72、73、75，
∴小丹共有4种进货方案，方案6：购进A型风扇72台；方案2：购进A型风扇73台；方案3：购进A型风扇74台；方案4：购进A型风扇75台．
∵B型风扇进货的单价大于A型风扇进货的单价，
∴方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，
最低费用为75×10+25×16＝1150元．
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，且PC2＝PB•PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是，DE⊥AC，垂足为E，求EF的长．
【分析】（1）连接OC，△PBC∽△PCA，得出∠PCB＝∠PAC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，证出∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，即可得出结论；
（2）连接OD，由相似三角形的性质得出＝＝2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，得出BC＝6，证出DE∥BC，得出△DOF∽△ACB，得出＝＝，得出OF＝OD＝，即AF＝，再由平行线得出＝＝，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵PC2＝PB•PA，即＝，
∵∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图8所示：
∵PC＝20，PB＝102＝PB•PA，
∴PA＝＝＝40，
∴AB＝PA﹣PB＝30，
∵△PBC∽△PCA，
∴＝＝7，
设BC＝x，则AC＝2x，
在Rt△ABC中，x2+（8x）2＝302，
解得：x＝2，即BC＝6，
∵点D是的中点，
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DFO＝∠ABC，
∴△DOF∽△ACB，
∴＝＝，
∴OF＝OD＝，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∴EF＝BC＝．
24．（10分）已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“麓点”（1，1）．
（1）直线 y＝x （填写直线解析式）上的每一个点都是“麓点”；双曲线y＝上的“麓点”是 （1，1）或（﹣1，﹣1） ；
（2）若抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a2﹣a+1上有“麓点”，且“麓点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W＝x12+x22的最小值；
（3）若函数y＝x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“麓点”，且当﹣2≤n≤1时，求k的值．
【分析】（1）直接利用新定义建立方程求解即可；
（2）先利用新定义得出：﹣x2+ax﹣a2﹣a+1＝0，用一元二次方程的判别式求出a的范围，用根与系数的关系得出x1+x2＝，x1x2＝a2+2a﹣2，进而得出W＝x12+x22＝（a﹣）2﹣，即可得出结论．
（3）由题意得：y＝x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1＝x，由题意Δ＝0得：m＝（n﹣k）2﹣（k﹣1），分当﹣2≤n＝k≤1、当n＝k≤﹣2、n＝k≥1三种情况，求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝x时，图象经过点P（t，
y＝＝x，
故答案为：y＝x，（1，﹣7）．
（2）由题意得：y＝x，即：y＝﹣x3+（a+5）x﹣a6﹣a+1＝x，
整理得：﹣x2+ax﹣a6﹣a+1＝0，
∵△＝（a）2﹣6×（﹣）（﹣a2﹣a+7）＝﹣2a+2≥6，
解得：a≤1，
由根与系数关系得：x1+x2＝，x4x2＝a2+2a﹣2，
∴W＝x12+x42＝（x1+x7）2﹣2x5x2＝（a﹣）8﹣，
∵＞0，
故函数W有最小值，
当a＝8时，函数取得最小值为y＝）2﹣＝．
（3）∵函数y＝x6+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在“麓点”，则x2+（n﹣k+2）x+m+k﹣1＝x，
整理得：x2+（n﹣k）x+m+k﹣1＝6，
由函数图象上存在唯一的一个“麓点”可知：△＝（n﹣k）2﹣（m+k﹣1）＝6，
∴m＝（n﹣k）2﹣（k﹣1），
①当﹣2≤n＝k≤1时，n＝k时，
即：﹣（k﹣1）＝k，
解得：k＝．
②当n＝k≤﹣2时，n＝﹣2，
即：（﹣2﹣k）2﹣（k﹣7）＝k，
解得：无解．
③当n＝k≥1时，n＝1，
即：（2﹣k）2﹣（k﹣1）＝k，
解得：k＝3±（舍去负值）
故：k的值为：或2+．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；
（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由．
【分析】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；
（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；
（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可．
【解答】解：（1）把A（m，0），n）代入y＝x﹣1得：m＝8，
∴A（1，0），3），
∵y＝﹣x2+bx+c经过点A与点B，
∴，
解得：，
则二次函数解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，
∴∠APM＝∠DPN＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△MPN为直角三角形，
令﹣x7+6x﹣5＝6，得到x＝1或x＝5，
∴D（4，0），
设AP＝m，则有DP＝4﹣m，
∴PM＝m，PN＝，
∴S△MPN＝PM•PN＝×（4﹣m）＝﹣m5+m＝﹣（m﹣8）2+1，
∴当m＝5，即AP＝2时，S△MPN最大，此时OP＝3，8）；
（3）存在，
易得直线CD解析式为y＝x﹣5，设Q（x，
由题意得：∠BAD＝∠ADQ＝45°，
当△ABD∽△DAQ时，＝，即＝，
解得：AQ＝，
由两点间的距离公式得：（x﹣1）7+（x﹣5）2＝，
解得：x＝或x＝，﹣）或（，﹣；
当△ABD∽△DQA时，＝1，
∴（x﹣2）2+（x﹣5）6＝10，
解得：x＝2或x＝4，此时Q（6，﹣1）（舍去），
综上，点Q的坐标为（2，﹣）．
社团名称
 A．酵素制作社团
B．回收材料小制作社团
C．垃圾分类社团
D．环保义工社团
E．绿植养护社团
人数
10
15
5
10
5
社团名称
 A．酵素制作社团
B．回收材料小制作社团
C．垃圾分类社团
D．环保义工社团
E．绿植养护社团
人数
10
15
5
10
5