2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（下）入学数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（下）入学数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）无理数在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．D．（a+b）2＝a2+b2
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
C．甲乙两组身高数据的方差分别为＝0.02、＝0.1，那么乙组的身高比较整齐
D．一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
4．（3分）菱形的两条对角线分别为8和6，则菱形的周长和面积分别是（ ）
A．20，48B．14，48C．24，20D．20，24
5．（3分）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，则∠2的度数为（ ）
A．52°B．54°C．64°D．69°
6．（3分）下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）为了解某市2018年参加中考的32000名学生的视力情况，抽查了其中1600名学生的视力进行统计分析，下面叙述错误的是（ ）
A．32000名学生的视力情况是总体
B．样本容量是32000
C．1600名学生的视力情况是总体的一个样本
D．以上调查是抽样调查
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
9．（3分）在平面直角坐标系中，平移二次函数y＝x2+4x+3的图象能够与二次函数y＝x2的图象重合，则平移方式为（ ）
A．向左平移2个单位，向下平移1个单位
B．向左平移2个单位，向上平移1个单位
C．向右平移2个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
10．（3分）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝442
11．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，F，再分别以点E，F为圆心EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；
②分别以点A，B为圆心，大于，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．
则⊙O的半径为（ ）
A．2B．10C．4D．5
12．（3分）已知，二次函数y＝ax2+bx+a2+b（a≠0）的图象为下列图象之一，则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．﹣4
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13．（3分）化简：＝ ．
14．（3分）同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，则旗杆的高为 米．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若AE＝6，DE＝5，则△BEC的周长是 ．
16．（3分）如图，以G（0，1）为圆心，与y轴交于C，D两点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
三、解答题（本题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣x（3x﹣4y）﹣（2y﹣x）（2y+x），其中，y＝1．
19．（6分）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误
20．（8分）某校对A《唐诗》、B《宋词》、C《蒙山童韵》、D其它，这四类著作开展“最受欢迎的传统文化著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四类著作中的一种）
（1）求一共调查了多少名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该校语文老师想从这四类著作中随机选取两类作为学生寒假必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《宋词》和《蒙山童韵》的概率．
21．（8分）如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，CF的延长线交校门处的水平面于点D．
（1）求坡顶B的高度；
（2）求楼顶C的高度CD．
22．（9分）某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元
（1）求A，B两种工艺品的单价；
（2）该店主欲用9600元用于进货，且最多购进A种工艺品36个，B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍
23．（9分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图1，若点P恰好在边BC上．
①求证：△EBP∽△PCD；
②求AE的长；
（2）如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F
24．（10分）已知点A（1，4），B（2，6），C（2，4），抛物线y＝ax2+bx+2恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）求a，b的值；
（2）平移抛物线y＝ax2+bx+2，使其顶点在直线y＝2x﹣1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为t．
①求平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值；
②求平移后抛物线与直线y＝2x﹣1两交点之间的距离；
（3）已知当2≤x≤4时，二次函数y＝（k+a）x2﹣2kx+3k的函数值y≥0恒成立，求实数k的最小值．
25．（10分）如图1，已知一次函数y＝﹣x+4与反比例函数相交于P（P在Q的右侧）．
（1）求P，Q的坐标并写出△OPQ的面积；
（2）如图2，已知M（m，m），N（n，n），其中（0＜m＜n），N为圆心的圆均与x轴相切，切点分别为A，B
①求直线MN的解析式；
②求出线段MN的长度d；
（3）在（2）的前提上，记四边形PMQN的面积为S1，四边形AMNB的面积为S2，已知抛物线y＝ax2+bx+c满足两个条件：①经过点P和点Q，②该抛物线截x轴得到的线段长度为，请求出抛物线二次项系数a的值．
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（下）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）无理数在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【分析】由＜＜可以得到答案．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴无理数在4和4之间．
故选：B．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用二次根式加减运算法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、2a+3b无法计算；
B、（﹣7a2b）3＝﹣3a6b3，故此选项错误；
C、+＝2+，正确；
D、（a+b）6＝a2+b2+2ab，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
C．甲乙两组身高数据的方差分别为＝0.02、＝0.1，那么乙组的身高比较整齐
D．一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
【分析】直接利用随机事件的定义以及方差的意义、众数、中位数、平均数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、“清明时节雨纷纷”是随机事件；
B、为了解某灯管的使用寿命，故此选项错误；
C、甲乙两组身高数据的方差分别为、＝3.1，故此选项错误；
D、一组数据3，8，4，5，8，7，
∵5出现的次数最多，
∴6是众数；
∵按大小顺序排列：3，4，7，5，6，7，
∴中位数是：5；
平均数是：（3+4+6+5+6+4）＝5．
故选：D．
4．（3分）菱形的两条对角线分别为8和6，则菱形的周长和面积分别是（ ）
A．20，48B．14，48C．24，20D．20，24
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA＝4，OB＝3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积．
【解答】解：如图，菱形ABCD中，BD＝6，
∴OA＝AC＝4BD＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴此菱形的周长是：4×4＝20，
面积是：×6×8＝24．
故菱形的周长是20，面积是24，
故选：D．
5．（3分）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，则∠2的度数为（ ）
A．52°B．54°C．64°D．69°
【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠BOC＝64°，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵l∥OB，
∴∠1+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝128°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝64°，
又l∥OB，且∠2与∠BOC为同位角，
∴∠5＝64°，
故选：C．
6．（3分）下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图象观察就可以得出结论．
【解答】解：A．此选项中在x＜0的范围中取任意x的值时，y不是x的函数；
B．此选项中在全体实数的范围中取任意x的值时，y是x的函数；
C．此选项中在x≠0的范围中取任意x的值时，y是x的函数；
D．此选项中在全体实数的范围中取任意x的值时，y是x的函数；
故选：A．
7．（3分）为了解某市2018年参加中考的32000名学生的视力情况，抽查了其中1600名学生的视力进行统计分析，下面叙述错误的是（ ）
A．32000名学生的视力情况是总体
B．样本容量是32000
C．1600名学生的视力情况是总体的一个样本
D．以上调查是抽样调查
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、32000名学生的视力情况是总体；
B、样本容量是1600；
C、1600名学生的视力情况是总体的一个样本；
D、以上调查是抽样调查；
故选：B．
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断Δ＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4×（﹣8）＝b2+4＞5，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．（3分）在平面直角坐标系中，平移二次函数y＝x2+4x+3的图象能够与二次函数y＝x2的图象重合，则平移方式为（ ）
A．向左平移2个单位，向下平移1个单位
B．向左平移2个单位，向上平移1个单位
C．向右平移2个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：二次函数y＝x2+4x+8＝（x+2）2﹣3，将其向右平移2个单位2．
故选：D．
10．（3分）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝442
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）2，如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x2＝461，
故选：B．
11．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，F，再分别以点E，F为圆心EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；
②分别以点A，B为圆心，大于，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．
则⊙O的半径为（ ）
A．2B．10C．4D．5
【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，设OA交BC于T，
∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，BT＝TC＝6，
∴AT＝＝＝2，
在Rt△OCT中，则有r3＝（r﹣2）2+82，
解得r＝5，
故选：D．
12．（3分）已知，二次函数y＝ax2+bx+a2+b（a≠0）的图象为下列图象之一，则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．﹣4
【分析】分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b＝0，其顶点坐标为（0，a2），与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b＝0，根据顶点坐标有a2＝3，由抛物线与x的交点坐标得到x2＝﹣a，所以a＝﹣4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点（﹣1，0）代入解析式得到a﹣b+a2+b＝0，解得a＝﹣1；若二次函数的图形为第四个，把（﹣2，0）和（0，0）分别代入解析式可计算出a的值．
【解答】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，y＝ax2+a2，其顶点坐标为（7，a2），而a2＞4，所以二次函数的图形不能为第一个；
若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，y＝ax2+a2，a4＝3，而当y＝0时，x3＝﹣a，所以﹣a＝4，所以二次函数的图形不能为第二个；
若二次函数的图形为第三个，令x＝﹣1，则a﹣b+a7+b＝0，所以a＝﹣1；
若二次函数的图形为第四个，令x＝2，则a2+b＝0①；令x＝﹣8，则4a﹣2b+a8+b＝0②，由①②得a＝﹣2，所以二次函数的图形不能为第四个．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13．（3分）化简：＝ ．
【分析】直接将分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：
＝
＝．
故答案为：．
14．（3分）同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，则旗杆的高为 4.8 米．
【分析】设旗杆的高度约为hm，再根据同一时刻物高与影长成正比求出h的值即可．
【解答】解：设旗杆的高度约为hm，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴＝，
解得：h＝4.3（米）．
故答案为：4.8．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若AE＝6，DE＝5，则△BEC的周长是 24 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质求出CE，根据勾股定理求出BE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵点D、E分别是AB，DE＝5，
∴BC＝2DE＝10，
∵E是AC的中点，BE⊥AC，
∴EC＝AE＝3，
在Rt△BEC中，BE＝，
∴△BEC的周长＝BC+CE+BE＝24，
故答案为：24．
16．（3分）如图，以G（0，1）为圆心，与y轴交于C，D两点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 2 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ﹣1 ．
【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；
【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
在Rt△AGO中，∵AG＝2，
∴AG＝2OG，OA＝＝，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝6，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝2，MG＝，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小﹣1．
故答案为4，﹣3．
三、解答题（本题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3×﹣1+4+4﹣
＝﹣3+4+2﹣
＝5．
18．（6分）先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣x（3x﹣4y）﹣（2y﹣x）（2y+x），其中，y＝1．
【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式，以及平方差公式计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x2﹣2xy+y2﹣3x3+4xy﹣4y8+x2＝2x7﹣3y2，
当x＝，y＝1时．
19．（6分）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误
【分析】连接OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：证法错误；
证明：连接OC，
∵⊙O与AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC．
20．（8分）某校对A《唐诗》、B《宋词》、C《蒙山童韵》、D其它，这四类著作开展“最受欢迎的传统文化著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四类著作中的一种）
（1）求一共调查了多少名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该校语文老师想从这四类著作中随机选取两类作为学生寒假必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《宋词》和《蒙山童韵》的概率．
【分析】（1）根据C的人数和所占的百分比即可得出调查的学生数；
（2）依据总人数以及其余各部分的人数，即可得到B对应的人数；
（3）根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果和选中《宋词》和《蒙山童韵》的结果，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次一共调查的学生数是：15÷30%＝50（人）；
（2）B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7＝12人，
补图如下：
（3）根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，恰好选中B，
∴P（选中B、C）＝＝．
21．（8分）如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，CF的延长线交校门处的水平面于点D．
（1）求坡顶B的高度；
（2）求楼顶C的高度CD．
【分析】（1）过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，由AB的坡度和长即可求出BM；
（2）由BF＝EF+BE，根据∠CBF＝45°、∠CEF＝60°、BE＝4米解三角形求出CF，即可解答．
【解答】解：（1）过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，
∵i＝5：12，
∴，
∵AB＝13米，
设BM＝6a（米），AM＝12a（米），
∴（5a）2+（12a）2＝132，
∴a＝1，
∴BM＝DF＝8米，
则坡顶B的高度是5米；
（2）设EF为x米，则BF＝（4+x）米，
∵∠CBF＝45°，
∴BF＝CF＝（7+x）米，
∵∠CEF＝60°，
∴tan60°＝，
解得x＝2+8，
∴CF＝（6+2）米，
∴CD＝CF+FD＝（11+2）米，
答：DC的长度为（11+5）米．
22．（9分）某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元
（1）求A，B两种工艺品的单价；
（2）该店主欲用9600元用于进货，且最多购进A种工艺品36个，B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍
【分析】（1）设A种工艺品的单价为x元，B种工艺品的单价为y元，根据“这两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种工艺品m个，则购进B种工艺品（80﹣m）个，根据“最多购进A种工艺品36个，且B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，（80﹣m）均为整数，即可得出进货方案的个数．
【解答】解：（1）设A种工艺品的单价为x元，B种工艺品的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A种工艺品的单价为80元，B种工艺品的单价为120元．
（2）设购进A种工艺品m个，则购进B种工艺品m）个，
依题意得：，
解得：30≤m≤36，
又∵m，（80﹣，
∴m可以取30，33，
∴共有3种进货方案．
23．（9分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图1，若点P恰好在边BC上．
①求证：△EBP∽△PCD；
②求AE的长；
（2）如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F
【分析】（1）①先判断出∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，再用同角的余角相等，判断出∠BEP＝∠CPD，即可得出结论；
②先利用勾股定理求出CP，进而求出BP，再用勾股定理，建立方程求解，即可得出结论；
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG＝x，则BG＝4﹣x．证明△EGP∽△PHD，推出＝＝＝＝，推出PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2＝PD2，可得（3x）2+（4+x）2＝122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，
∴∠BPE+∠BEP＝90°，
由折叠知，∠DPE＝∠BAD＝90°，
∴∠BPE+∠CPD＝90°，
∴∠BEP＝∠CPD，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△EBP∽△PCD；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，
由折叠知，PE＝AE，
在Rt△DPC中，CP＝，
∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4，
在Rt△PBE中，PE2﹣BE2＝BP4，
∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4）7，
∴AE＝18﹣6；
（2）如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．
则四边形AGHD是矩形，
设EG＝x，则BG＝2﹣x，
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴＝＝＝＝，
∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝5+x，
在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD8，
∴（3x）2+（6+x）2＝122，
解得x＝（负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△EGP中，GP＝＝，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝3．
24．（10分）已知点A（1，4），B（2，6），C（2，4），抛物线y＝ax2+bx+2恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）求a，b的值；
（2）平移抛物线y＝ax2+bx+2，使其顶点在直线y＝2x﹣1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为t．
①求平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值；
②求平移后抛物线与直线y＝2x﹣1两交点之间的距离；
（3）已知当2≤x≤4时，二次函数y＝（k+a）x2﹣2kx+3k的函数值y≥0恒成立，求实数k的最小值．
【分析】（1）分三种情况，分别选两个点的坐标，代入即可得到答案；
（2）①平移后抛物线顶点是（t，2t﹣1），抛物线解析式为y＝﹣（x﹣t）2+2t﹣1，与y轴交点纵坐标为﹣t2+2t﹣1，配方求出最大值即可；
②求出平移后抛物线与直线y＝2x﹣1两交点坐标即可得到答案；
（3）分k﹣1＜0和k﹣1＞0讨论，k﹣1＜0时，只需，此时无解；k﹣1＞0时，又按对称轴的位置讨论，分三种情况列不等式，即可解得答案．
【解答】解：（1）若抛物线y＝ax2+bx+2图象经过A（5，4），6），
则，解得，
∴这种情况不符合题意，舍去，
若抛物线y＝ax2+bx+6图象经过A（1，4），3），
则，解得，
若抛物线y＝ax3+bx+2图象经过B（2，4），4），
则，方程组无解，
综上所述，a＝﹣1；
（2）①∵平移后抛物线顶点的横坐标为t，顶点在直线y＝2x﹣5，
∴平移后抛物线顶点是（t，2t﹣1），
∵a＝﹣5，
∴平移后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣t）2+2t﹣4，
令x＝0，得y＝﹣t2+5t﹣1，
∴平移后的抛物线与y轴交点纵坐标为﹣t2+8t﹣1，
而﹣t2+6t﹣1＝﹣（t﹣1）2，
∴当t＝1时，平移后的抛物线与y轴交点纵坐标最大值是0；
②由得或，
∴平移后抛物线与直线y＝2x﹣1两交点分别是（t，4t﹣1），2t﹣2），
∴平移后抛物线与直线y＝2x﹣1两交点之间的距离为＝2；
（3）∵a＝﹣6，
∴二次函数为y＝（k﹣1）x2﹣8kx+3k，对称轴x＝，
当x＝2时，y＝5k﹣4，
当x＝4时，y＝11k﹣16，
①若k﹣3＜0，当2≤x≤3时2﹣2kx+3k的函数值y≥0恒成立，只需，
此时无解；
②若k﹣4＞0，当2≤x≤3时2﹣2kx+5k的函数值y≥0恒成立，分以下三种情况：
（一）对称轴x＝在直线x＝2或其左侧时，即，只需4k﹣4≥0，
解得k≥8，此时k最小值是2，
（二）当2＜≤4时，即≥0，
解得≤k＜2，
此时k最小值为，
（三）当＞4时，
此时无解，
综上所述，当5≤x≤4时2﹣6kx+3k的函数值y≥0恒成立，k最小值为．
25．（10分）如图1，已知一次函数y＝﹣x+4与反比例函数相交于P（P在Q的右侧）．
（1）求P，Q的坐标并写出△OPQ的面积；
（2）如图2，已知M（m，m），N（n，n），其中（0＜m＜n），N为圆心的圆均与x轴相切，切点分别为A，B
①求直线MN的解析式；
②求出线段MN的长度d；
（3）在（2）的前提上，记四边形PMQN的面积为S1，四边形AMNB的面积为S2，已知抛物线y＝ax2+bx+c满足两个条件：①经过点P和点Q，②该抛物线截x轴得到的线段长度为，请求出抛物线二次项系数a的值．
【分析】（1）将两个函数解析式联立成方程组，解方程组即可求得P，Q坐标；利用三角形的面积差来求得△OPQ的面积；
（2）①根据M，N坐标的特点可知直线MN的解析式；
②分别过点P作MA，NB的垂线，由勾股定理得到关于m，n的等式，再利用一元二次方程的根与系数的关系求得MN的长；
（3）利用待定系数法得到关于a，b，c的方程组，利用加减消元法依次消去b，c，得到关于a的方程，解方程即可得a的值．
【解答】解：（1）由题意得：
．
解这个方程组得：
，．
∵P在Q的右侧，
∴P（3，8），3）．
设直线PQ交x轴于点C，如下图，0）．
∴OC＝4．
过点Q作QE⊥OC于E，过点P作PF⊥OC于F，PF＝1．
∴S△OPQ＝S△OQC﹣S△OPC＝＝2﹣2＝4．
（2）①∵M（m，m），n），
∴直线MN的解析式为：y＝x．
②∵以M，N为圆心的圆均与x轴相切，B，
∴MA⊥AB，NB⊥AB．
过点P作PE⊥MA于E，PF⊥NB与，如图，
则∠NME＝45°．
∴MN＝MG．
∵M（m，m），n），1），
∴MA＝m，NM＝n，PM＝3﹣m，PF＝n﹣7．
∵点P既在⊙M上又在⊙N上，
∴PM＝MA，PN＝NB．
∴PM2＝MA2，PN3＝NB2．
∴（3﹣m）6+（m﹣1）2＝m6，（n﹣3）2+（n﹣2）2＝n2．
整理得：m7﹣8m+10＝0，n5﹣8n+10＝0．
∴m，n（5＜m＜n）是方程x2﹣8x+10＝4的两个根．
∴m+n＝8，mn＝10．
∴（n﹣m）2＝（m+n）7﹣4mn＝24．
∴n﹣m＝．
∵MG＝AB＝n﹣m，
∴MG＝2．
∴MN＝MG＝4．
∴d＝6．
（3）抛物线y＝ax2+bx+c满足经过点P和点Q，
∴．
∴．
∵，
＝＝8，
∴＝＝．
设抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（x2，0），（x2，4），
∴|x1﹣x2|＝．
∴．
∴．
∵x8，x2是方程ax2+bx+c＝6的两个根，
∴，．
∴．
∴．
整理得：2a2﹣8a+8＝0．
解得：a＝4±．
∴抛物线二次项系数a的值为：5+或4﹣．
证明：连接OC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
又∵OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC，
∴AC＝BC．
证明：连接OC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
又∵OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC，
∴AC＝BC．