2023-2024学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校中考模拟数学试题

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1. 有理数，，0，中，绝对值最大的数是（ ）
A. B. C. 0D.
2. 2022年5月，神舟十三号搭载的1.2万粒作物种子顺利出舱．其中1.2万用科学记数法表示为（ ）
A. 12×103B. 1.2×104C. 0.12×105D. 1.2×106
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取普查的方式
B. 一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和中位数都是5
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据更稳定
D. 抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”
6. 如图所示，几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ）
A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°
8. 如图所示，与是位似图形，点O为位似中心．若，的周长为5，则的周长为（ ）

A 10B. 15C. 25D. 125
9. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
10. 全国青少年校园足球联赛，是国内历史最久远、覆盖范围最广的中学足球赛事，在小组赛中，每小组有个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积分，平一场积分，负一场积分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）可以进入下一轮比赛如表是某次小组赛的积分表：
如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断丁队的积分是（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：x3y﹣9xy=____．
12. 函数中自变量的取值范围是______．
13. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为______．
14. 一副三角板如图摆放，直线，则的度数是______．

15. 如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则________．

16. 为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，只A种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______只A种候鸟．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 长沙银盆岭大桥犹如一架巨大竖琴，凌驾于滔滔湘江之上已知大桥主塔垂直于桥面于点，其中两条斜拉索、与桥面的夹角分别为和，两固定点、之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：，）．

20. 中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了____________名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.
21. 如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
22. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶．
（1）平均每周的销售量顶与降价元之间的函数关系式是______；
（2）若售价为每顶元，求每周销售利润；
（3）若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？
23. 如图，点是边长为的菱形的对角线上一点，连接并延长，交于．

（1）求证：；
（2）若垂直平分，求的长．
24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”．
（1）判断：①和；②和；③和，其中互为“友好函数”的是________（填序号）．
（2）若函数的“友好函数”与反比例函数的图像在第一象限内有两个交点和点．
①求的取值范围；
②若面积为，求的值．
（3）若，，三个不同的点均在二次函数（，，为常数，且）的“友好函数”的图像上，且满足，若存在常数，使得恒成立，求的取值范围．
25. 如图，已知、是半径为1的的两条弦，且，的延长线交于点D，连接、．
（1）证明：；
（2）连接，当是直角三角形时，求的长；
（3）①试探究的值是否为定值？如果是，请求出式子的值；如果不是，请说明理由；
②记、、的面积分别为、、，若，求的长．排名
球队
积分
甲
乙
丙
丁