初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程综合训练题

21.3实际问题与一元二次方程③—面积和动点检测题

班级                     姓名                            成绩           

一、单选题（每小题4分，共32分）

1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2  ， 设金色纸边的宽为 cm，所列方程正确的是(     )

A.         B. 
C.     D. 

2.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2 ． 若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是(   )

A.                       B.   
C.                                 D. 

3.王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为(   )

A.(80﹣x(70﹣x)=3000    

B.  80×70﹣4x2=3000

C. (80﹣2x)(70﹣2x)=3000   

D. 80×70﹣4x2﹣(70+80)x=3000

4.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划

出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2， 求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为(   )

A. (x+1)(x+2)=18            B. x2﹣3x+16=0 

C. (x﹣1)(x﹣2)=18          D. x2+3x+16=0

5.某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道(如图)，并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的 ，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是(   )

A. (2﹣3x)(1﹣2x)=1          B.  (2﹣3x)(1﹣2x)=1  

C.  (2﹣3x)(1﹣2x)=1         D.  (2﹣3x)(1﹣2x)=2

6.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为(　　)

A. 5m    B. (5+)m     C. (5+3)m       D. (5+5)m

7.如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=(     ) 

A.            B.              C.           D. 

8.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2  ， 则它移动的距离AA′等于(　　)

A. 0.5cm          B. 1cm            C. 1.5cm              D. 2cm

二、填空题（每小题5分，共30分）

9.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．若草坪的面积为540m2，则道路的宽为_____．

10.如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2  ， 设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：____             __．

11.已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_____          ___．

12.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，点P从点A开始沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，________秒后△PBQ的面积等于8cm2 ．  

13.如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为________m．

14.如图，利用两面夹角为135°且足够长的墙，围成梯形围栏ABCD，∠C＝90°，新建墙BCD总长为15米，则当CD＝________ 米时，梯形围栏的面积为36平方米．

三、解答题（共38分）

15.小明想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向，裁出一块面积为360cm2的长方形纸片。使它的长宽之比为4：3，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想。他能裁得出来吗？(通过计算说明) （6分）

16.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？  （6分）

17.MN是一面长10m的墙，用长24m的篱笆，围成一个一面是墙,中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD,已知花圃的设计面积为45m2  ， 花圃的宽应当是多少？（6分）

18.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts(t＞0)（10分）

(1)求线段CD的长；   

(2)t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？   

19.如图所示，某工人师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m．求裁剪后剩下的阴影部分的面积．（10分）

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 B  

依题意，设金色纸边的宽为xcm，则

(80+2x)(50+2x)=5400，

整理得出：  

故答案为：B.

2.【答案】 D  

解：由题意得，( 32 − 2 x ) ( 20 − x ) = 570

3.【答案】 C  

解：由题意可得，

(80﹣2x)(70﹣2x)=3000，

故选C．

4.【答案】 C  

解：设原正方形的边长为xm，依题意有

(x﹣1)(x﹣2)=18，

故选C．

5.【答案】 A  

设人行通道的宽度为x千米，

则矩形绿地的长为： (2﹣3x)，宽为(1﹣2x)，

由题意可列方程：2× (2﹣3x)(1﹣2x)= ×2×1，

即：(2﹣3x)(1﹣2x)=1，

故答案为：A．

6.【答案】 D  

解：设小圆的半径为xm，则大圆的半径为(x+5)m，

根据题意得：π(x+5)2=2πx2  ，

解得，x=5+5或x=5﹣5(不合题意，舍去)．

故选D．

7.【答案】 B  

解：依题意得(a+b)2=b(b+a+b)， 

而a=1，

∴b2﹣b﹣1=0，

∴b= ，而b不能为负，

∴b= ．

故选B．

8.【答案】 B  

解：设AC交A′B′于H，

∵∠A=45°，∠D=90°

∴△A′HA是等腰直角三角形

设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2﹣x

∴x•(2﹣x)=1

∴x=1

即AA′=1cm．

故选B．

二、填空题

9.【答案】 2m  

解：设道路宽为x米

(32-x)(20-x)=540

解得：x1=2，x2=50(不合题意，舍去)

∴x=2

答：设道路宽为2米

10.【答案】 x2﹣35x+34=0  

设小道进出口的宽度为xm，：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．

11.【答案】 (x+1)2=25  

解：根据题意得：(x+1)2﹣1=24，

即：(x+1)2=25．

故答案为：(x+1)2=25．

12.【答案】 2或4  

解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2  ， 由题意得： 

  (6﹣x)2x=8，

解得：x1=2，x2=4，

故答案为：2或4．

13.【答案】 2  

解：设路的宽度是xm．根据题意，得

(40﹣2x)(26﹣x)=864，

x2﹣46x+88=0，

(x﹣2)(x﹣44)=0，

x=2或x=44(不合题意，应舍去)．

答：路的宽度是2m．

14.【答案】 4或6  

如图，连接DE，过点A作AE⊥BC于E，

则四边形ADCE为矩形，DC=AE=x，∠DAE=∠AEB=90°，
则∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°，
在直角△CDE中，
又∵∠AEB=90°，
∴∠B=45°，
∴DC=AE=BE=x，
∴AD=CE=15-2x，
∴梯形ABCD面积S=(AD+BC)•CD=(15-2x+15-x)•x=36
解得:x1=4，x2=6

三、解答题

15.【答案】 解：设长方形纸片的长为4xcm，则宽为3xcm，依题意得

4x·3x=360，即x2=30，

∴x=

∴长方形纸片的长为4 cm。

∵正方形纸片的面积为400cm²，

∴边长为 =20(cm)

∵4 >20，

∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长

故不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片

16.【答案】 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为 m，由题意得 化简，得 ，解得：    

当 时， (舍去)，

当 时， ，

答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m。

17.【答案】 解：设花圃的宽为xm,那么它的长是

根据题意得方程

即

解这个方程，得 ，

根据题意，舍去

所以，花圃的宽是5m

18.【答案】 (1)解：如图1，作DE⊥BC于E，则四边形ADEB是矩形．

∴BE=AD=1，DE=AB=3，

∴EC=BC﹣BE=4，

在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2  ，

∴DC= =5厘米；

(2)解：∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，

∴BP=t厘米，PC=(5﹣t)厘米，CQ=2t厘米，QD=(5﹣2t)厘米，

且0＜t≤2.5，

作QH⊥BC于点H，

∴DE∥QH，

∴∠DEC=∠QHC，

∵∠C=∠C，

∴△DEC∽△QHC，

∴ = ，即 = ，

∴QH= t，

∴S△PQC= PC•QH= (5﹣t)• t=﹣ t2+3t，

S四边形ABCD= (AD+BC)•AB= (1+5)×3=9，

分两种情况讨论：

①当S△PQC：S四边形ABCD=1：3时，

﹣ t2+3t= ×9，即t2﹣5t+5=0，

解得t1= ，t2= (舍去)；

②S△PQC：S四边形ABCD=2：3时，

﹣ t2+3t= ×9，即t2﹣5t+10=0，

∵△＜0，

∴方程无解，

∴当t为 秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分．

19.【答案】 解：设大正方形的边长xm，则小正方形的边长为(x﹣1)m， 

根据题意得：x(2x﹣1)=15，

解得：x1=3，x2=  (不合题意舍去)，

小正方形的边长为(x﹣1)=3﹣1=2，

裁剪后剩下的阴影部分的面积=15﹣22﹣32=2(m2)，

答：裁剪后剩下的阴影部分的面积2m2