2021年高考理科数学一轮复习：专题8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27691" 一、考点全归纳 PAGEREF _Tc27691 1
\l "_Tc32274" 二 题型全归纳 PAGEREF _Tc32274 3
\l "_Tc8773" 题型一 平面的基本性质及其应用 PAGEREF _Tc8773 3
\l "_Tc15721" 题型二 空间两直线位置关系的判定 PAGEREF _Tc15721 5
\l "_Tc21623" 题型三 异面直线所成的角 PAGEREF _Tc21623 6
\l "_Tc5835" 题型四 构造平面研究直线相交问题 PAGEREF _Tc5835 9
\l "_Tc13958" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc13958 11
一、考点全归纳
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；
②范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
(3)定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系
(2)空间中两个平面的位置关系
【常用结论】
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
二 题型全归纳
题型一 平面的基本性质及其应用
【题型要点】1.三个公理是立体几何的基础．公理1是确定直线在平面内的依据；公理2是利用点或直线确定平面的依据；公理3是确定两个平面有一条交线的依据，同时也是证明多点共线、多线共点的依据．
2.证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，证明点在两个平面的交线上，或者选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在该直线上．
3.共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【例1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)直线AC1在平面CC1B1B内；
(2)设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
(3)由点A，O，C可以确定一个平面；
(4)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；
(5)设直线l是平面ABCD内的直线，直线m是平面DD1C1C内的直线，若l与m相交，则交点一定在直线CD上．
【例2】1.(2020·衡水中学模拟)有下列四个命题：
①空间四点共面，则其中必有三点共线；
②空间四点不共面，则其中任意三点不共线；
③空间四点中有三点共线，则此四点共面；
④空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面．
其中真命题的所有序号有________．
题型二 空间两直线位置关系的判定
【题型要点】(1)异面直线的判定方法
(2)构造法判断空间两直线的位置关系
对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断，可避免因考虑不全面而导致错误，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性．
【例1】(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【例2】下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．②③④
题型三 异面直线所成的角
【题型要点】异面直线所成的角
1.平移法求异面直线所成角的一般步骤
(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角．
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小．
【提醒】：异面直线所成的角θ∈(0，eq \f(π,2)]．
2．坐标法求异面直线所成的角：当题设中含有两两垂直的三边关系时，常采用坐标法．
【提醒】：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
【例1】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),6)
C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(2),2)
【例2】如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
①求证：直线EF与BD是异面直线；
②若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
题型四 构造平面研究直线相交问题
【题型要点】(1)平面几何和立体几何在点、线、面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点、线、面的位置关系在平面和空间中的差异．
(2)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大．
(3)注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．
【例1】设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【例2】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
三、高效训练突破
一、选择题
1．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么( )
A．点P必在直线AC上
B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面DBC内
D．点P必在平面ABC外
2．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )
3．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
4．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
5．如图，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
6.(2020·广东东莞模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
7．(2020·太原模拟)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中点，则CA1与BD所成角的大小是( )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(5π,12)
C.eq \f(π,2) D．eq \f(7π,12)
8．在各棱长均相等的直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为( )
A.eq \r(3) B．1
C.eq \f(\r(6),3) D．eq \f(\r(2),2)
9．(2020·广东深圳二模)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，P为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则( )
A．m∥D1Q B．m∥平面B1D1Q
C．m⊥B1Q D．m⊥平面ABB1A1
10．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和AB的中点，平面B1EF交棱AD于点P，则PE＝( )
A.eq \f(\r(15),6) B．eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(13),6)
11.如图，在直二面角A­BD­C中，△ABD，△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE沿BE翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是( )
A．BC与平面A1BE内某直线平行
B．CD∥平面A1BE
C．BC与平面A1BE内某直线垂直
D．BC⊥A1B
12.(2020·聊城一模)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧eq \(BC,\s\up10(︵))的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(30),6) D.eq \f(\r(6),6)二、填空题
1．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(2,3)，则下列说法正确的是________．
①EF与GH平行；
②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
2．一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：
①AF⊥GC；
②BD与GC成异面直线且夹角为60°；
③BD∥MN；
④BG与平面ABCD所成的角为45°.
其中正确的是________(填序号)．
3．(2020·河南安阳调研四)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E∈平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若D1E⊥CF，则当△EBC的面积取得最小值时，eq \f(S△EBC,S四边形ABCD)＝________．
4．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是________．
5．(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．
6．如图，E，F分别是三棱锥P­ABC的棱AP，BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为________．
三 解答题
1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
2.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq \f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq \r(3)，PA＝2.求：
(1)三棱锥P­ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
3.已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面三角形ABC的中心，如图所示．
(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；
(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1­BCA1的体积．
4.(2020·衡阳模拟)如图，四棱锥M­ABCD中，∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝2DC，△MCD与△MAD都是等边三角形，且点M在底而ABCD上的射影为O.
(1)证明：O为AC的中点；
(2)求异面直线MD与BC所成角的大小．
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内
a⊂α
有无数个公共点
直线在平面外
直线a与平面α平行
a∥α
没有公共点
直线a与平面α斜交
a∩α＝A
有且只有一个公共点
直线a与平面α垂直
a⊥α
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
α∥β
没有
公共点两平面相交
斜交
α∩β＝l
有一条公共直线
垂直
α⊥β且
α∩β＝a