2021年高考理科数学一轮复习：专题4.5 正弦定理和余弦定理 题型全归纳与高效训练突破

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TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 利用正、余弦定理解三角形1
类型一 用正弦定理解三角形2
类型二 用余弦定理解三角形2
类型三 综合利用正、余弦定理解三角形3
题型二 利用正、余弦定理边角互化5
题型三 与三角形面积有关的问题7
二、高效训练突破10
一、题型全归纳
题型一 利用正、余弦定理解三角形
【题型要点】解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，可先求出角C及b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccs A，先求出a，再求出角B，C.
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)可求出c，而通过eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
类型一 用正弦定理解三角形
【例1】．(2020·北京朝阳区模拟)在△ABC中，B＝eq \f(π,6)，c＝4，csC＝eq \f(\r(5),3)，则b＝( )
A．3eq \r(3) B．3
C.eq \f(3,2) D.eq \f(4,3)
【答案】B
【解析】因为csC＝eq \f(\r(5),3)，C∈(0，π)，所以sinC＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(2,3).又因为B＝eq \f(π,6)，c＝4，所以由正弦定理得b＝eq \f(csinB,sinC)＝eq \f(4×\f(1,2),\f(2,3))＝3.
【例2】．(2020·丹东模拟)在△ABC中，C＝60°，AC＝eq \r(2)，AB＝eq \r(3)，则A＝( )
A．15° B．45°
C．75° D．105°
【答案】C
【解析】在△ABC中，C＝60°，AC＝eq \r(2)，AB＝eq \r(3)，
由正弦定理得sinB＝eq \f(ACsinC,AB)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(\r(2),2).
因为AB>AC，所以C>B，
所以B∈，所以B＝45°，又C＝60°，
所以A＝180°－B－C＝180°－45°－60°＝75°.
类型二 用余弦定理解三角形
【例3】(2020·贵阳模拟)平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝4，则BD＝( )
A．4 B.eq \r(10)
C.eq \r(19) D.eq \r(7)
【答案】B
【解析】如图所示
在△ABC中，AB＝2，BC＝AD＝3，AC＝4，由余弦定理得cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(4＋9－16,2×2×3)＝－eq \f(1,4)，所以cs∠DAB＝－cs∠ABC＝eq \f(1,4)，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cs∠DAB＝32＋22－2×3×2×eq \f(1,4)＝10.所以BD＝eq \r(10).
【例4】．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝eq \f(7,2)，则BC＝________．
【答案】9
【解析】设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α，
在△ADC中，72＝x2＋(eq \f(7,2))2－2x×eq \f(7,2)cs α，①
在△ABD中，42＝x2＋(eq \f(7,2))2－2x×eq \f(7,2)cs(π－α)，②
①＋②得x＝eq \f(9,2)，∴BC＝9.
类型三 综合利用正、余弦定理解三角形
【例5】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
①求A；
②若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C.
【答案】①A＝60°②eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
【解析】①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得eq \r(2)sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即eq \f(\r(6),2)＋eq \f(\r(3),2)cs C＋eq \f(1,2)sin C＝2sin C，可得cs(C＋60°)＝－eq \f(\r(2),2).
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝eq \f(\r(2),2)，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cs 60°－cs(C＋60°)sin 60°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
【例6】在△ABC中，a＝3，b－c＝2，csB＝－eq \f(1,2).
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
【答案】（1）c＝5，b＝7.（2）eq \f(4\r(3),7).
【解析】(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accsB，得
b2＝32＋c2－2×3×c×.
因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)由csB＝－eq \f(1,2)，得sinB＝eq \f(\r(3),2).
由正弦定理，得sinC＝eq \f(c,b)sinB＝eq \f(5\r(3),14).
在△ABC中，B是钝角，所以C为锐角，
所以csC＝eq \r(1－sin2C)＝eq \f(11,14).
所以sin(B－C)＝sinBcsC－csBsinC＝eq \f(4\r(3),7).
题型二 利用正、余弦定理边角互化
【题型要点】1．应用正、余弦定理转化边角关系的技巧
2．利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法
(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
【例1】(2020·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(c,b)A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】因为eq \f(c,b)由正弦定理得sinC又A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)．
所以sinAcsB＋csAsinB所以sinAcsB<0，又sinA>0，
所以csB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．
【例2】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，csA＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
【答案】A
【解析】∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－4c2＋b2,2bc)＝eq \f(－3c2,2bc)＝－eq \f(1,4)，∴eq \f(b,c)＝6.故选A.
【例3】(2020·黄冈模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2acsA＝ccsB＋bcsC.
(1)求角A；
(2)若a＝eq \r(13)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6，求△ABC的周长．
【答案】（1）A＝eq \f(π,3)（2）7＋eq \r(13)
【解析】(1)因为2acsA＝bcsC＋ccsB，
在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝2R，
得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
所以2sinAcsA＝sinBcsC＋csBsinC，
即2sinAcsA＝sin(B＋C)＝sinA，
因为0所以2csA＝1，即csA＝eq \f(1,2)，所以A＝eq \f(π,3).
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·csA，
得13＝b2＋c2－2bc·eq \f(1,2).
得(b＋c)2－3bc＝13，由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6，得bccsA＝6，所以bc＝12.
所以(b＋c)2－36＝13，得b＋c＝7，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋eq \r(13).
题型三 与三角形面积有关的问题
【题型要点】1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积.
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形的面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.
【例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋eq \r(3)cs A＝0，a＝2eq \r(7)，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【答案】（1）c＝4；（2）eq \r(3)
【解析】(1)由已知条件可得tan A＝－eq \r(3)，A∈(0，π)，所以A＝eq \f(2π,3)，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccs eq \f(2π,3)，即c2＋2c－24＝0，
解得c＝－6(舍去)，或c＝4.
(2)法一：如图，由题设可得∠CAD＝eq \f(π,2)，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq \f(π,6)，
故△ABD面积与△ACD面积的比值为eq \f(\f(1,2)AB·AD·sin \f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1，
又△ABC的面积为eq \f(1,2)×4×2sin∠BAC＝2eq \r(3)，
所以△ABD的面积为eq \r(3).
法二：由余弦定理得cs C＝eq \f(2,\r(7))，
在Rt△ACD中，cs C＝eq \f(AC,CD)，
所以CD＝eq \r(7)，所以AD＝eq \r(3)，DB＝CD＝eq \r(7)，
所以S△ABD＝S△ACD＝eq \f(1,2)×2×eq \r(7)×sin C＝eq \r(7)×eq \f(\r(3),\r(7))＝eq \r(3).
法三：∠BAD＝eq \f(π,6)，由余弦定理得cs C＝eq \f(2,\r(7))，
所以CD＝eq \r(7)，所以AD＝eq \r(3)，
所以S△ABD＝eq \f(1,2)×4×eq \r(3)×sin∠DAB＝eq \r(3).
【例2】(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为____________．
【答案】6eq \r(3)
【解析】法一：因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)×sin eq \f(π,3)＝6eq \r(3).
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以a2＝b2＋c2，所以A＝eq \f(π,2)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×6＝6eq \r(3).
【例3】(2020·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
【答案】（1）a＝3；（2）eq \f(15\r(3),14)
【解析】(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，
由余弦定理cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)得cs 120°＝eq \f(a2＋（a＋2）2－（a＋4）2,2a（a＋2）)，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.
(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由三角形的面积公式得
eq \f(1,2)absin∠ACB＝eq \f(1,2)c×CD，
所以CD＝eq \f(absin∠ACB,c)＝eq \f(3×5×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(15\r(3),14)，
即AB边上的高CD＝eq \f(15\r(3),14).
法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由正弦定理得eq \f(3,sin A)＝eq \f(7,sin∠ACB)＝eq \f(7,sin 120°)，
即sin A＝eq \f(3\r(3),14)，
在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(15\r(3),14)，
即AB边上的高CD＝eq \f(15\r(3),14).
二、高效训练突破
一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．
2．已知△ABC中，A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b等于( )
A．2 B．1 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
【答案】D
【解析】由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(1,sin \f(π,6))＝eq \f(b,sin \f(π,4))，所以eq \f(1,\f(1,2))＝eq \f(b,\f(\r(2),2))，所以b＝eq \r(2).
3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csA＝eq \f(4,5)，csC＝eq \f(12,13)，a＝1，则b等于( )
A．2 B.eq \f(56,13)
C.eq \f(21,13) D.eq \f(56,39)
【答案】D
【解析】因为A∈(0，π)，B∈(0，π)，csA＝eq \f(4,5)，csC＝eq \f(12,13).所以sinA＝eq \f(3,5)，sinC＝eq \f(5,13)，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcsC＋csAsinC＝eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝eq \f(56,65).由正弦定理，得b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(1×\f(56,65),\f(3,5))＝eq \f(56,39).
4.(2020·成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcs C＋csin Bcs A＝eq \f(1,2)b，且a＞b，则B＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
【答案】A
【解析】由正弦定理得，sin Asin Bcs C＋sin Csin Bcs A＝eq \f(1,2)sin B，因为sin B≠0，所以sin Acs C＋sin Ccs A＝eq \f(1,2)，即sin(A＋C)＝eq \f(1,2)，所以sin B＝eq \f(1,2).已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝eq \f(π,6).
5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C＝( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
【答案】C
【解析】由题可知S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(a2＋b2－c2,4)，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcs C，所以sin C＝cs C．因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,4).故选C.
6.(2020·安徽省江南十校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2eq \r(7)，c＝3，B＝2C，则cs2C的值为( )
A.eq \f(\r(7),3) B.eq \f(5,9)
C.eq \f(4,9) D.eq \f(\r(7),4)
【答案】B
【解析】由正弦定理，得eq \f(b,c)＝eq \f(sinB,sinC)＝eq \f(2\r(7),3).又因为B＝2C，所以eq \f(2\r(7),3)＝eq \f(sin2C,sinC)＝2csC，故csC＝eq \f(\r(7),3)，所以cs2C＝2cs2C－1＝2×eq \f(7,9)－1＝eq \f(5,9).
7.(2020·许昌摸底)若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝eq \f(1,2)sinB，且b＝4，则c2－a2＝( )
A．10 B．8
C．7 D．4
【答案】B
【解析】因为A＋B＋C＝π，所以sin(C－A)＝eq \f(1,2)sinB＝eq \f(1,2)sin(A＋C)，即2sinCcsA－2csCsinA＝sinAcsC＋csAsinC，即sinCcsA＝3sinAcsC.由正弦定理和余弦定理，得c·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝3a·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，化简得c2－a2＝eq \f(b2,2)＝eq \f(16,2)＝8.故选B.
8．(2020·泸州模拟)在△ABC中，角B为eq \f(3π,4)，BC边上的高恰为BC边长的一半，则csA＝( )
A.eq \f(2\r(5),5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(5),3)
【答案】A
【解析】设BC边上的高为h，则BC＝2h，AB＝eq \r(2)h，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·csB＝2h2＋4h2－2·eq \r(2)h·2h·＝10h2，故AC＝eq \r(10)h.所以csA＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)
＝eq \f(\r(2)h2＋\r(10)h2－2h2,2·\r(2)h·\r(10)h)＝eq \f(2\r(5),5).
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs B－c－eq \f(b,2)＝0，a2＝eq \f(7,2)bc，b＞c，则eq \f(b,c)＝( )
A.eq \f(3,2) B．2 C．3 D.eq \f(5,2)
【答案】B
【解析】由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B可得acs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2c)，又acs B－c－eq \f(b,2)＝0，a2＝eq \f(7,2)bc，所以c＋eq \f(b,2)＝eq \f(\f(7,2)bc＋c2－b2,2c)，即2b2－5bc＋2c2＝0，所以有(b－2c)·(2b－c)＝0.所以b＝2c或c＝2b，又b＞c，所以eq \f(b,c)＝2.故选B.
10．(2020·太原五中模拟)在△ABC中，eq \f(c－a,2c)＝sin2eq \f(B,2)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】利用正弦定理及二倍角公式得eq \f(sinC－sinA,2sinC)＝eq \f(1－csB,2)，即sinA＝sinCcsB.又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcsC＋csBsinC，所以sinBcsC＝0.在△ABC中，sinB≠0，故csC＝0，则C＝eq \f(π,2)，故△ABC为直角三角形，故选A.
二、填空题
1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝eq \r(3)b，则角A＝________．
【答案】eq \f(π,3)
【解析】因为2asin B＝eq \r(3)b，所以2sin Asin B＝eq \r(3)sin B，得sin A＝eq \f(\r(3),2)，所以A＝eq \f(π,3)或A＝eq \f(2π,3).因为△ABC为锐角三角形，所以A＝eq \f(π,3).
2.(2020·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，eq \f(a2,bc)－eq \f(c,b)－eq \f(b,c)＝eq \r(3)，△ABC外接圆的半径为3，则a＝________.
【答案】3
【解析】由题意，得eq \f(a2－c2－b2,bc)＝eq \r(3)，根据余弦定理，得
csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(\r(3),2).所以sinA＝eq \f(1,2)，又因为△ABC外接圆的半径为3，所以根据正弦定理得eq \f(a,sinA)＝6，所以a＝3.
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,4)，则△ABC的面积为________．
【答案】eq \r(3)＋1
【解析】∵b＝2，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,4)，
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
得c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(2×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝2eq \r(2)，A＝π－(eq \f(π,6)＋eq \f(π,4))＝eq \f(7π,12)，
∴sin A＝sin(eq \f(π,4)＋eq \f(π,3))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋cs eq \f(π,4)sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
则S△ABC＝eq \f(1,2)bc·sin A＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \r(3)＋1.
4.(2020·江西省九江市一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cs2A－cs2B＋sin2C＝sinBsinC＝eq \f(1,4)，且△ABC的面积为eq \r(3)，则a的值为________．
【答案】2eq \r(3)
【解析】△ABC中，由cs2A－cs2B＋sin2C＝sinBsinC＝eq \f(1,4)，得1－sin2A－(1－sin2B)＋sin2C＝sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，∴b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理，得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，又A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，∴eq \f(bc,sinBsinC)＝eq \f(a2,sin2A)，即eq \f(bc,\f(1,4))＝eq \f(a2,sin2\f(π,3))，化简得a2＝3bc.又△ABC的面积为S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \r(3)，∴bc＝4，∴a2＝12，解得a＝2eq \r(3).
5．(2020·海淀模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcs2A＝2a，则角A的取值范围是________．
【答案】
【解析】由已知及正弦定理得sin2AsinB＋sinBcs2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cs2A)＝2sinA，∴sinB＝2sinA，∴b＝2a，由余弦定理得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(4a2＋c2－a2,4ac)＝eq \f(3a2＋c2,4ac)≥eq \f(2\r(3)ac,4ac)＝eq \f(\r(3),2)，当且仅当c＝eq \r(3)a时取等号，∵A为三角形的内角，且y＝csx在(0，π)上是减函数，∴06．(2020·揭阳摸底)在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD＝eq \f(π,6).若AB＝eq \r(3)BD，则∠CAD＝________.若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为________．
【答案】eq \f(π,3) eq \r(3)
【解析】设BD＝m，则AB＝eq \r(3)m，BC＝2m，根据余弦定理，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcs∠ABD＝m2，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs∠ABD＝m2，∴AD＝DC＝AC＝m，即△ACD是正三角形，∴∠CAD＝eq \f(π,3).记△ABC的三内角∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的三条边分别为a，b，c，则BD＝eq \f(1,2)a，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcs∠ABD，∴1＝c2＋－eq \f(\r(3),2)ac，即4＝4c2＋a2－2eq \r(3)ac，又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs∠ABC，∴4＝c2＋a2－eq \r(3)ac，于是，4c2＋a2－2eq \r(3)ac＝c2＋a2－eq \r(3)ac，∴a＝eq \r(3)c，代入c2＋a2－eq \r(3)ac＝4可得c＝2，a＝2eq \r(3)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsin∠ABC＝eq \r(3).
三、解答题
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq \f(a2,3sin A).
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cs Bcs C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
【答案】（1）eq \f(2,3)；（2）3＋eq \r(33)
【解析】(1)由题设得eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(a2,3sin A)，
即eq \f(1,2)csin B＝eq \f(a,3sin A).
由正弦定理，得eq \f(1,2)sin Csin B＝eq \f(sin A,3sin A)，
故sin Bsin C＝eq \f(2,3).
(2)由题设及(1)，得cs Bcs C－sin Bsin C＝－eq \f(1,2)，
即cs(B＋C)＝－eq \f(1,2).所以B＋C＝eq \f(2π,3)，故A＝eq \f(π,3).
由题意得eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(a2,3sin A)，a＝3，所以bc＝8.
由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝eq \r(33).
故△ABC的周长为3＋eq \r(33).
2.(2020·西安质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acs2eq \f(C,2)＋2ccs2eq \f(A,2)＝eq \f(5,2)b.
(1)求证：2(a＋c)＝3b；
(2)若cs B＝eq \f(1,4)，S＝eq \r(15)，求b.
【答案】（1）见解析；（2）b＝4
【解析】(1)证明：由已知得，
a(1＋cs C)＋c(1＋cs A)＝eq \f(5,2)b.
在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，
则acs C＋ccs A＝b.
所以a＋c＝eq \f(3,2)b，即2(a＋c)＝3b.
(2)因为cs B＝eq \f(1,4)，所以sin B＝eq \f(\r(15),4).
因为S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(15),8)ac＝eq \r(15)，
所以ac＝8.
又b2＝a2＋c2－2accs B＝(a＋c)2－2ac(1＋cs B)，2(a＋c)＝3b，
所以b2＝eq \f(9b2,4)－16×(1＋eq \f(1,4))，所以b＝4.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq \r(3))bc，sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq \r(7).
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
【答案】（1）A＝eq \f(π,6)；B＝eq \f(π,6).（2）eq \r(3)
【解析】(1)由a2－(b－c)2＝(2－eq \r(3))bc，
得a2－b2－c2＝－eq \r(3)bc，∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，
又0＜A＜π，∴A＝eq \f(π,6).
由sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，
得eq \f(1,2)sin B＝eq \f(1＋cs C,2)，即sin B＝1＋cs C，
则cs C＜0，即C为钝角，
∴B为锐角，且B＋C＝eq \f(5π,6)，
则sin(eq \f(5π,6)－C)＝1＋cs C，化简得cs(C＋eq \f(π,3))＝－1，
解得C＝eq \f(2π,3)，∴B＝eq \f(π,6).
(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，
由余弦定理得AM2＝b2＋(eq \f(a,2))2－2b·eq \f(a,2)·cs C＝b2＋eq \f(b2,4)＋eq \f(b2,2)＝(eq \r(7))2，
解得b＝2，
故S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
4．(2020·福州期末)已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.
(1)若△CDE的面积为eq \f(\r(3),2)，求DE的长；
(2)若eq \r(7)CF＝4DF，求sin∠DFC.
【答案】（1）eq \r(3)；（2） eq \f(3\r(21),14)
【解析】 (1)依题意，得∠BCD＝∠DAB＝60°.
因为△CDE的面积S＝eq \f(1,2)CD·CE·sin∠BCD＝eq \f(\r(3),2)，
所以eq \f(1,2)×2CE×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)，解得CE＝1.
在△CDE中，由余弦定理，得
DE＝ eq \r(CD2＋CE2－2CD·CEcs∠BCD)＝ eq \r(22＋12－2×2×1×\f(1,2))＝eq \r(3).
(2)解法一：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，
设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°.
在△CDF中，由正弦定理，得eq \f(CF,sinθ)＝eq \f(DF,sin∠ACD)，
因为eq \r(7)CF＝4DF，所以sinθ＝eq \f(CF,2DF)＝eq \f(2\r(7),7)，
所以csθ＝eq \f(\r(21),7)，
所以sin∠DFC＝sin(30°＋θ)
＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(21),7)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(2\r(7),7)＝eq \f(3\r(21),14).
解法二：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，
设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°，
设CF＝4x，因为eq \r(7)CF＝4DF，则DF＝eq \r(7)x，
在△CDF中，由余弦定理，得
DF2＝CD2＋CF2－2CD·CFcs∠ACD，
即7x2＝4＋16x2－8eq \r(3)x，解得x＝eq \f(2\r(3),9)或x＝eq \f(2\r(3),3).
又因为CF≤eq \f(1,2)AC＝eq \r(3)，所以x≤eq \f(\r(3),4)，所以x＝eq \f(2\r(3),9)，
所以DF＝eq \f(2\r(21),9)，
在△CDF中，由正弦定理，得eq \f(CD,sin∠DFC)＝eq \f(DF,sin∠ACD)，
所以sin∠DFC＝eq \f(2sin30°,\f(2\r(21),9))＝eq \f(3\r(21),14).
5．(2020·郑州模拟)在△ABC中，AB＝2eq \r(3)，AC＝eq \r(3)，AD为△ABC的内角平分线，AD＝2.
(1)求eq \f(BD,DC)的值；
(2)求角A的大小．
【答案】（1）2；A＝eq \f(π,3)
【解析】(1)在△ABD中，由正弦定理，得
eq \f(BD,sin\f(A,2))＝eq \f(AB,sin∠ADB)，
在△ACD中，由正弦定理，得eq \f(CD,sin\f(A,2))＝eq \f(AC,sin∠ADC).
因为sin∠ADB＝sin∠ADC，AC＝eq \r(3)，AB＝2eq \r(3)，
故eq \f(BD,DC)＝eq \f(AB,AC)＝2.
(2)在△ABD中，由余弦定理，得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcseq \f(A,2)＝16－8eq \r(3)cseq \f(A,2)，
在△ACD中，由余弦定理得
CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcseq \f(A,2)＝7－4eq \r(3)cseq \f(A,2)，
又eq \f(BD2,CD2)＝4＝eq \f(16－8\r(3)cs\f(A,2),7－4\r(3)cs\f(A,2))，解得cseq \f(A,2)＝eq \f(\r(3),2).
又eq \f(A,2)∈，故eq \f(A,2)＝eq \f(π,6)，A＝eq \f(π,3).
技巧
解读
边化角
将表达式中的边利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC化为角的关系．
角化边
将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化，出现角的余弦值用余弦定理转化．
和积
互化
a2＝b2＋c2－2bccsA＝(b＋c)2－2bc(1＋csA)．可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边