2021年高考理科数学一轮复习：专题3.7 导数的综合应用（选填题） 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8592" 一、题型全归纳 PAGEREF _Tc8592 1
\l "_Tc24889" 题型一 利用导数求解函数的零点或方程的根的问题 PAGEREF _Tc24889 1
\l "_Tc5380" 题组高效训练突破 PAGEREF _Tc5380 3
\l "_Tc24060" 题型二 利用导数研究不等式的有关问题 PAGEREF _Tc24060 7
\l "_Tc24568" 题组高效训练突破 PAGEREF _Tc24568 9
\l "_Tc25994" 题型三 构造法求f(x)与f′(x)共存问题 PAGEREF _Tc25994 15
\l "_Tc2990" 类型一 f′(x)g(x)±f(x)g′(x)型 PAGEREF _Tc2990 15
\l "_Tc10342" 类型二 xf′(x)±nf(x)(n为常数)型 PAGEREF _Tc10342 16
\l "_Tc18881" 类型三 f′(x)±λf(x)(λ为常数)型 PAGEREF _Tc18881 18
一、题型全归纳
题型一 利用导数求解函数的零点或方程的根的问题
【题型要点】利用导数研究函数零点或方程根的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．
(2)数形结合法求解零点
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．
(3)构造函数法研究函数零点
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法.
【例1】(2020·汉中模拟)若函数与满足：存在实数t，使得＝，则称函数为的“友导”函数．已知函数为函数的“友导”函数，则的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2]
C．(1，＋∞) D．[2，＋∞)
【例2】(2020·江西七校第一次联考)已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋eq \f(f（x）,x)>0，则函数F(x)＝x·f(x)－eq \f(1,x)的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
题组高效训练突破
1．方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
2.(2020·贵阳摸底)函数f(x)＝ex＋a－x3＋2x2在(0，＋∞)上只有一个零点，则a的值为( )
A．4 B．4ln 2－3
C．2 D．5ln 2－4
3.(2020·江西赣州模拟)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))
4.已知f(x)＝1－eq \f(x,ex)，过点(k,0)与f(x)相切的直线有且仅有3条，则k的取值范围是( )
A．(－∞，2－e2) B．(－∞，2－e2]
C．(－∞，4－e2) D．(－∞，4－e2]
5.已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：
f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．当1g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)min；④存在x1∈M，任意x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)max..
3.两个经典不等式的活用
逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．
(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．
(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．
进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)．
【例1】(2020·渭南模拟)设函数f(x)＝(x－a)2＋(3ln x－3a)2，若存在x0，使f(x0)≤eq \f(9,10)，则实数a的值为( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2) D．1
【例2】已知函数f(x)＝eq \f(1,ln（x＋1）－x)，则y＝f(x)的图象大致为( )

【例3】若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
题组高效训练突破
1．(2020·汕头一模)函数f(x)＝ln x＋a的导数为f′(x)，若方程f′(x)＝f(x)的根x0小于1，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(0，1)
C．(1，eq \r(2)) D．(1，eq \r(3))
2．(2020·河南豫南九校联考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)满足xf′(x)>1，则( )
A．f(2)－f(1)>ln 2 B．f(2)－f(1)1 D．f(2)－f(1)1.))若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为( )
A．[0,1] B．[0,2]
C．[0，e] D．[1，e]
4．已知函数f(x)＝ex－ln (x＋3)，则下面对函数f(x)的描述正确的是( )
A．∀x∈(－3，＋∞)，f(x)≥eq \f(1,3)
B．∀x∈(－3，＋∞)，f(x)>－eq \f(1,2)
C．∃x0∈(－3，＋∞)，f(x0)＝－1
D．f(x)min∈(0,1)
5.(2020·安徽名校联考)关于函数f(x)＝eq \f(2,x)＋ln x，有下列几个命题：
①x＝2是f(x)的极大值点；
②函数y＝f(x)－x有且只有1个零点；
③存在正实数k，使得f(x)>kx恒成立；
④对任意两个正实数x1，x2，且x1>x2，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>4.
其中正确的命题有( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
6．(2020·吉林白山联考)设函数f(x)＝，若不等式f(x)≤0有正实数解，则实数a的最小值为________．
7．若对任意a，b满足0