2021年高考理科数学一轮复习：专题3.3 导数与函数的极值、最值 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29100" 一、题型全归纳 PAGEREF _Tc29100 1
\l "_Tc799" 题型一 利用导数解决函数的极值问题 PAGEREF _Tc799 1
\l "_Tc18079" 命题角度一 由图象判断函数的极值 PAGEREF _Tc18079 2
\l "_Tc6469" 命题角度二 求已知函数的极值 PAGEREF _Tc6469 3
\l "_Tc31703" 命题角度三 已知函数的极值求参数值(范围) PAGEREF _Tc31703 4
\l "_Tc28355" 题型二 利用导数研究函数的最值 PAGEREF _Tc28355 5
\l "_Tc1928" 题型三 函数极值与最值的综合应用 PAGEREF _Tc1928 7
\l "_Tc25672" 题型四 利用导数研究生活中的优化问题 PAGEREF _Tc25672 9
\l "_Tc9679" 二、高效训练突破 PAGEREF _Tc9679 11
一、题型全归纳
题型一 利用导数解决函数的极值问题
【题型要点】利用导数研究函数极值问题的一般流程
命题角度一 由图象判断函数的极值
【题型要点】由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：
由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点
【例1】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1）
C.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2）D.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2）
【例2】已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是( )
A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减 B．函数f(x)在x＝2处取得极大值
C．函数f(x)在x＝－4处取得极值 D．函数f(x)有两个极值点
命题角度二 求已知函数的极值
【题型要点】求函数极值的一般步骤
（1）先求函数f（x）的定义域，再求函数f（x）的导函数.
（2）求＝0的根.
（3）判断在＝0的根的左、右两侧的符号，确定极值点.
（4）求出具体极值.
【例3】(2020·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝ln x－eq \f(1,2)ax2＋x，a∈R.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)令g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函数g(x)的极值．
命题角度三 已知函数的极值求参数值(范围)
【题型要点】已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
【易错提醒】若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
【例5】设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求实数a的值；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．
题型二 利用导数研究函数的最值
【题型要点】求函数f(x)在[a，b]上最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
【例1】（2019·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝2x3－ax2＋b.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间［0,1］的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.
【例2】(2020·贵阳市检测)已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x)－ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．
题型三 函数极值与最值的综合应用
【题型要点】解决函数极值、最值问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．
(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．
【例1】设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.若f(x)在x＝2处取得极小值，则a的取值范围为_______．
【例2】 (2020·河南百校联盟模拟)已知函数f(x)＝ex－ax，a>0.
(1)记f(x)的极小值为g(a)，求g(a)的最大值；
(2)若对任意实数x，恒有f(x)≥0，求f(a)的取值范围．
题型四 利用导数研究生活中的优化问题
【题型要点】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）.
（2）求函数的导数，解方程＝0.
（3）比较函数在区间端点和＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.
（4）回归实际问题，结合实际问题作答.
【例1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝eq \f(a,x－3)＋10（x－6）2，其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【例2】已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且
f（x）＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10.8－\f(1,30)x2，0＜x≤10，,\f(108,x)－\f(1 000,3x2)，x＞10.))
（1）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）
二、高效训练突破
一、选择题
1．(2020·辽宁沈阳一模)设函数f(x)＝xex＋1，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
2．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值；
③函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增；
④当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值．
则上述判断正确的是( )
A．①② B．②③
C．①②④ D．③④
3.（2020·东莞模拟）若x＝1是函数f（x）＝ax＋ln x的极值点，则（ ）
A.f（x）有极大值－1 B.f（x）有极小值－1
C.f（x）有极大值0 D.f（x）有极小值0
4.(2020·广东惠州4月模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝x·f′(x)的图象可能是( )
5．(2020·河北石家庄二中期末)若函数f(x)＝(1－x)(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2－x1＝( )
A．－eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．－2eq \r(3) D．eq \r(3)
6.已知函数f（x）＝x3＋3x2－9x＋1，若f（x）在区间［k,2］上的最大值为28，则实数k的取值范围为（ ）
A.［－3，＋∞） B.（－3，＋∞）
C.（－∞，－3） D.（－∞，－3］
7.用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( )
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
8.(2020·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为( )
A．2折函数 B．3折函数
C．4折函数 D．5折函数
9.(2020·昆明市诊断测试)已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是( )
A．4e－2 B．4e2
C．e－2 D．e2
10.(2020·重庆模拟)已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－eq \f(x,e)(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为( )
A．2e－1 B．－eq \f(1,e)
C．1 D．2ln 2
11.若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋x2－eq \f(2,3)在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[－5，0) B．(－5，0)
C．[－3，0) D．(－3，0)
12．(2020·河南驻马店模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x3＋3x2＋2，x≤0，,eax，x>0))在[－2，2]上的最大值为3，则实数a的取值范围是( )
A．(ln 3，＋∞) B．
C. D．(－∞，ln 3]
二、填空题
1.函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝________．
2．若函数f(x)＝x3－3ax在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
3．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．
4.（2019·武汉模拟）若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是 ．
5.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则a＝________，f(x)的极小值为________．
三 解答题
1.(2020·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
2.(2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)＝eq \f(mx－n,x)－ln x，m∈R.
(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线与直线x－y＝0平行，求实数n的值；
(2)试讨论函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最大值．
3.（2019·郑州模拟）已知函数f（x）＝eq \f(1－x,x)＋kln x，k＜eq \f(1,e)，求函数f（x）在上的最大值和最小值.
4.已知函数f（x）＝aln x＋eq \f(1,x)（a＞0）.
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在［1，e］上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
5．(2020·石家庄市质量检测)已知函数f(x)＝aex－sin x，其中a∈R，e为自然对数的底数．
(1)当a＝1时，证明：∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥1；
(2)若函数f(x)在上存在极值，求实数a的取值范围．