2021年高考理科数学一轮复习：专题3.4 高考解答题热点题型（一）利用导数证明不等式 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20417" 一、题型全归纳 PAGEREF _Tc20417 1
\l "_Tc2267" 题型一 单变量不等式的证明 PAGEREF _Tc2267 1
\l "_Tc15771" 类型一 直接将不等式转化为函数的最值问题 PAGEREF _Tc15771 2
\l "_Tc25448" 类型二 转化为两个函数的最值进行比较 PAGEREF _Tc25448 3
\l "_Tc14661" 类型三 构造函数证明不等式 PAGEREF _Tc14661 4
\l "_Tc26511" 题型二 双变量不等式的证明 PAGEREF _Tc26511 5
\l "_Tc31746" 题型三 证明与正整数有关的不等式问题 PAGEREF _Tc31746 6
\l "_Tc5089" 题型四 两个经典不等式的应用 PAGEREF _Tc5089 7
\l "_Tc29457" 二、高效训练突破 PAGEREF _Tc29457 8
一、题型全归纳
题型一 单变量不等式的证明
【题型要点】单变量不等式的证明方法
（1）移项法：证明不等式f（x）＞g（x）（f（x）＜g（x））的问题转化为证明f（x）－g（x）＞0（f（x）－g（x）＜0），进而构造辅助函数h（x）＝f（x）－g（x）；
（2）构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数；
（3）最值法：欲证f（x）＜g（x），有时可以证明f（x）max＜g（x）min.
类型一 直接将不等式转化为函数的最值问题
【题型要点】将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由或直接证得不等式.
【例1】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明
类型二 转化为两个函数的最值进行比较
【题型要点】(1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．
(2)在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．
【例2】(2020·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
类型三 构造函数证明不等式
【题型要点】(1)将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式．
(2)直接将不等式转化成某个函数的最值问题．若证明f(x)eq \f(1,ex)－eq \f(2,ex)成立．
3.已知函数f（x）＝ex－3x＋3a（e为自然对数的底数，a∈R）.
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）求证：当a＞ln eq \f(3,e)，且x＞0时，eq \f(ex,x)＞eq \f(3,2)x＋eq \f(1,x)－3a.
4.已知函数f（x）＝aex－bln x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x＋1.
（1）求a，b；
（2）证明：f（x）＞0.
5.(2020·武汉调研)已知函数f(x)＝ln x＋eq \f(a,x)，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a>0时，证明：f(x)≥eq \f(2a－1,a).
6．(2020·广东茂名一模)已知函数f(x)＝eq \f(aex－1,x)(a∈R)的图象在x＝2处的切线斜率为eq \f(e,2).
(1)求实数a的值，并讨论函数f(x)的单调性；
(2)若g(x)＝exln x＋f(x)，证明：g(x)>1.
7.已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln(x＋a)＋b.
(1)当b＝0时，f(x)－g(x)＞0恒成立，求整数a的最大值；
(2)求证：ln 2＋(ln 3－ln 2)2＋(ln 4－ln 3)3＋…＋[ln(n＋1)－ln n]n＜eq \f(e,e－1)(n∈N*)．
8.已知函数f(x)＝λln x－e－x(λ∈R)．
(1)若函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；
(2)求证：当0