湘教版七年级上册3.4 一元一次方程模型的应用教案及反思

一元一次方程模型的应用

【课时安排】

4课时

【第一课时】

【教学目标】

（一）知识与技能目：通过对实际问题的处理，让学生能够体验到运用方程解决实际问题的方法，感受方程的应用价值。

（二）过程与方法：通过对实际问题的探索，让学生体验到与生活的密切关系，提高学数学、用数学的意识和能力。培养学生获取信息，分析问题，处理问题的方法和综合能力。

（三）情感、态度与价值观：通过学习，进一步认识到方程与现实世界的密切联系。 感受数学的应用价值，增强用数学的意识，从而激发学生学习数学的热情。

【教学重难点】

1．重点：如何表示相关量和寻找问题中的相等关系，并列出方程解应用题。

2．难点：设未知数，找等量关系。

【教学过程】

（一）激情引趣，导入新课。

在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？

我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系。因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程。

本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤。

（二）合作交流，探究新知。

1．动脑筋：某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下：全价票20元/人，半价票10元/人。该公园共售出1200张门票，得总票款20000元。问全价票和半价票各售出多少张？

师生共同分析：

（1）本题中给出的已知量和未知量各是什么？

（2）已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？（全价票款＋半价票=总票款）

（3）如果设售出全价票x张，利用上述相等关系，如何建立方程模型？

教师板书解答过程。

如果设售出全价票x张，则售出半价票（1200-x）张（从哪里看出），根据等量关系“全价票款＋半价票款=总票款”，可得到全价票款为20x元，半价票款为10(1200-x)元，从而可列出方程：20x+10（1200-x）=20000，解方程就可得到x=800，半价票为1200-800=400张。

从上面可看出，列方程解应用题的关键在于找出等量关系，那么怎样找等量关系呢？

对于有些简单的题目，将题中关键性的语言译成代数式，就可找出等量关系。特别要抓出问题中“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。对于有些比较复杂的题目，需要进行分解并经过一番分析，才能找出等量关系；有些题目仅从现成的条件无法找出等量关系，需要通过挖掘隐含条件来寻找。我们以后再讲。

（三）应用迁移，巩固提高。

例1．某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60条，问有几张椅子和几条凳子？

1．提问：（1）问题中有几个等量关系？从哪些话可看出？

2．分析：（1）从“4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个”转化为数学式子为“椅子数+凳子数=16”；

（2）从“椅子腿数与凳子腿数的和为60条”转化为数学式子为“椅子腿数+凳子腿数=60”；

（3）根据“椅子数+凳子数=16”，如果设有x张椅子，则有（16-x）条凳子，再根据“椅子腿数+凳子腿数=60”可列出方程：4x+3(16-x)=60，解方程就可得到x=12，凳子数为16-12=4（条）

3．强调：（1）用方程解应用题必须要设未知数；（2）要根据题目“问什么”我们就要“求什么”；（3）列方程解应用题最后要“答”，这是不可少步骤。

例2．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

1．问题中的等量关系有：（1）生产螺钉的工人+生产螺母的工人=22；

（2）工人生产的螺母数=工人生产的螺钉数量的2倍。

2．如果设x名工人生产螺钉，则有(22-x)名工人生产螺母；x名工人生产螺钉可生产1200x个螺钉，(22-x)名工人生产螺母，可生产2000（22-x）个螺母；根据等量关系（2）可得到方程：2×1200x=2000(22-x)。

例3．洗衣机厂今年计划生产洗衣机2550台，其中Ⅰ型，Ⅱ型，Ⅲ型三种洗衣机的数量比为1：2：14，这三种洗衣机计划各生产多少台？

总结：在应用题中出现了几个量之比，可根据比值设未知数。

思考：应用一元一次方程解决实际问题的步骤有哪些？

师生共同总结应用一元一次方程解决实际问题的基本步骤是：

（1）审题——找出题目中的已知量、未知量及相互关系。

（2）寻找等量关系——找出题目中能够表示全部含义的一个或几个相等关系（其中包括数量间的基本关系或本题条件下的等量关系）。

（3）设未知数——根据题目要求，确定适当的未知数。

（4）列方程——根据等量关系，列代数式得到方程。

（5）解方程。

（6）检验并答题（检验本题答案是否符合实际要求后再作答）。

【第二课时】

【教学目标】

（一）知识与技能：

1．全面巩固学生已学过的列出一元一次方程解应用题的步骤和有关注意事项。

2．使学生通过实际问题，了解什么是商品售价、商品进价，什么是商品利润、商品利润率，并且弄清这些量之间有哪些基本关系。

3．学生能分析利润率问题中的已知数与未知数之间的相等关系，列出方程解有关应用题。

4．由此及彼地拓宽有关百分率的知识，继续了解“未知”可以转化为“已知”的思想以及代数方法的优越性。

（二）过程与方法：通过利润利息问题，培养学生应用数学的意识，体会数学的价值。

（三）情感、态度与价值观：让学生充分感受到其实数学就在我们的身边，存在于我们的日常生活中，通过创设情境教学让学生体会学习的乐趣，激发学生学习数学的兴趣，渗透事物相互联系的思想教育。

【教学重难点】

1．重点：理解以下基本关系：（1）商品的利润＝商品售价－商品的进价；商品利润率＝商品利润／商品进价×100％，（2）利息＝本金×利率×存期；本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。

2．难点：（1）寻找利润利息问题中的等量关系，建立数学模型。

（2）理解打几折销售就是按原价的十分之几出售。商品售价=商品标价×折扣率。

【教学过程】

（一）激情引趣，导入新课。

某商店若将某型号彩电按标价的八折销售，则此时每台彩电的利润率是5%，已知该型号彩电进价为每台4000元，求该型号彩电的标价。

在现实生活中，我们购买商品和销售商品中，经常会遇到进价、标价、售价、打折、利润、利润率等概念的问题，今天我们就来研究一下销售利润、利息的问题。

（二）合作交流，探究新知。

1．理解“盈利”、“亏损”、“利润”含义。

盈利：售价＞进价

利润=售价－进价＞0

亏损：售价＜进价

利润=售价－进价＜0

“利润”就是“经营工商业等赚的钱”，在商店出售商品时，商品利润可以看作商品的售价与进价之差。

如某件商品的进价是40元，卖出后盈利25%，那么利润是多少？如果卖出后亏损25%，利润又是多少？（利润是负数，是什么意思？）

2．理解利润问题和利息问题的关系。

（1）要熟悉“进价”、“标价”、“售价”、“打折”、“利润”、“利润率”这些商业名词的含义，另外还要清楚反映进行、标价、售价、打折、利润、利润率之间关系的公式才能准确地列出方程。利润问题其数量关系是：商品的利润＝商品售价－商品的进价；商品利润率＝商品利润／商品进价×100％，注意打几折销售就是按原价的十分之几出售。商品售价=商品标价×折扣率。

（2）要熟悉利息问题中利息、本金、利率、本息和的概念，其数量关系是：利息＝本金×利率×存期；本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。

3．解决情境中的问题：

分析：（1）本题中找等量关系的方法与上节课找等量关系的方法不同，本题只有在理解题意的基础上，利用标价、售价、进价、利润之间的关系，才能找出。

（2）等量关系为：售价-进价=利润，而售价是在标价的基础上打折出售，利润=利润率×进价，此次上述等量关系又可表示为：标价×折扣-进价=利润率×进价；

（3）如果设标价为x元，则由等量关系可列出方程为：0.8x-4000=4000×5%；

解之可得标价。

强调：注意打几折销售就是按原价的十分之几出售。

（三）应用迁移，巩固提高。

例1．某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则这次买卖中商贩是赚了还是赔了？

分析：本题中的等量关系：（1）；（2）；

（2）在本题中的等量关系中，售价已知，盈利率和亏本率已知，只有售价未知，因此只要设进价就可就出两件上衣的进价，从而可得出两件上衣的利润，就可判断在这次买卖中商贩是赚了还是赔了。但要注意，两件上衣的进价必须要用两个不同的未知数表示。

例2．2011年10月1日，杨明将一笔钱存入银行，定期三年，年利率是5%，若到期后，他可得到本息和23000，求杨明存入的本金是多少元；

分析：等量关系：本金＋利息=本息和，而利息＝本金×利率×存期，如果设杨明存入的本金是x元，三年后杨明得到的利息为3×5%x，就可列出方程；

例3：某人活期存款10个月扣除利息税后得2528元，已知月利率0.14％，那么，原先存了多少元？

分析：活期存款与定期存款的计息方法类似。

解：设原先存了x元，得2528－x＝10×0.14％x（1－20％）

例4：某商店将某种超级VCD按进价提高35％，然后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台超级VCD仍获利208元，那么每台超级VCD的进价是多少？

【第三课时】

【教学目标】

（一）知识与技能：

1．能利用线形示意图作为建模策略，分析行程问题中的数量关系列方程解决问题；

2．进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力。

（二）过程与方法：通过自主探究与小组合作交流，能合理清晰地表达自己的思维过程，掌握根据具体问题中的数量关系，列出方程，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，训练学生运用新知识解决实际问题的能力。

（三）情感、态度与价值观：进一步体会数学中的化归思想，引导学生关注生活实际，建立数学应用意识，热爱数学。

【教学重难点】

1．重点：利用线形示意图分析问题中的数量关系，找出问题中的等量关系。

2．难点：运用线形示意图分析问题中的数量关系。

【教学过程】

（一）激情引趣，导入新课。

星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆。已知他俩的家到雷锋纪念馆相等，小斌每小时骑10km，他在上午10时到达；小强每小时骑15km，他在上午9时30分到达，求他们到雷锋纪念馆的路程。

（二）合作交流，探究新知。

学生思考：（1）行程问题中有哪些基本量？它们间有什么关系？

（2）本题中的等量关系是什么？

教师分析：（1）在找等量关系时，应抓住他们到达雷锋纪念馆的时间差，根据路程、速度、时间的关系，时间差已知，只要把路程、速度表示出时间就可找出等量关系：

（2）在上述等量关系中，小斌、小强的速度已知，只要设路程就可列出方程；

（三）应用迁移，巩固提高。

例1．小明与小红家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明，已知小明骑车的速度为13km/h，小红骑车的速度是12km/h。

如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？

如果小明先走30min，那么小红骑车要多少小时才能与小明相遇？

1.分析：由于小明和小红都是从家里出发，且相向而行，所以相遇时，他们走的路程之和等于两家之间的距离。不管是两人同时出发，还是其中有一人先行，都有如下的相等关系：小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离。

（1）如果两人同时出发，题中的相等关系：

小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离；

（2）如果小明先走30min，题中的相等关系仍为：

小明走的路程（前30分的路程+ 后面的路程）+小红走的路程 = 两家间的距离，而两家的路程已知，所以只要把小明走的路程和小红走的路程用速度和时间表示出，就可就出时间。

归纳相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。甲走的路程+乙走的路程=全路程。

例2．甲、乙二人个距40千米，甲先出发1.5小时后乙再出发，甲在后，乙在前，二人同向而行甲的速度是每小时8千米，乙的速度是每小时6千米，甲出发后几小时可追上乙？

【第四课时】

【教学目标】

（一）知识与技能：学会找分段、植树类问题的等量关系，提高解决实际问题的能力。

（二）过程与方法：通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高分析问题，解决问题的能力，经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会模型化的思想。

（三）情感、态度与价值观：通过学习使学生更加关注生活，增强用数学的意识，激发学习数学的热情。

【教学重难点】

1．重点：建立一元一次方程解决分段、植树类的问题。

2．难点：寻找等量关系，建立一元一次方程模型；

【教学过程】

（一）激情引趣，导入新课。

为了鼓励节约用水、用电娄底市的电费、水费都实行分段收费，你会计算你家每月应交的电费、水费吗？请看：

为鼓励居民节约用水，某市出台了新的家庭用水收费标准，规定：所交水费分为标准内水费和超标部分水费两部分。其中标准内水费为1.96元/t，超标部分水费为2.94元/t，某家庭6月份用水12t，需交水费27.44元。求该市规定的家庭月标准用水量。

（二）合作交流，探究新知。

对于此问题，学生思考

动脑筋中，解答问题时为什么要先讨论是否会有超标部分。

本题中的等量关系是什么？

分析：1．首先要分析所交水费27.44中是否含有超标部分水费，由于1.96×12=23.52元，小于27.44元，因此所交水费中含有超标部分水费。

2．节约用水问题中的等量关系：月标准内水费+超标部分的水费=该月所交水费

3．设家庭月标准用水量为xt，根据等量关系，可得1.96x+（12-x)×2.94=27.44，解之，可得家庭月标准用水量。

（三）应用迁移，巩固提高。

1．国家规定个人发表文章、出版著作所获稿费应纳税，其计算方法是：

稿费不高于800元的免税；

稿费高于800元，但不高于4000元的，应缴税超过800元的那一部分的14％；

稿费高于4000元的，应缴税全部稿费的11％。

（1）若秦老师获得的稿费为2000元，他应缴税（    ）元。

（2）若秦老师获得的稿费为5000元，他应缴税（    ）元。

（3）若秦老师出版一部著作。获得一笔稿费，他缴了550元的税，秦老师的这笔稿费是多少元？

2．现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵，并且每2棵树的间隔相等，方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵；方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好用完，根据以上方案，请你计算出原有树苗的棵树和这段路的长度；

思考：在公路一旁植一排树，并且公路两端都要植树，则相邻两树的间隔长与应植树的棵树有什么关系？相邻两树的间隔长、应植树的棵树与路长有怎样的数量关系？

分析：（1）在公路一旁植一排树，并且公路两端都要植树，则植树棵数要比段数多1，全长，棵数，树间距三者之间的关系是：棵数=全长÷树间距+1，全长=树间距×（棵数-1），树间距=全长÷（棵数-1）

（2）等量关系：方案一的路长=方案二的路长；

（3）设原有树苗x棵，由等量关系得：；

（4）本题另解：设公路全长xm，则每隔5米栽1棵，可植（+1））棵树，实有树苗（+1-21）棵，每隔5．5米栽一棵，可栽（+1）棵，实有树苗（+1）棵，则+1-21=+1．