2018年苏州市昆山市中考二模数学试卷

这是一份2018年苏州市昆山市中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −3×−16 的结果是
A. 12B. 2C. −12D. −2

2. 截止 2017 年，昆山连续 13 年位居全国百强县首位，根据政府工作报告，2017 年昆山市一般公共预算收入高达 352.5 亿元，其中 352.5 亿用科学记数法表示为
A. 3.525×1012B. 3.525×1011C. 3.525×1010D. 3.525×109

3. 下列计算正确的
A. −32=6B. −a32=a5C. 3m4−2m2=m2D. 8−2=2

4. 若关于 x 的一元二次方程 x2+2k−1x+k2−1=0 有实数根，则 k 的取值范围是
A. k≥1B. k>1C. k<1D. k≤1

5. 一组数据：3，0，1，3，2，这组数据的众数、中位数分别是
A. 2，1B. 3，1C. 3，2D. 2，2

6. 关于二次函数 y=−14x2+x−4 的图象与性质，下列说法正确的是
A. 抛物线开口向上
B. 当 x=2 时，y 有最大值，最大值是 −3
C. 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小
D. 抛物线与 x 轴有两个交点

7. 如图，C，D 是以线段 AB 为直径的 ⊙O 上两点，若 CA=CD，且 ∠ACD=40∘，则 ∠CAB=
A. 10∘B. 20∘C. 30∘D. 40∘

8. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，点 E，F 分别在 BC 和 AD 上，连接 AE，CF．若四边形 AECF 为菱形，则该菱形的面积为
A. 15B. 16C. 18D. 20

9. 如图所示，已知 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC=2，将 △ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60∘ 到 △ABʹCʹ 的位置，连接 CʹB，则 CʹB 的长为
A. 2−2B. 32C. 3−1D. 1

10. 如图，二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=OC，则下列结论：① abc<0；② b2−4ac4a>0；③ ac−b+1=0；④ OA⋅OB=−ca．其中正确的结论
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 因式分解：2a2−8= ．

12. 如图所示，AB∥CD，∠E=35∘，∠C=20∘，则 ∠EAB 的度数为 ．

13. 当 x= 时，代数式 x+22−1x+3 的值是 0．

14. 在函数 y=2x−1 中，自变量 x 的取值范围是 ．

15. 如图所示，我国古代著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形两条直角边的长分别是 2 和 1，小军随机地向大正方形内部区域投掷飞镖．则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率是 ．

16. 如图，已知反比例函数 y=2x 在第一象限内的图象上一点 A，且 OA=4，AB⊥x 轴，垂足为 B，线段 OA 的垂直平分线交 x 轴于点 C（点 C 在点 B 的左侧），则 △ABC 的周长等于 ．

17. 如图，△AOB 为等腰三角形，顶点 A 的坐标为 3,4，底边 OB 在 x 轴正半轴上．将 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转一定角度后得 △AʹOBʹ，点 A 的对应点 Aʹ 在 x 轴负半轴上，则点 B 的对应点 Bʹ 的坐标为 ．

18. 如图，平面直角坐标系中，已知 A，B 两点的坐标分别为 2,0，0,23，点 P 是 △AOB 外接圆上的一点，且 ∠BOP=45∘，则点 P 的坐标为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：∣1−3∣−12−1−2sin60∘+24−10．

20. 解不等式组 x−32+3≥x,1−5x<3−3x−1, 并写出该不等式组的整数解．

21. 先化简再求值：x+4x2−2x−2x−2÷x−4x2−4x+4，其中 x=3．

22. 某商店购买 60 件A商品和 30 件B商品共用了 1080 元，购买 50 件A商品和 20 件B商品共用了 880 元．
（1）A，B两种商品的单价分别是多少元?
（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的 2 倍少 4 件，如果需要购买A，B两种商品的总件数不少于 32 件，且该商店购买的A，B两种商品的总费用不超过 296 元，那么该商店有哪几种购买方案?

23. 某中学开展“校园文化艺术节”文艺汇演活动，现从由 3 名男生和 2 名女生所组成的主持候选人小组中，随机选取 2 人担任此次文艺汇演活动的主持人．
（1）若从这 5 名主持候选人中随机选取 1 人，恰好选到的是女生的概率是 ；
（2）请用列举法（画树状图或列表）求随机选取的 2 名主持人中，恰好是“一男一女”的概率．

24. 如图，已知四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90∘，连接 BD，∠BCD=∠BDC，过 C 作 CE⊥BD，垂足为 E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若 AD=3，DE=2，求 △BCD 的面积 S△BCD．

25. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y=−12x 与反比例函数 y=kx 的图象交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），已知 A 点的纵坐标是 2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线 l1：y=−12x 向上平移后的直线 l2 与反比例函数 y=kx 在第二象限内交于点 C，如果 △ABC 的面积为 30，求平移后的直线 l2 的函数表达式．

26. 已知：如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，点 O 是边 AB 上一点，以 O 为圆心，BO 为半径的 ⊙O 与 AD 相切于点 E，交 AB 于 F，连接 BE．
（1）求证：BE 平分 ∠ABC；
（2）若 BC=4，csC=13，求 ⊙O 的半径 r．

27. 如图，矩形 ABCD 中，AB=4 cm；BC=3 cm，若点 P 从点 B 出发沿 BD 方向，向点 D 匀速运动，同时点 Q 从点 D 出发沿 DC 方向，向点 C 匀速运动，它们的速度均为 1 cm/s，当 P，Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接 AP，PQ，PC，设运动时间为 ts，解答下列问题：
（1）则线段 PD 的长度为 （用含 t 的代数式表示）；
（2）设 △DPQ 的面积为 S，求 △DPQ 的面积 S 的最大值，并求出此时 t 的取值 ．
（3）若将 △PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPʹC，当四边形 PQPʹC 为菱形时，求 t 的值；
（4）在点 P，Q 的运动过程中，当 t 取何值时，AP⊥PQ（直接写出 t 的值）．

28. 已知经过点 A−4,−4 的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于点 B−3,0 及原点 O．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，连接 AO，过点 A 作 AM⊥x 轴，垂足为 M，平行于 y 轴的直线交抛物线于点 P，交线段 AO 于点 N，当四边形 AMPN 为平行四边形时，求 ∠AOP 的度数；
（3）如图 2，连接 AB，若点 C 在抛物线上，得 ∠CAO=∠BAO，试探究：在第（2）小题的条件下，坐标平面内是否存在点 Q，使得 △POQ∽△AOC?若存在，请求出所有几满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】−3×−16=+3×16=12．
2. C【解析】将 352.5 亿用科学记数法表示为 3.525×1010．
3. D【解析】A．−32=9，故原题计算错误；
B．−a32=a6，故原题计算错误；
C．3m4 和 2m2 不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
D．8−2=22−2=2，故原题计算正确．
4. D
5. C
【解析】这组数据的众数为 3，从小到大排列：0，1，2，3，3，中位数是 2．
6. B【解析】因为 y=−14x2+x−4=−14x−22−3，
所以 a=−14<0，抛物线的开口向下，
对称轴是直线 x=2，当 x=2 时，y 有最大值，最大值是 −3，
当 0 Δ=12−4×−14×−4=−3<0，
抛物线与 x 轴没有交点，
所以只有选项B正确，选项A，C，D错误．
7. B【解析】∵∠ACD=40∘，CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA=12180∘−40∘=70∘，
∴∠B=∠ADC=70∘，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠CAB=90∘−∠B=20∘．
8. D【解析】∵ 在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，
∴AB=CD=4，AD=BC=8，
∵ 四边形 AECF 为菱形，
∴AF=EC=AE=CF，
设 BE 为 x，
在 Rt△ABE 中，AB2+BE2=AE2，
即 42+x2=8−x2，解得：x=3，
∴ 菱形的面积 =4×8−3=20．
9. C【解析】连接 BBʹ，并延长 BCʹ 交 ABʹ 于 D，
可证得 △ABCʹ≌△BʹBCʹSSS，则 ∠ABCʹ=∠BʹBCʹ，
又 ∵AB=BBʹ，
∴BD⊥ABʹ，则 BD=32AB=3，CʹD=12ABʹ=1，
∴CʹB=3−1．
10. C
【解析】①项，由图可知，二次函数图象开口向下，则 a<0，对称轴 −b2a>0，
故 b>0．
当 x=0 时，y=c，则点 C 的坐标为 0,c，
由图可知，C 点位于 y 轴正半轴上，即 c>0，故 abc<0．故①项正确．
②项，
∵ 图象与 x 轴有两个交点，
∴ 方程 ax2+bx+c=0 有两个不同的实数根，
∴ 该方程根的判别式 Δ=b2−4ac>0，
又 ∵a<0，
∴b2−4ac4a<0，故②项错误．
③项，设点 A 的坐标为 x1,0x1<0，点 B 的坐标为 x2,0x2>0，
∵OA=OC，
∴−x1=c，即 x1=−c，
∵ 点 A 是函数图象与 x 轴的交点，即二次函数所对应的一元二次方程的解，
∴ax12+bx1+c=0，
将 x1=−c 代入得，ac2−bc+c=0，
即 ac−b+1=0．故③项正确．
④项，令 y=0 得 ax2+bx+c=0，
设该方程的两根为 x1，x2，
由韦达定理可得 x1x2=ca，
则 OA⋅OB=−x1x2=−ca．故④项正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
第二部分
11. 2a+2a−2
12. 55∘
【解析】∵∠E=35∘，∠C=20∘，
∴∠DFE=∠E+∠C=35∘+20∘=55∘，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠DFE=55∘．
13. −1
【解析】由分式的值为零的条件得 x+22−1=0，x+3≠0，
由 x+22−1=0 得 x+22=1，
∴x=−1 或 x=−3，
由 x+3≠0 得 x≠−3．
综上，得 x=−1．
14. x≥12
15. 15
【解析】直角三角形的两条直角边的长分别是 2 和 1，则小正方形的边长为 1，根据勾股定理得大正方形的边长为 5，小正方形的面积大正方形的面积=15，飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率是 15．
16. 25
【解析】∵OA 的垂直平分线交 OB 于 C，
∴AC=OC，
∴△ABC 的周长 =OB+AB，
设 OB=a，AB=b，则：ab=2,a2+b2=16,
解得 a+b=25，即 △ABC 的周长 =OB+AB=25．
17. −185,245
【解析】如图，作 AG⊥OB 于 G，作 BʹH⊥AʹO 于 H，
∵△AOB 为等腰三角形，顶点 A 的坐标为 3,4，
∴AG=4，OG=3，AO=5，OB=6，
∴ 由旋转可得 AʹO=5，OBʹ=6，
∵12OB×AG=12AʹO×BʹH，
∴BʹH=245，
∴Rt△BʹHO 中，HO=BʹO2−BʹH2=185，
∴ 点 Bʹ 的坐标为 −185,245．
18. 1+3,1+3 或 −3+1,3−1
【解析】在 Rt△OAB 中，AB=22+232=4，
∵∠AOB=90∘，
∴AB 为 △AOB 外接圆的直径，设圆心为 C 点，
过直径 PPʹ⊥AB，连接 PA，PʹB，作 PD⊥x 轴于 D，PʹE⊥y 轴于 E，如图，
∴∠PCA=∠BCP=90∘，PA=PʹB=22，
∴∠BOP=∠BOPʹ=45∘，
∴∠POD=45∘，
设 Pt,t，则 AD=t−2，
在 Rt△PAD 中，t−22+t2=222，整理得 t2−2t−2=0，
解得 t1=1+3，t2=1−3（舍去），则 P 点坐标为 1+3,1+3；
设 Pʹm,−m，则 PʹE=OE=−m，BE=23+m，
在 Rt△PʹBE 中，23+m2+m2=222，整理得 m2+23m+2=0，
解得 m1=−3+1，m2=−3−1（舍去），则 Pʹ 点坐标为 −3+1,3−1．
综上所述，满足条件的 P 点坐标为 1+3,1+3 或 −3+1,3−1．
第三部分
19. 原式=3−1−2−3+1=−2.
20.
x−32+3≥x, ⋯⋯①1−5x<3−3x−1. ⋯⋯②
由 ① 得
x≤3.
由 ② 得
x>−52.∴
不等式组的解集为
−52 整数解为 x=−2,−1,0,1,2,3．
21. 原式=x+4−2xxx−2÷x−4x−22=4−xxx−2⋅x−22x−4=2−xx.
当 x=3 时，
原式=2−33=233−1.
22. （1） 设A种商品的单价为 x 元、B种商品的单价为 y 元，由题意得：
60x+30y=1080,50x+20y=880.
解得
x=16,y=4.
答：A种商品的单价为 16 元、B种商品的单价为 4 元．
（2） 设购买A商品的件数为 m 件，则购买B商品的件数为 2m−4 件，由题意得：
m+2m−4≥32,16m+42m−4≤296.
解得：
12≤m≤13.∵m
是整数，
∴m=12或13，
故有如下两种方案：
方案（1）：m=12，2m−4=20，
即购买A商品的件数为 12 件，则购买B商品的件数为 20 件；
方案（2）：m=13，2m−4=22，
即购买A商品的件数为 13 件，则购买B商品的件数为 22 件．
23. （1） 25
【解析】若选取一人担任主持人，则恰好是女生担任主持人的概率为 25．
（2） 画出树形图为：
共有 20 种等可能的结果，其中恰好为一男一女的结果为 12 种，
∴P主持人恰好为一男一女=1220=35．
24. （1） ∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC，
又 ∵CE⊥BD，
∴∠BEC=∠A=90∘，
在 △ABD 和 △ECB 中，
∠A=∠BEC,∠ADB=∠EBC,BD=CB,
∴△ABD≌△ECB．
（2） ∵△ABD≌△ECB，
∴BE=AD=3，EC=AB，
∴BD=BE+ED=5，
在 Rt△ABD 中 AB2+AD2=BD2，
∴AB=4，CE=4，
∴S△BCD=12BD⋅CE=10．
25. （1） 把 yA=2 代入 l1：y=−12x，
∴xA=−4，A−4,2，
∴k=−8，
∴ 反比例函数的表达式为 y=−8x．
（2） 如图，设直线 l2 交 y 轴于点 D，连接 AD，BD，
∵l1∥l2，
∴S△ABD=S△ABC=30，
由对称性可知，B4,−2，即：12OD⋅xB−xA=30，
∴OD=152，
∴ 直线 l2：y=−12x+152．
26. （1） 如图，连接 OE，
∵AD 切 ⊙O 于点 E，
∴OE⊥AD，
又 ∵AB=AC，AD 平分 ∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=12BC，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠2，
又 ∵OB=OE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BE 平分 ∠ABC．
（2） ∵AB=AC，BC=4，
∴∠ABC=∠C，BD=2，
在 Rt△ABD 中，cs∠ABD=BDAB=13，
即 2AB=13，AB=6，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABD，
∴OEBD=AOAB，
即 r2=6−r6，
∴r=32，
∴⊙O 的半径 r=32．
27. （1） 5−tcm
（2） 如图，过 P 作 PE⊥CD 于 E，
∵ 矩形 ABCD，AB=4，BC=3，
∴BD=5 cm，PD=5−tcm，
∵PE∥BC，
∴△DPE∽△DBC，
∴PEBC=DPDB，
即 PE3=5−t5，
∴PE=3−35tcm，
∴S△DPQ=12DQ⋅PE=12t3−35t，
即 S=−310t2+32t=−310t−522+158，
∵0 ∴ 当 t=52 时，S最大=158．
（3） ∵ 四边形 PQPʹC 为菱形，
∴PQ=PC，
又 ∵PE⊥QC，
∴QE=EC=12QC，
又 ∵△DPE∽△DBC，
∴DEDC=DPDB，
即 DE4=5−t5．
（4） t=2013．
【解析】当 t=169 时，AP⊥PQ，
∴DE=4−45tcm，
∴QE=DE−DQ=4−95tcm，
又 ∵QC=4−tcm，
∴4−95t=124−t，
∴t=20130≤t≤4，
即当 t=2013 时，四边形 PQPʹC 是菱形．
28. （1） 由题意，得 16a−4b+c=−4,9a−3b+c=0,c=0, 解得 a=−1,b=−3,c=0.
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2−3x．
（2） 如图 3，连接 OP，
设点 P 坐标为 m,−m2−3m，其中 −4 ∵ 点 A−4,−4，
∴ 直线 OA 的解析式为 y=x，从而点 N 的坐标为 m,m，
∴PN=−m2−3m−m=−m2−4m，
当四边形 AMPN 为平行四边形时，PN=AM=4，
即 −m2−4m=4，解得 m=−2，此时点 P 坐标为 −2,2，
∴∠AOP=∠AOM+∠POM=45∘+45∘=90∘．
（3） 如图 4，设 AC 交 y 轴于点 D，
由点 A−4,−4 得 ∠AOB=∠AOD=45∘，
∵∠CAO=∠BAO，AO=AO，
∴△AOD≌△AOB，
∴OD=OB=3，点 D 坐标为 0,−3，
设直线 AC 解析式为 y=px+q，则 −4p+q=−4,q=−3, 解得 p=14，q=−3，
∴ 直线 AC 解析式为 y=14x−3，
解方程组 y=14x−3,y=−x2−3x 得 x1=34,y1=−4516, x2=−4,y2=−4（舍），
∴ 点 C 坐标为 34,−4516．
将 △AOC 沿 x 轴翻折，得到 △A1OC1，则 A1−4,4，C134,4516，
∴O，P，A1 都在直线 y=x 上，取 OC1 的中点 Q，则 △QOP∽△C1OA1，
∴△QOP∽△COA，此时点 Q 坐标为 38,4532，
将 △QOP 沿直线 y=x 翻折，可得另一个满足条件的点 Qʹ−4532,−38．
综上所述，点 Q 的坐标为 38,4532 或 −4532,−38．