2018年苏州市吴中、吴江、相城区中考一模数学试卷

这是一份2018年苏州市吴中、吴江、相城区中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −3 的相反数是
A. 33B. −33C. 3D. −3

2. 下列计算正确的是
A. a6÷a2=a3B. −2−1=2
C. −3x2⋅2x3=−6x6D. 3−π0=1

3. 如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是
A. B.
C. D.

4. 某种微生物半径约为 0.00000637 米，该数字用科学记数法可表示为 米．
A. 0.637×10−5B. 6.37×10−6C. 63.7×10−7D. 6.37×10−7

5. 如图，PA 和 PB 是 ⊙O 的切线，点 A 和点 B 是切点，AC 是 ⊙O 的直径，已知 ∠P=40∘，则 ∠ACB 的大小是
A. 60∘B. 65∘C. 70∘D. 75∘

6. 关于 x 的一元二次方程 x2−kx+1=0 有两个相等的实数根，则 k 的值为
A. 2B. −2C. ±2D. 4

7. 某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产 30 台机器，并且现在生产 500 台机器所需时间与原来生产 350 台机器所需时间相同．设现在每天生产 x 台机器，根据题意可得方程为
A. 500x=350x−30B. 500x−30=350xC. 500x=350x+30D. 500x+30=350x

8. 若函数 y=2x 与 y=−2x−4 的图象的交点坐标为 a,b，则 1a+2b 的值是
A. −4B. −2C. 1D. 2

9. 若二次函数 y=−x2+bx+c 与 x 轴有两个交点 m,0，m−6,0，该函数图象向下平移 n 个单位长度时与 x 轴有且只有一个交点，则 n 的值是
A. 9B. 6C. 3D. 36

10. 如图，反比例函数 y=kxx<0 的图象经过 A−2,2，过点 A 作 AB⊥y 轴，垂足为 B，在 y 轴的正半轴上取一 P0,t，过点 P 作直线 OA 的垂线 l，以直线 l 为对称轴，点 B 经轴对称变换得到的点 Bʹ 在此反比例函数的图象上，则 t 的值是
A. −1+5B. 4+2C. 4−2D. 1+5

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 代数式 x−2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

12. 有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为 ．

13. 已知圆弧所在圆的半径为 24，所对圆心角为 60∘，则圆弧的长为 ．

14. 从长度分别是 3，4，5 的三条线段中随机抽出一条，与长为 2，3 的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是 ．

15. 已知 ab=−2，a−b=3，则 a3b−2a2b2+ab3 的值为 ．

16. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 中，函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如表：
x⋯−5−4−3−2−1⋯y⋯3−2−5−6−5⋯
则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=−2 的根是 ．

17. 如图，已知 l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 在 l1 上，另两个顶点 A，B 分别在 l3，l2 上，则 sinα 的值是 ．

18. 如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，P，Q 分别是 BC，AB 上的两个动点，AE=2，△AEQ 沿 EQ 翻折形成 △FEQ，连接 PF，PD，则 PF+PD 的最小值是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：3−1+−12018−tan60∘．

20. （1）解不等式组：2x>3x−2,2x−13≥12x−23.
（2）解方程：2x2x−1+xx−2=2．

21. 先化简，再求值：1a−1a+1÷a2−2a+1a2+a，其中 a=3+1．

22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，DE=12CD．
（1）求证：△ABF∽△CEB；
（2）若 △DEF 的面积为 2，求四边形 BCDF 的面积．

23. 为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图所示的统计图．根据统计图所提供的倍息，解答下列问题．
（1）本次抽样调查中的学生人数是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有 2000 名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数；
（4）现有爱好舞蹈的两名男生两名女生想参加舞蹈社，但只能选两名学生，请你用列表或画树状图的方法，求出正好选到一男一女的概率．

24. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mx 的图象交于 A3,8−m，Bn,−6 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求 △AOB 的面积．

25. 某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为 200 元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量 y（台）与销售单价 x（元）的关系为 y=−2x+1000．
（1）该公司每月的利润为 w 元，写出 w 与 x 的函数关系式；
（2）若要使每月的利润为 40000 元，销售单价应定为多少元?
（3）公司要求销售单价不低于 250 元，也不高于 400 元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少?

26. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是 AB 的中点，点 D 是 ⊙O 外一点，AD=AB，AD 交 ⊙O 于 F，BD 交 ⊙O 于 E，连接 CE 交 AB 于 G．
（1）证明：∠C=∠D；
（2）若 ∠BEF=140∘，求 ∠C 的度数；
（3）若 EF=2，tanB=3，求 CE⋅CG 的值．

27. 已知，如图 1，直线 y=34x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，C 两点，点 B 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 94，抛物线经过 A，B，C 三点．点 D 是直线 AC 上方抛物线上任意一点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若 P 为线段 AC 上一点，且 S△PCD=2S△PAD，求点 P 的坐标；
（3）如图 2，连接 OD，过点 A，C 分别作 AM⊥OD，CN⊥OD，垂足分别为 M，N．当 AM+CN 的值最大时，求点 D 的坐标．

28. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=2 cm，AB=4 cm，动点 P 从点 C 出发，在 BC 边上以每秒 3 cm 的速度向点 B 匀速运动，同时动点 Q 也从点 C 出发，沿 C→A→B 以每秒 4 cm 的速度匀速运动，运动时间为 t 秒（0（1）当 t=12 时，求 △PCQ 的面积；
（2）设 ⊙O 的面积为 s，求 s 与 t 的函数关系式；
（3）当点 Q 在 AB 上运动时，⊙O 与 Rt△ABC 的一边相切，求 t 的值．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. D
4. B
5. C
6. C
7. A
8. B
9. A
10. D
第二部分
11. x≥2
12. 5
13. 8π
14. 23
15. −18
16. x1=−4，x2=0
17. 1010
18. 8
第三部分
19. 原式=3−1+1−3=0.
20. （1）
2x>3x−2, ⋯⋯①2x−13≥12x−23. ⋯⋯②
由 ① 得
x<2.
由 ② 得
x≥−2.∴
不等式组的解集为
−2≤x<2.
（2） 方程两边同乘以 2x−1x−2 得
2xx−2+x2x−1=22x−1x−2,x=45.
经检验 x=45 是原方程的根．
21. 1a−1a+1÷a2−2a+1a2+a=1a−12，
当 a=3+1 时，原式=13．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠ABE=∠E，
∴△ABF∽△CEB．
（2） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴S△DEFS△CEB=DECE2，
∵DE=12CD，CE=DE+CD，
∴DECE=13，
∴S△DEFS△CEB=DECE2=19，
∵S△DEF=2，
∴S△CEB=18，
∴S四边形BCDF=S△CEB−S△DEF=16．
23. （1） 100
（2）
（3） 2000×1−30%−10%−20100=800（名），
∴ 爱好打球的学生有 800 名．
（4） 画树状图如图所示，
共有 12 种等可能的情况产生，其中满足条件的情况共两种．
∴P一男一女=812=23．
24. （1） ∵y=mx 经过 A3,8−m，
∴3×8−m=m，
∴m=6，
∴A3,2，y=6x，
把 Bn,−6 代入 y=6x 得 n=−1，
∴B−1,−6，
把 A，B 两点的坐标代入 y=kx+b 得 3k+b=2,−k+b=−6,
∴k=2,b=−4,
∴y=2x−4．
（2） 设 AB 与 x 轴交于点 C，
当 y=0 时 0=2x−4，
∴x=2，
∴C2,0，
∴OC=2，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12OC⋅yA+12OC⋅yB=8.
25. （1） w=x−200−2x+1000=−2x2+1400x−200000．
（2） 当 w=40000 时，
−2x2+1400x−200000=40000,x−300x−400=0.
所以
x1=300,x2=400.
因为 200≤x≤500，
所以 x=300或400．
答：销售单价为 300 元或者 400 元．
（3） 因为 w=−2x2+1400x−200000=−2x−3502+45000，
250≤x≤400，
所以当 x=350 时 wmax=45000，
当 x=250 时 wmin=25000，
答：最高利润是 45000 元，最低利润为 25000 元．
26. （1） ∵AB=AD，
∴∠B=∠D，
∵∠C 与 ∠B 是 AE 所对圆周角，
∴∠C=∠B，
∴∠C=∠D．
（2） ∵∠BAF 与 ∠BEF 是 ⊙O 内接四边形 ABEF 的内对角，
∴∠BAF+∠BEF=180∘，
∵∠BEF=140∘，
∴∠BAF=40∘，
∴∠B=∠D=12×180∘−40∘=70∘，
∴∠C=∠D=70∘．
（3） 如图，连接 AE，BC．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=∠ACB=90∘，
∴AE⊥BD，
又 ∵AB=AD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴BE=EF=2，
∵ 在 Rt△ABE 中，tan∠ABE=AEBE=3，
∴AE=6，
∴AB=AE2+BE2=210，
∵C 是 AE 的中点，
∴AC=BC，
∴AC=BC，∠AEC=∠CAG，
∴ 在 Rt△ABC 中 AC=25，
∵∠ACG=∠ACE，
∴△ACG∽△ECA，
∴CGAC=ACCE，
∴CE⋅CG=AC2=20．
27. （1） 当 x=0 时 y=3，当 y=0 时 x=−4，
∴A−4,0，C0,3，
∵B 的横坐标是 94，
∴B94,0，
设抛物线的解析式为 y=ax+4x−94，
把 C0,3 代入得 a=−13，
∴y=−13x+4x−94=−13x2−712x+3．
（2） 如图 1，过 D 作 DH⊥AC 于 H，过 P 作 PQ⊥x 轴于 Q，
∵S△APD=12AP⋅DH，S△CPD=12CP⋅DH，
∴S△ADPS△CDP=APCP，
∵S△CPD=2S△APD，
∴APCP=12，
∵△PAQ∽△CAO，
∴APAC=PQOC=13，
∴PQ=1，
当 y=1 时 x=−83，
∴P−83,1．
（3） 如图 2，设 OD 与 AC 交于 G，
∵AM≤AG，CN≤CG，
∴AM+CN≤AG+CG=AC，
∴ 当 OD 与 AC 垂直时 AM+CN 的值最大，
∴OD 的解析式为 y=−43x，
由 y=−43x,y=−13x2−712x+3 得 x1=9−3738,y1=−3+732, x2=9+3738,y2=−3−732（舍去），
∴D9−3738,−3+732．
28. （1） 当 t=12 时，Q 在 AC 上，PC=32 cm，CQ=2 cm，
∴S△PCQ=12PC⋅CQ=32cm2．
（2） 1．当 Q 在 AC 上时 0 ∴ 在 Rt△PCQ 中 PQ=PC2+CQ2=19tcm．
∴⊙O 半径为 192t cm，
∴S=π192t2=194πt2cm2．
2．当 Q 在 AB 上时 12 ∴PC=3t cm，AQ=4t−2cm，如图 1，过 Q 作 QM，QN 分别垂直于 AC，BC，
则 △AMQ∽△QNB，
∵AQ=4t−2cm，
∴AM=2t−1cm，MQ=23t−3cm，
∴PN=3−3tcm，QN=3−2tcm，
∴S=π×143−3t2+3−2t2=74πt2−92πt+3πcm2．
（3） 在 Rt△ABC 中 AC=2 cm，AB=4 cm，
∴BC=23 cm，PB=23−3tcm，BQ=6−4tcm．
1．当 ⊙O 与 AC 相切，如图 2，

设切点为 D，OE=12PN=3−3t2DE=MQ=23t−3cm，
∴OD=33t−32 cm．
∵PQ=2OD，
∴PQ2=4OD2，
∴3−3t2+3−2t2=4×33t−322，
∴t1=3510，t2=−3510（舍去），
∴t=3510．
2．⊙O 与 BC 相切，如图 3，
则 QP⊥BC，
∴△ACB∽△QPB，
∴BPBC=BQAB，
∴23−3t23=6−4t4，
∴t=1．
3．⊙O 与 AB 相切，如图 4，
则 QP⊥AB，
∴△ACB∽△PQB，
∴BPAB=BQBC，
∴23−3t4=6−4t23，
∴t=65．