2019年江苏省苏州市昆山市中考二模数学试卷

这是一份2019年江苏省苏州市昆山市中考二模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −3 的相反数是
A. ±3B. 3C. −3D. 13

2. 据报道，人类首张黑洞照片于北京时间 2019 年 4 月 10 日子全球六地同步发布，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系 M87 的中心，距离地球 5500 万光年．其中 5500 万用科学记数法表示为
A. 55×106B. 5.5×106C. 0.55×108D. 5.5×107

3. 一组数据：2，4，6，4，8 的中位数和众数分别是
A. 6，4B. 4，4C. 6，8D. 4，6

4. 下列运算中，正确的是
A. a+a=2a2B. a2⋅a3=a6
C. −2a2=4a2D. a−12=a2+1

5. 若 xA. −13x>−13yB. 2x>2yC. x−1>y−1D. x2
6. 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，a∥b，∠2=∠3，若 ∠1=130∘，则 ∠4 等于
A. 50∘B. 60∘C. 65∘D. 75∘

7. 用“描点法”画二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象时，列了如下表格：
x⋯01234⋯y⋯−3−4−305⋯
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程 ax2+bx+c−5=0 的解为
A. x1=−2，x2=4B. x1=−1，x2=3C. x1=3，x2=4D. x1=−4，x2=4

8. 如图，⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 BC，AD，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 F，若 ∠D=65∘，则 ∠F 的度数等于
A. 30∘B. 35∘C. 40∘D. 45∘

9. 如图，平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A3,0，B−2,0，顶点 D 在 y 轴正半轴上，则点 C 的坐标为
A. −3,4B. −4,5C. −5,5D. −5,4

10. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，若 F 是 BC 的中点，且 ∠EDF=45∘，则 DE 的长为
A. 5310B. 210C. 35D. 1035

二、填空题（共8小题；共40分）
11. −22 的平方根是 ．

12. 因式分解：a3−ab2= ．

13. 函数 y=1−2xx 的自变量 x 的取值范围是 ．

14. 如图，一个正六边形转盘被分成 6 个全等三角形，任意转动这个转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是 ．

15. 如图，把 △ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 36∘ 得到 △ABʹCʹ，若 BʹCʹ 正好经过 B 点，则 ∠ABC= ．

16. 如图，在 4×5 的正方形网格中点 A，B，C 都在格点上，则 tan∠ABC= ．

17. 如图，直线 y=12x 与双曲线 y=kxk>0,x>0 交于点 A，将直线 y=12x 向上平移 4 个单位长度后，与 y 轴交于点 C，与双曲线 y=kxk>0,x>0 交于点 B．若 OA=3BC，则 k 的值为 ．

18. 已知关于 x 的方程 x2−4x+t−2=0（t 为实数）两非负实数根 a，b，则 a2−1b2−1 的最小值是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算 −22−∣−3+5∣+1−30．

20. 解不等式组 4x−7<5x−1,x−13≥12x−1, 并写出该不等式组的整数解．

21. 先化简再求值：a2−aa2−2a+1÷a+1−2a−1a−1，并从 0，1，3，2 四个数中，给 a 选取一个恰当的数进行求值．

22. 某校计划购买一批篮球和足球，已知购买 2 个篮球和 1 个足球共需 320 元，购买 3 个篮球和 2 个足球共需 540 元．
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种球共 50 个，用于此次购球的总资金不低于 5400 元，且不超过 5500 元，求本次购球方案．

23. 如图，等腰 Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90∘，点 D 为斜边 AB 上一点（不与 A，B 重合）连接 CD，将线段 CD 绕点 C 顺时针方向旋转 90∘ 至 CE，连接 AE．
（1）求证：△AEC≌△BDC；
（2）若 AD:BD=3:1，求 ∠AEC 的度数．

24. 如图所示，两个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，每个转盘被分成面积相等的三个扇形，其中 A 转盘分别标有数字 1，2，3，B 转盘分别标有 3，4，5．
（1）转动 A 转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指向扇形中的数字总是奇数的概率为 ．
（2）转动 A，B 两个转盘各一次，当转盘停止转动时，求两指针所指扇形中的数字之积为偶数的概率．（用画树状图或列表等方法求解）

25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x+b 经过点 A−1,0，与 y 轴正半轴交于 B 点，与反比例函数 y=kxx>0 交于点 C，且 BC=2AB，BD∥x 轴交反比例函数 y=kxx>0 于点 D，连接 AD．
（1）求 b，k 的值；
（2）求 △ABD 的面积；
（3）若 E 为线段 BC 上一点，过点 E 作 EF∥BD，交反比例函数 y=kxx>0 于点 F，且 EF=12BD，求点 F 的坐标．

26. 如图，AB 是 ⊙O 的直径 AC 是弦，∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D，DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E，连接 BD，OE，OE 交 AD 于点 F．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ACAB=35，求 AFDF 的值；
（3）在（2）的条件下，若 ⊙O 的直径为 10，求 BD 的长．

27. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=5，∠B=30∘，点 D 从点 B 出发沿 BA 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AC 方向以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点 D，E 运动的时间是 t 秒（t>0）．过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE，EF．
（1）则 DF= （用含 t 的代数式表示）；
（2）在运动过程中（点 E 不与点 C 重合），若过 C，E，F 三点的 ⊙O 与 AB 边相切时，求 t 的值；
（3）当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形?请说明理由．

28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 交 x 轴于点 A2,0，B−3,0，交 y 轴于点 C，且经过点 D−6,−6，连接 AD，BD．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）若点 M 为 X 轴上方的抛物线上一点，能否在点 A 左侧的 x 轴上找到另一点 N，使得 △AMN 与 △ABD 相似?若相似，请求出此时点 M 、点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点（不与 A，D 重合），过点 P 作 PQ∥y 轴交直线 AD 于点 Q，以 PQ 为直径作 ⊙E，则 ⊙E 在直线 AD 上所截得的线段长度的最大值等于 （直接写出答案）．
答案
第一部分
1. B【解析】−3 的相反数是 3．
2. D【解析】5500 万用科学记数法表示为 5.5×107．
3. B【解析】将数据按从小到大排列：2，4，4，6，8 其中数据 4 出现了 2 次，出现的次数最多，为众数；
4 处在第 3 位，4 为中位数．所以这组数据的众数是 4，中位数是 4．
4. C【解析】（A）原式=2a，故A错误；
（B）原式=a5，故B错误；
（D）原式=a2−2a+1，故D错误；
故选：C．
5. A
【解析】A、不等式的两边都乘以 −13，不等号的方向改变，故A符合题意；
B、不等式的两边乘以 2，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、不等式的两边都减 1，不等号的方向不变，故C不符合题意；
D、当 0y2，故D不符合题意；
故选：A．
6. C【解析】∵a∥b，∠1=130∘，
∴∠2+∠3=130∘，∠3=∠4，
∵∠2=∠3，
∴∠3=65∘，
∴∠4=65∘．
7. A【解析】由题意可知点 0,−3，1,−4，2,−3 在二次函数 y=ax2+bx+c 的图象上，
则 c=−3,a+b+c=−4,4a+2b+c=−3, 解得：a=1,b=−2,c=−3,
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c−5=0 可化为：x2−2x−3−5=0，
解得：x1=−2，x2=4．
8. C【解析】连接 OC，
∵CF 是 ⊙O 的切线，
∴∠OCF=90∘，
由圆周角定理得，∠ABC=∠D=65∘，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC=65∘，
∴∠BOC=180∘−65∘−65∘=50∘，
∴∠F=90∘−∠BOC=40∘．
9. D【解析】∵ 菱形的顶点 A3,0，B−2,0，
∴CD=AD=AB=5，OA=3，
∴OD=AD2−AO2=52−32=4．
∵AB∥CD，
∴ 点 C 的坐标为 −5,4，
故选：D．
10. B
【解析】延长 F 至 G，使 CG=AE，连接 DG，EF，如图所示：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB=BC=CD=6，∠A=∠B=∠DCF=∠ADC=90∘，
∴∠DCG=90∘，
在 △ADE 和 △CDG 中，
AE=CG,∠A=∠DCF=90∘,AD=CD,
∴△ADE≌△CDGSAS，
∴DE=DG，∠ADE=∠CDG，
∴∠EDG=∠CDE+∠CDG=∠CDE+∠ADE=90∘，
∵∠EDF=45∘，
∴∠GDF=45∘，
在 △EDF 和 △GDF 中，
DE=DG,∠EDF=∠GDF,DF=DF,
∴△EDF≌△GDFSAS，
∴EF=GF，
∵F 是 BC 的中点，
∴BF=CF=3，
设 AE=CG=x，则 EF=GF=x=3+x，
在 Rt△BEF 中，由勾股定理得：32+6−x2=3+x2，
解得：x=2，即 AE=2，
在 Rt△ADE 中，由勾股定理得：DE=AE2+AD2=22+62=210．
第二部分
11. ±2
【解析】−22=4，它的平方根为：±2．
12. aa+ba−b
【解析】a3−ab2=aa2−b2=aa+ba−b.
13. x≤12 且 x≠0
【解析】根据题意得 x≠0 且 1−2x≥0，
所以 x≤12 且 x≠0．
14. 23
【解析】设圆的面积为 6，
∵ 圆被分成 6 个相同扇形，
∴ 每个扇形的面积为 1，
∴ 阴影区域的面积为 4，
∴ 指针指向阴影区域的概率 46=23．
15. 72∘
【解析】∵ 把 △ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 36∘ 得到 △ABʹCʹ，
∴AB=ABʹ，∠ABC=∠Bʹ，∠BABʹ=36∘，
∴∠Bʹ=∠ABBʹ=72∘=∠ABC．
16. 12
【解析】过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，如图所示．
∵S△ABC=12AC⋅3=12AB⋅CE，即 12×2×3=12×32⋅CE，
∴CE=2．
在 Rt△BCE 中，BC=10，CE=2，
∴BE=BC2−CE2=22，
∴tan∠ABC=CEBE=12．
17. 92
【解析】分别过点 A，B 作 AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE 于点 F，
设 A3x,32x，
∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF=13OD，
∵ 点 B 在直线 y=12x+4 上，
∴Bx,12x+4，
∵ 点 A，B 在双曲线 y=kx 上，
∴3x⋅32x=x⋅12x+4，解得 x=1，
∴k=3×1×32×1=92．
18. −15
【解析】∵a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2−4x+t−2=0 的两个非负实根，
∴ 可得 a+b=4，ab=t−2≥0，Δ=16−4t−2≥0．
解 t−2≥0,16−4t−2≥0 得：2≤t≤6，
a2−1b2−1=ab2−a2+b2+1=ab2−a+b2+2ab+1，
∴a2−1b2−1=t−22−16+2t−2+1=t−12−16.
∵2≤t≤6，
∴ 当 t=2 时，t−12 取最小值，最小值为 1，
∴ 代数式 a2−1b2−1 的最小值是 1−16=−15．
第三部分
19. 原式=2−2+1=1.
20.
4x−7<5x−1,x−13≥12x−1.
解不等式组得：
−2所以，不等式组的整数解为 4，3，2，1，0，−1．
21. 原式=aa−1a−12÷a2−1−2a+1a−1=aa−1a−12×a−1aa−2=1a−2,
当 a=3 时，
原式=13−2=−3−2.
22. （1） 设每个篮球的售价为 x 元，每个足球的售价为 y 元，
依题意，得：
2x+y=320,3x+2y=540.
解得：
x=100,y=120.
答：每个篮球的售价为 100 元，每个足球的售价为 120 元．
（2） 设购进篮球 m 个，则购进足球 50−m 个，
依题意，得：
100m+12050−m≥5400,100m+12050−m≤5500.
解得：
25≤m≤30.∴
共有 6 种购球方案．
方案一：购买篮球 25 个、足球 25 个；
方案二：购买篮球 26 个、足球 24 个；
方案三：购买篮球 27 个、足球 23 个；
方案四：购买篮球 28 个、足球 22 个；
方案五：购买篮球 29 个、足球 21 个；
方案六：购买篮球 30 个、足球 20 个．
23. （1） ∵ 将线段 CD 绕点 C 顺时针方向旋转 90∘ 至 CE，
∴∠ACB=∠DCE=90∘，DC=CE，
∴∠BCD=∠ACE，而 BC=AC，
∴△ACE≌△BCDSAS．
（2） 连接 DE，
∵∠DCE=90∘，DC=CE，
∴∠DEC=45∘，
由（1）知 △ACE≌△BCD，
∴BD=AE，∠B=∠CAE=45∘，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=45∘+45∘=90∘，
∵AD:BD=3:1，
∴AD:AE=3:1，
∴tan∠AED=ADAE=3，
∴∠AED=60∘，
∴∠AEC=∠AED+∠DEC=60∘+45∘=105∘．
24. （1） 23
【解析】因为 A 转盘上只有数字 1，2，3，故转动 A 转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指向扇形中的数字总是奇数的概率为：23；故答案为：23．
（2） 画图如下：
一共有 9 种情况，其中两指针所指扇形中的数字之积为偶数的有 5 种情况，因此两指针所指扇形中的数字之积为偶数的概率是：59．
25. （1） ∵ 直线 y=2x+b 经过点 A−1,0，
∴−2+b=0，
∴b=2，
∴ 直线 AB 的解析式为 y=2x+2，
∴B0,2，
如图，过点 C 作 CG∥x 轴交 y 轴于 G，
∴△AOB∽△CGB，
∴OACG=OBBG=ABBC=12，
∴CG=2OA=2，BG=2OB=4，
∴OG=OB+BG=6，
∴C2,6，
∵ 点 C 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴k=2×6=12．
（2） ∵BD∥x 轴，且 B0,2，
∴D6,2，
∴BD=6，
∴S△ABC=12BD⋅OB=6．
（3） 由（2）知，BD=6，
∵EF=12BD，
∴EF=3，设 Em,2m+20 ∴F6m+1,2m+2，
∴EF=6m+1−m=3，
∴m=−2−7（舍）或 m=−2+7，
∴F7+1,−2+27．
26. （1） 连接 OD，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ADO，
∵∠EAD=∠BAD，
∴∠EAD=∠ADO，
∴OD∥AE，
∴∠AED+∠ODE=180∘，
∵DE⊥AC，即 ∠AED=90∘,，
∴∠ODE=90∘，
∴OD⊥DE，
∵OD 是圆的半径，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 OD，BC 交 OD 于 G，如图，
∵AB 为直径，
∴∠ACB=90∘，
又 ∵OD∥AE，
∴∠OGB=∠ACB=90∘，
∴OD⊥BC，
∴G 为 BC 的中点，即 BG=CG，
又 ∵ACAB=35，
∴ 设 AC=3k，AB=5k，根据勾股定理得：BC=AB2−AC2=4k，
∴OB=12AB=5k2，BG=12BC=2k，
∴OG=OB2−BG2=3k2，
∴DG=OD−OG=5k2−3k2=k，
又 ∵ 四边形 CEDG 为矩形，
∴CE=DG=k，
∴AE=AC+CE=3k+k=4k，
而 OD∥AE，
∴AFFD=AEOD=4k5k2=85．
（3） 连接 BD，
由（2）可知 AFDF=85，
设 AF=8k，DF=5k，
∵⊙O 的直径为 10，
∴AC=6，BC=8，
∴CE=2，
∴DG=2，
∴OG=3，
∴BG=4，
∴BD=BG2+DG2=25．
27. （1） t
【解析】在 △DFB 中，∠DFB=90∘，∠B=30∘，DB=2t，
∴DF=t．
（2） 设过 C，E，F 三点的 ⊙O 与 AB 边相切于 G，如图所示：
则 OG=12EF，OG⊥AB，
∵∠C=90∘，AC=5，∠B=30∘，
∴AB=2AC=10，BC=3AC=53，BF=3DF=3t，
∴CF=53−3t，
∵AE=t，
∴CE=5−t，
∴BFAE=CFCE=3，
∴EF∥AB，
∴∠CFE=∠B=30∘，
∴EF=2CE=25−t，
作 FH⊥AB，则 FH=OG=5−t，
在 Rt△BFH 中，∠B=30∘，
∴BF=2FH，
∴3t=25−t，
解得：t=20−103；
若过 C，E，F 三点的 ⊙O 与 AB 边相切时，t 的值为 20−103s．
（3） 当 t=52 s或4 s 时，△DEF 为直角三角形；理由如下：
① ∠EDF=90∘ 时，四边形 ECFD 为矩形，
在 Rt△AED 中，∠ADE=∠B=30∘，AC=5，
∴AB=10，AD=2AE，
即 10−2t=2t，
∴t=52s；
② ∠DEF=90∘ 时，
∵AC⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∵AE=DF=t，
∴ 四边形 AEFD 为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90∘，
∵∠A=90∘−∠B=60∘，
∴AD=AE⋅cs60∘，
即 10−2t=12t，
∴t=4；
③ ∠EFD=90∘ 时，
∵DF⊥BC，
∴ 点 E 运动到点 C 处，用了 AC÷1=5（秒），
同时点 D 也运动 5 秒钟，点 D 就和点 A 重合，则点 F 也就和点 C 重合，点 D，E，F 不能构成三角形．
∴ 此种情况不存在；
综上所述，当 t=52 s或4 s 时，△DEF 为直角三角形．
28. （1） 用交点式函数表达式得：y=ax−2x+3，
将点 D 坐标代入上式并解得：a=−14，
故函数的表达式为：y=−14x2−14x+32, ⋯⋯①
则点 C0,32．
（2） 由题意得：AB=5，AD=10，BD=35．
① ∠MAN=∠ABD 时，
（Ⅰ）当 △ANM∽△ABD 时，
直线 AD 所在直线的 k 值为 34，则直线 AM 表达式中的 k 值为 −34，
则直线 AM 的表达式为：y=−34x−2，故点 M0,32，
ADAM=ABAN，则 AN=54，则点 N34,0；
（Ⅱ）当 △AMN∽△ABD 时，
同理可得：点 N−3,0，点 M0,32，
故点 M0,32 、点 N34,0 或点 M0,32，N−3,0；
② ∠MAN=∠BDA 时，
（Ⅰ）△ABD∽△NMA 时，
∵AD∥MN，则 tan∠MAN=tan∠BDA=12，
AM:y=−12x−2，则点 M−1,32 、点 N−3,0；
（Ⅱ）当 △ABD∽△MNA 时，
ADAM=BDAN，即 10352=35AN，解得：AN=94，
故点 N−14,0，M−1,32；
故：点 M−1,32 、点 N−3,0 或 N−14,0，M−1,32．
综上，点 M0,32 、点 N34,0 或点 M0,32，N−3,0 或点 M−1,32 、点 N−3,0 或 N−14,0，M−1,32；
（3） 125
【解析】如图所示，连接 PH，
由题意得：tan∠PQH=43，则 cs∠PQH=35，
则直线 AD 的表达式为：y=34x−32，
设点 Px,−14x2−14x+32，则点 Qx,34x−32，
则
QH=PHcs∠PQH=35PQ=35−14x2−14x+32−34x+32=−320x2−35x+95,
∵−320<0，故 QH 有最大值，当 x=−2 时，其最大值为 125．