2018-2019学年天津市河北区扶轮中学九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年天津市河北区扶轮中学九上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 在某个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是 83.3%，下列说法错误的是
A. 科比罚球投篮 2 次，一定全部命中
B. 科比罚球投篮 2 次，不一定全部命中
C. 科比罚球投篮 1 次，命中的可能性较大
D. 科比罚球投篮 1 次，不命中的可能性较小

3. 如图，在 △ABC 中，已知 ∠ADE=∠B，则下列等式成立的
A. ADAB=AEACB. AEBC=ADBDC. DEBC=AEABD. DEBC=ADAC

4. 把抛物线 y=−x2 先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线的表达式是
A. y=−x+12+2B. y=−x+12−2
C. y=−x+12−2D. y=x+12−2

5. 若点 Aa,b 在反比例函数 y=9xx>0 的图象上，则 a+b 的最小值是
A. 3B. 4C. 6D. 9

6. 在平面直角坐标系中，△ABC 顶点 A2,3．若以原点 O 为位似中心，画三角形 ABC 的位似图形 △AʹBʹCʹ，使 △ABC 与 △AʹBʹCʹ 的相似比为 23，则 Aʹ 的坐标为
A. 3,92B. 43,6
C. 3,92 或 −3,−92D. 43,6 或 −43,−6

7. 若抛物线 y=x−m2+m+1 的顶点在第一象限，则 m 的取值范围为
A. m>1B. m>0C. m>−1D. −1
8. 如图，如果 ∠BAD=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定 △ABC∽△ADE 的是
A. ∠B=∠DB. ∠C=∠AEDC. ABAD=DEBCD. ABAD=ACAE

9. 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为
A. 3:2:1B. 1:2:3C. 2:3:1D. 3:1:2

10. 点 Ma,2a 在反比例函数 y=8x 的图象上，那么 a 的值是
A. 4B. −4C. 2D. ±2

11. 二次函数 y=x−42+3 的最小值是
A. 2B. 3C. 4D. 5

12. 已知二次函数 y=x2−x+14m−1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是
A. m≤5B. m≥2C. m<5D. m>2

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 如图，两弦 AB，CD 相交于点 E，且 AB⊥CD，若 ∠B=60∘，则 ∠A 等于 度．

14. 已知 y 与 x−1 成反比例，且当 x=2 时，y=3，则 y 与 x 的函数关系为 ．

15. 如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m，n 与直线 a，b，c 分别交于点 A，C，E，B，D，F，若 AC=4，CE=6，BD=3，则 DF 的值是 ．

16. 从甲、乙、丙、丁 4 名学生中随机抽取 2 名学生担任数学小组长，则抽取到甲和乙概率为 ．

17. 已知 a+b=5，ab=3，则 a2+b2= ．

18. 如图，线段 AB=4，M 为 AB 的中点，动点 P 到点 M 的距离是 1，连接 PB，线段 PB 绕点 P 逆时针旋转 90∘ 得到线段 PC，连接 AC，则线段 AC 长度的最大值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知 x=0 是一元二次方程 m−2x2+3x+m2−2=0 的一个根，求 m 的值．

20. 如图，在 ⊙O 中，圆周角 ∠ACB=40∘，点 D 是 AB 的中点，求 ∠DOB 的度数．

21. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，∠B=60∘，CD 是 ⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且 AP=AC．
（1）求证：PA 是 ⊙O 的切线．
（2）若 AB=4+3，BC=23，求 ⊙O 的半径．

22. 某商场一种商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元，每天可以销售 48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品售价连续两次下调相同的百分率后降至每件 32.4 元，求每次下降的百分率．
（2）经调查，若该商品每降价 0.5 元，每天可多销售 4 件，那么每天要想获利 510 元的利润且尽快减少库存，每样应降价多少元?

23. 童装店销售某款童装，每件售价为 60 元，每星期可卖 100 件，为了促销该店决定降价销售，经市场调查发现：每降价 1 元，每星期可多卖 10 件，已知该款童装每件成本 30 元，设降价后该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件．
（1）降价后，当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的 3 倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?
（2）当每件售价定为多少元时，一星期的销售利润最大，最大利润是多少?

24. 如图，已知长方形 ABCD 中，AB=a，BC=b，正方形 AEPN 是由长方形 ABCD 经过图形的运动形成的，其中长方形 GBEF 是由长方形 ABCD 绕着 B 点顺时针旋转 90∘ 得到的，长方形 HMND 是由将长方形 ABCD 绕着 D 点逆时针旋转 90∘ 得到的，长方形 QFPM 是长方形 ABCD 经过平移得到的．
（1）长方形 QFPM 是由长方形 ABCD 经过怎样平移得到的?
（2）用含 a，b 的代数式分别表示正方形 HCGQ 的面积．
（3）连接 DP，交 HM 于点 O，用 a，b 的代数式分别表示 OM．

25. 已知二次函数 y=mx2−2mx+n 的图象经过 0,−3．
（1）n= ．
（2）若二次函数 y=mx2−2mx+n 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 m 值．
（3）若二次函数 y=mx2−2mx+n 的图象与平行于 x 轴的直线 y=5 的一个交点的横坐标为 4，则另一个交点的坐标为 ．
（4）如图，二次函数 y=mx2−2mx+n 的图象经过点 A3,0，连接 AC，点 P 是抛物线位于线段 AC 下方图象上的任意一点，求 △PAC 面积的最大值．
答案
第一部分
1. A
2. A【解析】科比罚球投篮的命中率大约是 83.3%，
科比罚球投篮 2 次，不一定全部命中，A选项错误、B选项正确；
科比罚球投篮 1 次，命中的可能性较大、不命中的可能性较小，C，D选项说法正确．
3. A【解析】∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，
∴△AED∽△ACB，
∴AEAC=ADAB．
4. B【解析】依题意可知，原抛物线顶点坐标为 0,0，平移后抛物线顶点坐标为 −1,−2，所以所得抛物线解析式为：y=−x+12−2．
故选B．
5. C
【解析】对于任意正实数 a，b，
∵a−b2≥0，
∴a+b−2ab≥0，
∴a+b−2ab≥0，
∴a+b≥2ab，当 a=b 时，等号成立，
又 ∵ 点 Aa,b 在反比例函数 y=9xx>0 的图象上，
∴ab=9，
∴a+b 的最小值为 29=6．
6. C
7. B【解析】抛物线的顶点坐标为 m,m+1，
∵ 抛物线 的顶点在第一象限，
∴ m>0，m+1>0，
故 m>0．
8. C
9. B【解析】如图，⊙O 为 △ABC 的内切圆，设 ⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AH 平分 ∠BAC，即 ∠BAH=30∘，
∴ 点 O 在 AH 上，
∴OH=r，
连接 OB，
∵⊙O 为 △ABC 的内切圆，
∴∠ABO=∠CBO=30∘，
∴OA=OB，
在 Rt△OBH 中，OB=2OH=2r，
∴AH=2r+r=3r，
∴OH:OA:AH=1:2:3，
即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 1:2:3．
10. D
【解析】∵ 点 Ma,2a 在反比例函数 y=8x 的图象上．
∴2a=8a．
∴ 解得：a=±2，
11. B【解析】二次函数 a>0，开口向上，当 x=4 时有最小值 3．
12. A【解析】由二次函数 y=x2−x+14m−1 的图象与 x 轴有交点，
得关于 x 的一元二次方程 x2−x+14m−1=0 有实数根，
∴b2−4ac=−12−4×1×14m−1=5−m≥0，
解得 m≤5．
第二部分
13. 30
【解析】∵∠B=60∘，
∴∠C=∠B=60∘，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90∘，
∴∠A=30∘．
14. y=3x−1
【解析】设 y=kx−1，根据题意得：3=k2−1，
解得：k=3，即函数解析式是 y=3x−1．
15. 4.5
【解析】∵ 直线 a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，
∴ACCE=BDDF，即 46=3DF，解得 DF=4.5．
16. 16
17. 19
【解析】把 a+b=5 两边平方，
可得：a2+2ab+b2=25，
把 ab=3 代入得：a2+b2=25−6=19，
18. 32
【解析】如图所示：
过点 C 作 CD⊥y 轴，垂足为 D，过点 P 作 PE⊥DC，垂足为 E，延长 EP 交 x 轴于点 F，
∵AB=4，O 为 AB 的中点，
∴A−2,0，B2,0，
设点 P 的坐标为 x,y，则 x2+y2=1，
∵∠EPC+∠BPF=90∘，∠EPC+∠ECP=90∘，
∴∠ECP=∠FPB，
由旋转的性质可知：PC=PB，
在 △ECP 和 △FPB 中，
∠ECP=∠FPB,∠PEC=∠PFB,PC=PB,
∴△ECP≌△FPB．
∴EC=PF=y，FB=EP=2−x，
∴Cx+y,y+2−x，
∵AB=4，O 为 AB 的中点，
∴AC=x+y+22+y+2−x2−2x2+2y2+8y+8，
∵x2+y2=1，
∴AC=10+8y，
∵−1≤y≤1，
∴ 当 y=1 时，AC 有最大值，AC 的最大值为 18=32．
第三部分
19. 当 x=0 时，m2−2=0，
解得 m1=2，m2=−2．
∵m−2≠0，
∴m=−2．
20. 连接 OA．
∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=40∘，
∴∠AOB=80∘，
∵AD=BD，
∴∠DOB=∠AOD=12∠AOB=40∘．
21. （1） 连接 OA．
∵∠B=60∘，
∴∠AOC=2∠B=120∘，
又 ∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30∘，
又 ∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30∘，
∴∠OAP=∠AOC−∠P=90∘，
∴OA⊥PA．
又 ∵ 点 A 在 ⊙O 上，
∴PA 是 ⊙O 的切线．
（2） 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，
在 Rt△BCE 中，∠B=60∘，BC=23，
∴BE=12BC=3，CE=3，
∵AB=4+3，
∴AE=AB−BE=4．
∴ 在 Rt△ACE 中，AC=AE2+CE2=5．
∴AP=AC=5．
∴ 在 Rt△PAO 中，OA=533．
∴⊙O 的半径为 533．
22. （1） 设每次降价的百分率为 x．
40×1−x2=% 或 190%190% 不符合题意,舍去.
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，两次下降的百分率为 10%．
（2） 设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，
由题意，得：
40−30−y4×y0.5+48=510.
解得：
y1=1.5,y2=2.5.∵
有利于减少库存，
∴y=2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．
23. （1） 根据题意得，
60−x×10+100=3×100.
解得：
x=40.60−40=20
元，
答：这一星期中每件童装降价 20 元．
（2） 设利润为 w，根据题意得，
w=x−3060−x×10+100=−10x2+1000x−21000=−10x−502+4000.
答：每件售价定为 50 元时，一星期的销售利润最大，最大利润 4000 元．
24. （1） 长方形 QFPM 是由长方形 ABCD 先向上平移 a 个单位，再向右平移 b 个单位得到的．
（2） S正方形HCGQ=a−b2．
（3） ∵PN∥CD，
∴△PMO∽△DHO，
∴PMDH=OMOH，即 ab=OMa−OM，
∴OM=a2a+b．
25. （1） −3
【解析】∵ 二次函数 y=mx2−2mx+n 的图象经过 0,−3，
∴n=−3．
（2） ∵ 二次函数 y=mx2−2mx−3 的图象与 x 轴有且只有一个交点，
∴Δ=−2m2−4×−3m=4m2+12m=0，
解得：m1=0，m2=−3，
∵m≠0，
∴m=−3．
（3） −2,5
【解析】∵ 二次函数解析式为 y=mx2−2mx−3，
∴ 二次函数图象的对称轴为直线 x=−−2m2m=1，
∵ 该二次函数图象与平行于 x 轴的直线 y=5 的一个交点的横坐标为 4，
∴ 另一个交点的横坐标为 1×2−4=−2，
∴ 另一个交点的坐标为 −2,5．
（4） ∵ 二次函数 y=mx2−2mx−3 的图象经过点 A3,0，
∴0=9m−6m−3，
∴m=1，
∴ 二次函数解析式为 y=x2−2x−3，
设直线 AC 的解析式为 y=kx+bk≠0，
将 A3,0，C0,−3 代入 y=kx+b，
得：3k+b=0,b=−3, 解得：k=1,b=−3,
∴ 直线 AC 的解析式为 y=x−3，
过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，交 AC 于点 Q，如图所示，
设点 P 的坐标为 a,a2−2a−3，则点 Q 的坐标为 a,a−3，点 D 的坐标为 a,0，
∴PQ=a−3−a2−2a−3=3a−a2，
∴S△ACP=S△APQ+S△CPQ=12PQ⋅OD+12PQ⋅AD=−32a2+92a=−32a−322+278,
当 a=32 时，△PAC 的面积取最大值，最大值为 278．