2019-2020学年广东省广州市增城市九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省广州市增城市九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，若 AB=12，点 O 到 AB 的距离是 8，则 ⊙O 的半径是
A. 7B. 8C. 9D. 10

3. 方程 x2=x 的解是
A. x=1B. x=0C. x1=1，x2=0D. x1=−1，x2=1

4. 平面内，⊙O 的半径为 5 cm，OP=8 cm，过点 P 可作 ⊙O 的切线条数为
A. 0 条B. 1 条C. 2 条D. 3 条

5. 在 10 件外观相同的产品中有 3 件不合格，现从中随机抽取 1 件进行检测，抽到合格产品的概率为
A. 110B. 15C. 310D. 710

6. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是
A. x2−3x+1=0B. x2+1=0C. x2−2x+1=0D. x2+2x+3=0

7. 关于抛物线 y=x−12−2，下列说法中错误的是
A. 开口方向向上
B. 对称轴是直线 x=1
C. 当 x>1 时，y 随 x 的增大而减小
D. 顶点坐标为 1,−2

8. 如图，AC 与 BD 相交于点 O，AB∥CD，OA=2CO，则 AB:CD=
A. 2:1B. 1:2C. 3:1D. 1:3

9. 已知 A−1,y1，B1,y2 是函数 y=−2x 图象上的两点，则 y1 与 y2 的大小关系是
A. y1>y2B. y1
10. 如图，点 E 在正方形 ABCD 中 BC 边上，把 △ABE 旋转到 △ADF 的位置，若 BE=3，AB=4，则 BF=
A. 5B. 32C. 42D. 52

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 抛物线 y=x2−1 的顶点坐标是 ．

12. 若 1 和 3 是方程 x2+mx+n=0 的两根，则 m⋅n= ．

13. 已知点 P−2,3 在反比例函数 y=kxk≠0 的图象上，则 k 的值是 ．

14. 如图，圆锥的底面圆半径是 2，母线长是 5，则此圆锥的侧面积等于 ．

15. 如图，点 P2,4 绕点 O 旋转 90∘ 得到点 Pʹ，则点 Pʹ 的坐标是 ．

16. 如图，已知点 P4,m 在抛物线 y=x2−2x−3 上，则当 y>m 时，则 x 的取值范围是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2−2x−3=0．

18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B3,−1，C2,1．
（1）在 y 轴的左侧，以点 O 为位似中心，画出 △OBʹCʹ，使它与 △OBC 的相似比为 2:1．
（2）分别写出点 Bʹ，Cʹ 的坐标．

19. 如图，AC 是 ⊙O 的直径，点 D 在 ⊙O 上，过点 D 的直线 BD 与 AC 的延长线交于点 B，AE⊥BD，垂足为点 E，AD 平分 ∠BAE．
求证：BD 是 ⊙O 的切线．

20. 在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外都相同，其中红色卡片 2 张，黄色卡片 1 张，蓝色卡片 1 张．
（1）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再抽取一张，请用树状图或列表法，求两次抽到的都是红色卡片的概率．
（2）若在箱子中增加 m 张蓝色卡片，使从中任意抽取一张是红色卡片的概率为 14，求 m 的值．

21. 如图，一次函数 y1=kx+b 的图象与反比例函数 y2=mx 的图象交于点 A−2,1，B1,n．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求 △AOB 的面积．
（3）根据图象，写出 y1≥y2 时，x 的取值范围．

22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=3，BC=5．
（1）尺规作图：作 ∠ABC 的平分线 BF，分别与 AC，AD 交于点 E，F．
（2）求 AEEC 的值．

23. 某商场在销售中发现：某品牌运动鞋平均毎天可售出 20 双，每双盈利 40 元，若毎双鞋降价 1 元，则每天可多售出 2 双．
（1）要想扩大销售量且平均每天销售盈利 1200 元，问每双运动鞋应降价多少元?
（2）当每双鞋降价多少元时，每天可获得最大利润?最大利润是多少元?

24. 如图 1，在 ⊙O 中，AB 为 ⊙O 的直径，AC 是弦，OC=4，∠OAC=60∘．
（1）求 ∠AOC 的度数．
（2）如图 1 中，点 P 为直径 BC 延长线上的一点，当 PC 与 ⊙O 相切时，求 PC 的长．
（3）如图 2，一动点 M 从 A 点出发，在 ⊙O 上按逆时针方向运动，当 S△MAO=S△CAO 时，求动点 M 所经过的弧长．

25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A−1,0，B4,0，交 y 轴于点 C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知点 D 在 y 轴右侧的抛物线上，且 S△ABD=152，请直接写出点 D 的坐标．
（3）将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45∘ 后得到 BE，与抛物线交于另一点 E，求线段 BE 的长．
答案
第一部分
1. B
2. D【解析】过 O 作 OC⊥AB 于 C，连接 OA，
则 ∠OCA=90∘，
∵ 点 O 到 AB 的距离是 8，
∴OC=8，
∵AB=12，
∴AC=12AB=6，
∴OA=OC2+AC2=82+62=10．
3. C【解析】x2=x，
x2−x=0，
x−1x=0，
x1=1，x2=0．
4. C【解析】OP=8 cm>5 cm，
∴ 点 P 在圆 O 外，
∴ 过圆外的点 P 可作圆 O 的切线为 2 条．
故选C．
5. D
【解析】在 10 件外观相同的产品中有 3 件不合格，
则合格的产品有 7 件，
现从中随机抽取 1 件进行检测，
抽到合格产品的概率为：710．
6. A【解析】A.这里 a=1，b=−3，c=1，
∵Δ=b2−4ac=5>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根，
本选项符合题意．
B.这里 a=1，b=0，c=1，
∵Δ=b2−4ac=−4<0，
∴ 方程没有实数根，
本选项不合题意．
C.这里 a=1，b=−2，c=1,
∵Δ=b2−4ac=0，
∴ 方程有两个相等的实数根，
本选项不合题意．
D.这里 a=1，b=2，c=3，
∵Δ=b2−4ac=−5<0，
∴ 方程没有实数根，
本选项不合题意．
7. C
8. A【解析】因为 AB∥CD，
所以 AB:CD=OA:CO=2CO:CO=2:1．
9. A【解析】当 x=−1 时，y1=−2−1=2，
当 x=1 时，y2=−21=−2．
∵2>−2，
∴y1>y2．
10. D
【解析】∵ABCD 为正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵ 把 △ABE 旋转到 △ADF 的位置，
∴DF=BE=3，
∴CE=BC−BE=4−3=1，CF=CD+DF=4+3=7，
∵∠C=90∘，
∴EF2=CE2+CF2，
∴EF2=12+72=1+49=50，
∴EF=52．
第二部分
11. 0,−1
12. −12
【解析】由韦达定理，
x1+x2=1+3=−m，m=−4，
x1⋅x2=1⋅3=n，
n=3，
m⋅n=−12．
13. −6
【解析】把 P−2,3 代入 y=kx，得 3=k−2，
∴k=−6．
14. 10π
【解析】圆锥的侧面积为：πrl=π⋅2×5=10π．
15. −4,2 或 4,−2
【解析】如图，若 P 绕点 O 逆时针旋转则 Pʹ 位于第二象限过 P 点作 y 轴作垂线，垂足为 M，过 Pʹ 点往 y 轴作垂线，垂足为 H，
由旋转得：OP=OPʹ，∠PʹOP=90∘，
所以 ∠PʹON=∠MPO=90∘−∠MOP，
所以 △PʹON≌△DPM，
所以 ON=MP，NPʹ=OM，
所以 Pʹ−4,2，
同理可得：P 绕 D 点顺时针旋转 90∘，则 Pʹ 位于第四象限，易得 Pʹ4,−2，故 Pʹ 坐标为 −4,2 或 4,−2．
16. x>4 或 x<−2
【解析】当 x=4 时，m=42−8−3=5，
对称轴为 x=1，
故当 x=−2 时，y=5，
由图象知：y>m 时，x>4 或 x<−2．
第三部分
17. 方法一：
x2−2x−3=0.x2−2x=3.x2−2x+12=3+12.∴x−12=4.x−1=±4.x−1=±2.x=±2+1.∴x1=2+1=3.x2=−2+1=−1.∴
方程的解为
x1=3,x2=−1.
【解析】方法二：
原方程可以变形为 x−3x+1=0，
x−3=0，x+1=0，
∴x1=3，x2=−1．
18. （1）
（2） Bʹ−6,2，Cʹ−4,−2．
19. 连接 OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD 平分 ∠BAE，
∴∠EAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴∠AED=∠ODB，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90∘，
∴∠ODB=90∘，
∴OD⊥BD，
∵OD 为 ⊙O 的半径，
∴BD 是 ⊙O 的切线．
20. （1） 用树状图表示如下：
共有 12 种可能情况，其中两次抽到的都是红色卡片的情况有 2 种，故概率为 212=16．
（2） 根据题意，可得：22+1+1+m=14，
解得：m=4．
21. （1） 将 A−2,1 代入 y=mx，得 1=m−2，
∵m=−2，
∴y2=−2x，代入 B1,n，得 n=−21=−2，
∴B1,−2，将 A−2,1BC1,−2 代入 y1=kx+b，
得 −2k+b=1,k+b=−2,
∴k=−1,b=−1,
∴y1=−x−1．
（2） 设 y1 与 y 轴交于点 C，
则 C0,−1，
∴S△OAB=S△OAC+S△DBC=12×1×2+12×1×1=1+12=32.
（3） 由图象可知 y1≥y2，则 x≤−2 或 022. （1） 在 AD 上取一点 F，使 AB=AF，连接 BF．
则 BF 即为 ∠ABC 的角平分线，
∵∠AFB=∠ABF，
又 ∵∠AFB=∠CBF，
∴∠ABF=∠CBF．
（2） 由题意得：AB=3，BC=5，
∴AF=3，
∵△AEF∽△CEB，
∴AEEC=AFCB=35．
故答案为 35．
23. （1） 设每双运动鞋应降价 x 元，
根据题意，得 40−x20+2x=1200，
解得 x1=20，x2=10，
∵ 要扩大销量，减少库存，
∴ 每双运动鞋应降价 20 元．
（2） 设每天该款运动鞋的销售利润为 y 元，
则 y=40−x20+2x=−2x2+60x+800
=−2x−152+1250，
∴ 当每双运动鞋降价 15 元时，能获最大利润，最大利润为 1250 元．
24. （1） ∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=60∘，
∴∠AOC=60∘．
（2） ∵PC 是 ⊙O 的切线，
∴∠PCO=90∘，
∴∠PCA=∠PCO−∠ACO=30∘，
∴∠P=∠OCA−∠PCA=30∘，
∴PC=3OC=43．
（3） ∵S△MOA=S△CAO，
∴ 点 M 到 OA 的距离与点 C 到 OA 的距离相等，
∴ 当 ∠AOM=60∘ 或 120∘ 时，S△MOA=S△CAO，
∴ 点 M 所经过的弧长为 60π×4180=4π3，
120π×4180=8π3，
240π×4180=16π3，
300π×4180=20π3．
∴ 动点 M 所经过的弧长为 4π3 或 8π3 或 16π3 或 20π3．
25. （1） 将 A−1,0，B4,0 代入抛物线，
得 a−b+2=0,16a+4b+2=0, 解得 a=−12,b=32,
∴ 抛物线解析式为：y=−12x2+32x+2．
（2） 1,3 或 2,3 或 5,−3．
【解析】设 D 点坐标为 x,yx>0，
∵A−1,0，B4,0，
∴AB=4−−1=5，
∴S△ABD=12⋅AB⋅y=52y=152，
∴y=±3．
当 y=3 时，−12x2+32x+2=3，解得 x=1 或 2，
∴ 点 D 坐标为 1,3 或 2,3；
当 y=−3 时，−12x2+32x+2=−3，解得 x=5 或 −2（舍去），
∴ 点 D 坐标为 5,−3．
综上所述，点 D 坐标为 1,3 或 2,3 或 5,−3．
（3） 如图，过点 C 作 CF⊥BC，交 BE 于点 F，
过点 F 作 FH⊥y 轴，垂足为点 H，
根据题意可知 ∠CBF=45∘，
∴CF=CB，
∵∠BCF=90∘，∠FGC=90∘，
∴∠HCF+∠BCO=90∘，∠HCF+∠HFC=90∘，
∴∠HFC=∠BCO，
∴ 在 △CHF 和 △BOC 中，
∠CHF=∠COB=90∘,∠HFC=∠BCO,FC=CB,
∴△CHF≌△BOCAAS，
∴HF=OC=2，HC=BO=4，
∴ 点 F 的坐标为 2,6，
设 BE 所在直线解析式为：y=kx+b，
将 B4,0，F2,6 代入，
得 4k+b=0,2k+b=6, 解得 k=−3,b=12,
∴BE 所在直线 lBE:y=−3x+12，
联立抛物线和直线 lBE 解析式，
得 y=−3x+12,y=−12x2+32x+2, 解得 x=5,y=−3 或 x=4,y=0,
∴ 点 E 坐标为 5,−3，
∴BE=5−42+−3−02=10．