2019-2020学年广东省广州市番禺区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省广州市番禺区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 一元二次方程 x2−2x−1=0 的根是
A. x1=1，x2=2B. x1=−1，x2=−2
C. x1=1+2，x2=1−2D. x1=1+3，x2=1−3

2. 下列图形是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，∠BOC=100∘，则 ∠A 的度数为
A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘

4. 抛物线 y=x2−2x+3 的顶点坐标是
A. 1,3B. −1,3C. 1,2D. −1,2

5. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A6,6，B8,2，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 12 后得到线段 CD，则线段 CD 的长为
A. 2B. 3C. 3D. 5

6. 若一元二次方程 kx2−3x−94=0 有实数根，则实数 k 的取值范围是
A. k=−1B. k≥−1 且 k≠0
C. k>−1 且 k≠0D. k≤−1 且 k≠0

7. 一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是 −2，−1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是
A. 14B. 13C. 12D. 34

8. 如图，在 ⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于 D，连接 BE，若 AB=27，CD=1，则 BE 的长是
A. 5B. 6C. 7D. 8

9. 若点 A−1,0 为抛物线 y=−3x−12+c 图象上一点，则当 y≥0 时，x 的取值范围是
A. −13
C. −1≤x≤3D. x≤−1 或 x≥3

10. 如图，Rt△ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90∘，将 △ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 PQ，则 △PQD 的面积为
A. 11313B. 152C. 1237D. 7511

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 方程 x−1x−3=0 的解为 ．

12. 点 A−2,3 关于原点对称的点的坐标是 ．

13. 如图，已知 ⊙O 的半径是 2，点 A，B，C 在 ⊙O 上，若四边形 OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为 ．

14. 将抛物线 y=x2 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析式 ．

15. 若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 ．

16. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转至矩形 ABʹCʹDʹ 位置，此时 AʹCʹ 的中点恰好与 D 点重合，ABʹ 交 CD 于点 E，若 AB=3 cm，则线段 EBʹ 的长为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：
（1）解方程：xx−3=x−3；
（2）用配方法解方程：x2−10x+6=0；

18. 如图网格图中，每个小正方形的边长均为 1 个单位，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4．
（1）试在图中作出 △ABC 以 A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转 90∘ 后的图形 △AB1C1；
（2）若点 B 的坐标为 −3,5，试在图中画出直角坐标系，并直接写出 A，C 两点的坐标；
（3）根据（2）的坐标系作出与 △ABC 关于原点对称的图形 △A2B2C2，并直接写出点 A2，B2，C2 的坐标．

19. 画出抛物线 y=−12x−12+5 的图象（要求列表，描点），回答下列问题：
（1）写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）当 y 随 x 的增大而增大时，写出 x 的取值范围；
（3）若抛物线与 x 轴的左交点 x1,0 满足 n≤x1≤n+1，（n 为整数），试写出 n 的值．

20. 如图，已知 ⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，且 ∠C=90∘，AB=13，BC=12．
（1）求 BF 的长；
（2）求 ⊙O 的半径 r．

21. 端午节是我国传统佳节，互赠粽子是端午节的一种习俗．小唐买了 4 个粽子（除粽馅不同外，其它均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，他从中随机拿出两个送给同学小何．
（1）请用树状图或列表的方法列出小何得到的两个粽子的所有可能结果；
（2）计算小何得到的两个粽子都是肉馅粽子的概率．

22. 如图，点 E，F，G，H 分别位于边长为 a 的正方形 ABCD 的四条边上，四边形 EFGH 也是正方形，AG=x，正方形 EFGH 的面积为 y．
（1）当 a=2，y=3 时，求 x 的值；
（2）当 x 为何值时，y 的值最小?最小值是多少?

23. 如图，在 △ABC 中，点 O 在边 AC 上，⊙O 与 △ABC 的边 BC，AB 分别相切于 C，D 两点，与边 AC 交于 E 点，弦 CF 与 AB 平行，与 DO 的延长线交于 M 点．
（1）求证：点 M 是 CF 的中点；
（2）若 E 是 DF 的中点，BC=a，
①求 DF 的弧长；
②求 AEOE 的值．

24. 在 △ABC 中，P 为边 AB 上一点．
（1）如图 1，若 ∠ACP=∠B，求证：AC2=AP⋅AB；
（2）若 M 为 CP 的中点，AC=2．
①如图 2，若 ∠PBM=∠ACP，AB=3，求 BP 的长；
②如图 3，若 ∠ABC=45∘，∠A=∠BMP=60∘，直接写出 BP 的长．

25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=14x2+kx+c 的图象经过点 C0,1，当 x=2 时，函数有最小值．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线 l⊥y 轴，垂足坐标为 0,−1，抛物线的对称轴与直线 l 交于点 A．在 x 轴上有一点 B，且 AB=2，试在直线 l 上求异于点 A 的一点 Q，使点 Q 在 △ABC 的外接圆上；
（3）点 Pa,b 为抛物线上一动点，点 M 为坐标系中一定点，若点 P 到直线 l 的距离始终等于线段 PM 的长，求定点 M 的坐标．
答案
第一部分
1. C【解析】∵a=1，b=−2，c=−1，
∴Δ=−22−4×1×−1=8>0，
则 x=2±222=1±2，
即 x1=1+2，x2=1−2．
2. B
3. B【解析】∵⊙O 是 △ABC 的外接圆，∠BOC=100∘，
∴∠A=12∠BOC=50∘．
4. C【解析】∵y=x2−2x+3=x−12+2，
∴ 顶点坐标为 1,2．
5. D
【解析】∵A6,6，B8,2，
∴AB=42+22=25，
∵ 以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 12 后得到线段 CD，
∴ 线段 CD 的长为：12×25=5．
故选：D．
6. B【解析】由题意可知：Δ=9+9k≥0，
∴k≥−1，
∵k≠0，
∴k≥−1 且 k≠0，
故选：B．
7. B【解析】画树状图如下：
由树状图可知共有 12 种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有 4 种，
所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为 412=13．
8. B【解析】∵ 半径 OC 垂直于弦 AB，
∴AD=DB=12AB=7，
在 Rt△AOD 中，OA2=OC−CD2+AD2，即 OA2=OA−12+72，
解得，OA=4，
∴OD=OC−CD=3，
∵AO=OE，AD=DB，
∴BE=2OD=6．
9. C【解析】∵ 点 A−1,0 为抛物线 y=−3x−12+c 图象上一点，
∴0=−3−1−12+c，得 c=12，
∴y=−3x−12+12，
当 y=0 时，x1=−1，x2=3，
∴ 当 y≥0 时，x 的取值范围是 −1≤x≤3，
故选：C．
10. D
【解析】过点 D 作 DN⊥AC 于 N．
∵ 点 D 是 BC 中点，
∴BD=3，
∵ 将 △ABC 折叠，
∴AQ=QD，AP=PD，
∵AB=9，BC=6，∠B=90∘，
∴AC=AB2+BC2=81+36=313，
∵sin∠C=DNCD=ABAC=9313，
∴DN=91313，
∵cs∠C=DNCD=BCAC=6313，
∴CN=61313，
∴AN=331313，
∵PD2=PN2+DN2，
∴AP2=331313−AP2+8113，
∴AP=151311，
∵QD2=DB2+QB2，
∴AQ2=9−AQ2+9，
∴AQ=5，
∵sin∠A=HQAQ=BCAC，
∴HQ=5×6313=101313．
∴△PQD 的面积 =△APQ 的面积 =12×101313×151311=7511．
第二部分
11. x1=3，x2=1
【解析】∵x−1x−3=0，
∴x−1=0 或 x−3=0，解得 x1=3，x2=1．
12. 2,−3
13. 43π−23
【解析】连接 OB 和 AC 交于点 D，如图所示：
∵ 圆的半径为 2，
∴OB＝OA＝OC＝2，
又四边形 OABC 是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝12OB＝1，
在 Rt△COD 中利用勾股定理可知：CD＝22−12=3，AC=2CD=23，
∵sin∠COD=CDOC=32，
∴∠COD=60∘，∠AOC=2∠COD=120∘，
∴S菱形ABCO=12OB×AC=12×2×23，
S扇形AOC=120⋅π×4360=4π3，
则图中阴影部分面积为 S扇形AOC−S菱形ABCO=4π3−23．
14. y=x−12+2
【解析】抛物线 y=x2 的顶点坐标为 0,0，点 0,0 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度所得对应点的坐标为 1,2，
所以新抛物线的解析式为 y=x−12+2．
故答案为 y=x−12+2．
15. 56
【解析】由题意作出树状图如下：
一共有 36 种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”有 30 种，
所以，P=3036=56．
16. 1 cm
【解析】由旋转的性质可知：AC=ACʹ，
∵D 为 ACʹ 的中点，
∴AD=12AC，
∵ABCD 是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD=30∘，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=30∘，
∴∠CʹABʹ=∠CAB=30∘，
∴∠EAC=30∘，
∴∠DAE=30∘，
∵AB=CD=3 cm，
∴AD=33×3=3 cm，
∴DE=1 cm，
∴AE=2 cm，
∵AB=ABʹ=3 cm，
∴EBʹ=3−2=1 cm．
第三部分
17. （1） 因为
xx−3=x−3.
所以
xx−3−x−3=0.
则
x−3x−1=0.
所以
x−3=0或x−1=0.
解得
x=3或x=1.
（2） 因为
x2−10x+6=0.
所以
x2−10x=−6.
则
x2−10x+25=−6+25.
即
x−52=19.
所以
x−5=±19.
则
x=5±19.
18. （1） 如图，△AB1C1 为所作．
（2） 如图，A 点坐标为 0,1，C 点的坐标为 −3,1．
（3） 如图，△A2B2C2 为所作，点 A2，B2，C2 的坐标为 0,−1，3,−5，3,−1．
19. （1） 列表：
x⋯−10123⋯y=−12x−12+5⋯3925923⋯
描点、连线
由图象可知，
该抛物线开口向上，对称轴是直线 x=1，顶点坐标为 1,5；
（2） 当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是 x<1；
（3） 当 y=0 时，
0=−12x−12+5，
解得 x1=−10+1，x2=10+1，
则该抛物线与 x 轴的左交点为 −10+1,0，
∵−3<−10+1<−2，n≤x1≤n+1，（n 为整数），
∴n=−3．
20. （1） 在 Rt△ABC 中，
∵∠C=90∘，AB=13，BC=12，
∴AC=AB2−BC2=132−122=5，
∵⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，
∴BD=BF，AD=AE，CF=CE，
设 BF=BD=x，则 AD=AE=13−x，CF=CE=12−x，
∵AE+EC=5，
∴13−x+12−x=5，
∴x=10，
∴BF=10．
（2） 连接 OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC=∠C=∠OFC=90∘，
∴ 四边形 OECF 是矩形，
∴OE=CF=BC−BF=12−10=2．
即 r=2．
21. （1） 肉粽记为 A，红枣粽子记为 B，豆沙粽子记为 C，由题意可得，
（2） 由（1）可得，
小何得到的两个粽子都是肉馅的概率是：212=16．
22. （1） 设正方形 ABCD 的边长为 a，AE=x，则 BE=a−x，
∵ 四边形 EFGH 是正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90∘，
∴∠AEH+∠BEF=90∘，
∵∠AEH+∠AHE=90∘，
∴∠AHE=∠BEF，
在 △AHE 和 △BEF 中，
∠A=∠B=90∘,∠AHE=∠BEF,EH=EF,
∴△AHE≌△BEFAAS，
同理可证 △AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，
∴AE=BF=CG=DH=x，AH=BE=CF=DG=a−x
∴EF2=BE2+BF2=a−x2+x2=2x2−2ax+a2，
∴ 正方形 EFGH 的面积 y=EF2=2x2−2ax+a2，
当 a=2，y=3 时，2x2−4x+4=3，
解得：x=2±22．
（2） ∵y=2x2−2ax+a2=2x−12a2+12a2，
即：当 x=12a（即 E 在 AB 边上的中点）时，
正方形 EFGH 的面积最小，最小的面积为 12a2．
23. （1） ∵⊙O 与 △ABC 的边 BC，AB 分别相切于 C，D 两点，
∴∠ACB=∠ODB=90∘，
∵CF∥AB，
∴∠OMF=∠ODB=90∘，
∴OM⊥CF，且 OM 过圆心 O，
∴ 点 M 是 CF 的中点．
（2） ①连接 CD，DF，OF，
∵⊙O 与 △ABC 的边 BC，AB 分别相切于 C，D 两点，
∴BD=BC，
∵E 是 DF 的中点，
∴ED=EF，
∴∠DCE=∠FCE，
∵AB∥CF，
∴∠A=∠ECF=∠ACD，
∴AD=CD，
∵∠A+∠B=90∘，∠ACD+∠BCD=90∘，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD，且 BD＝BC，
∴BD=BC=CD，
∴△BCD 是等边三角形，
∴∠B=60∘，
∴∠A=30∘=∠ECF=∠ACD，
∴∠DCF=60∘，
∴∠DOF=120∘，
∵BC=a，∠A=30∘，
∴AB=2a，AC=3a，
∴AD=a，
∵∠A=∠A，∠ADO=∠ACB=90∘，
∴△ADO∽△ACB，
∴DOBC=ADAC，
∴DOa=a3a，
∴DO=33a，
∴DF 的弧长 =120∘×π×33a180∘=239πa；
② ∵∠A=30∘，OD⊥AB，
∴AO=2DO=233a，
∴AE=AO−OE=233a−33a=33a，
∴AEOE=1．
24. （1） ∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
∴ACAP=ABAC，
∴AC2=AP⋅AB．
（2） ①取 AP 在中点 G，连接 MG，
设 AG=x，则 PG=x，BG=3−x，
∵M 是 PC 的中点，
∴MG∥AC，
∴∠BGM=∠A，
∵∠ACP=∠PBM，
∴△APC∽△GMB，
∴APGM=ACBG，即 2x1=23−x，
∴x=3±52，
∵AB=3，
∴AP=3−5，
∴PB=5．
② PB=7−1．
【解析】②过 C 作 CH⊥AB 于 H，延长 AB 到 E，使 BE=BP，
设 BP=x．
∵∠ABC=45∘，∠A=60∘，
∴CH=3，HE=3+x，
∵CE2=32+3+x2，
∵PB=BE，PM=CM，
∴BM∥CE，
∴∠PMB=∠PCE=60∘=∠A，
∵∠E=∠E，
∴△ECP∽△EAC，
∴CEEP=AECE，
∴CE2=EP⋅EA，
∴3+3+x2+23x=2xx+3+1，
∴x=7−1，
∴PB=7−1．
25. （1） ∵ 图象经过点 C0,1，
∴c=1，
∵ 对称轴 x=2，
∴k=−1，
∴ 抛物线解析式为 y=14x2−x+1．
（2） 由题意可知 A2,−1，设 Bt,0，
∵AB=2，
∴t−22+1=2，
∴t=1 或 t=3，
∴B1,0 或 B3,0，
∵B1,0 时，A，B，C 三点共线，舍去，
∴B3,0，
∴AC=22，BC=10，
∴∠BAC=90∘，
∴△ABC 为直角三角形，BC 为外接圆的直径，外接圆的圆心为 BC 的中点 32,12，半径为 102，
设 Qx,−1，则有 x−322+12+12=1022，
∴x=1 或 x=2 （舍去），
∴Q1,−1．
（3） 设顶点 Mm,n，
∵Pa,b 为抛物线上一动点，
∴b=14a2−a+1，
∵P 到直线 l 的距离等于 PM，
∴m−a2+n−b2=b+12，
∴1−n2a2+2n−2m+2a+m2+n2−2n−3=0，
∵a 为任意值上述等式均成立，
∴1−n2=0,2+2n−2m=0,
∴n=1,m=2,
此时 m2+n2−2n−3=0，
∴ 定点 M2,1．