2019-2020学年广东省广州市番禺区华师附中番禺学校九上期末数学试卷
展开一、选择题(共10小题;共50分)
1. 一元二次方程 x2−2x−1=0 的根是
A. x1=1,x2=2B. x1=−1,x2=−2
C. x1=1+2,x2=1−2D. x1=1+3,x2=1−3
2. 下列图形是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
3. 如图,⊙O 是 △ABC 的外接圆,∠BOC=100∘,则 ∠A 的度数为
A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘
4. 抛物线 y=x2−2x+3 的顶点坐标是
A. 1,3B. −1,3C. 1,2D. −1,2
5. 如图,线段 AB 两个端点的坐标分别为 A6,6,B8,2,以原点 O 为位似中心,在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 12 后得到线段 CD,则线段 CD 的长为
A. 2B. 3C. 3D. 5
6. 若一元二次方程 kx2−3x−94=0 有实数根,则实数 k 的取值范围是
A. k=−1B. k≥−1 且 k≠0
C. k>−1 且 k≠0D. k≤−1 且 k≠0
7. 一个不透明的盒子中放入四张卡片,每张卡片上都写有一个数字,分别是 −2,−1,0,1.卡片除数字不同外其它均相同,从中随机抽取两张卡片,抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是
A. 14B. 13C. 12D. 34
8. 如图,在 ⊙O 中,AE 是直径,半径 OC 垂直于弦 AB 于 D,连接 BE,若 AB=27,CD=1,则 BE 的长是
A. 5B. 6C. 7D. 8
9. 若点 A−1,0 为抛物线 y=−3x−12+c 图象上一点,则当 y≥0 时,x 的取值范围是
A. −1
C. −1≤x≤3D. x≤−1 或 x≥3
10. 如图,Rt△ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90∘,将 △ABC 折叠,使 A 点与 BC 的中点 D 重合,折痕为 PQ,则 △PQD 的面积为
A. 11313B. 152C. 1237D. 7511
二、填空题(共6小题;共30分)
11. 方程 x−1x−3=0 的解为 .
12. 点 A−2,3 关于原点对称的点的坐标是 .
13. 如图,已知 ⊙O 的半径是 2,点 A,B,C 在 ⊙O 上,若四边形 OABC 为菱形,则图中阴影部分面积为 .
14. 将抛物线 y=x2 先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,得到的抛物线的解析式 .
15. 若同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 .
16. 如图,将矩形 ABCD 绕点 A 旋转至矩形 ABʹCʹDʹ 位置,此时 AʹCʹ 的中点恰好与 D 点重合,ABʹ 交 CD 于点 E,若 AB=3 cm,则线段 EBʹ 的长为 .
三、解答题(共9小题;共117分)
17. 回答下列问题:
(1)解方程:xx−3=x−3;
(2)用配方法解方程:x2−10x+6=0.
18. 如图网格图中,每个小正方形的边长均为 1 个单位,在 Rt△ABC 中,∠C=90∘,AC=3,BC=4.
(1)试在图中作出 △ABC 以 A 为旋转中心,沿顺时针方向旋转 90∘ 后的图形 △AB1C1;
(2)若点 B 的坐标为 −3,5,试在图中画出直角坐标系,并直接写出 A,C 两点的坐标;
(3)根据(2)的坐标系作出与 △ABC 关于原点对称的图形 △A2B2C2,并直接写出点 A2,B2,C2 的坐标.
19. 画出抛物线 y=−12x−12+5 的图象(要求列表,描点),回答下列问题:
(1)写出它的开口方向,对称轴和顶点坐标;
(2)当 y 随 x 的增大而增大时,写出 x 的取值范围;
(3)若抛物线与 x 轴的左交点 x1,0 满足 n≤x1≤n+1,(n 为整数),试写出 n 的值.
20. 如图,已知 ⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆,切点分别为 D,E,F,且 ∠C=90∘,AB=13,BC=12.
(1)求 BF 的长;
(2)求 ⊙O 的半径 r.
21. 端午节是我国传统佳节,互赠粽子是端午节的一种习俗.小唐买了 4 个粽子(除粽馅不同外,其它均相同),其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子,他从中随机拿出两个送给同学小何.
(1)请用树状图或列表的方法列出小何得到的两个粽子的所有可能结果;
(2)计算小何得到的两个粽子都是肉馅粽子的概率.
22. 如图,点 E,F,G,H 分别位于边长为 a 的正方形 ABCD 的四条边上,四边形 EFGH 也是正方形,AG=x,正方形 EFGH 的面积为 y.
(1)当 a=2,y=3 时,求 x 的值;
(2)当 x 为何值时,y 的值最小?最小值是多少?
23. 如图,在 △ABC 中,点 O 在边 AC 上,⊙O 与 △ABC 的边 BC,AB 分别相切于 C,D 两点,与边 AC 交于 E 点,弦 CF 与 AB 平行,与 DO 的延长线交于 M 点.
(1)求证:点 M 是 CF 的中点;
(2)若 E 是 DF 的中点,BC=a,
①求 DF 的弧长;
②求 AEOE 的值.
24. 在 △ABC 中,P 为边 AB 上一点.
(1)如图 1,若 ∠ACP=∠B,求证:AC2=AP⋅AB;
(2)若 M 为 CP 的中点,AC=2.
①如图 2,若 ∠PBM=∠ACP,AB=3,求 BP 的长;
②如图 3,若 ∠ABC=45∘,∠A=∠BMP=60∘,直接写出 BP 的长.
25. 在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=14x2+kx+c 的图象经过点 C0,1,当 x=2 时,函数有最小值.
(1)求抛物线的解析式;
(2)直线 l⊥y轴,垂足坐标为 0,−1,抛物线的对称轴与直线 l 交于点 A.在 x 轴上有一点 B,且 AB=2,试在直线 l 上求异于点 A 的一点 Q,使点 Q 在 △ABC 的外接圆上;
(3)点 Pa,b 为抛物线上一动点,点 M 为坐标系中一定点,若点 P 到直线 l 的距离始终等于线段 PM 的长,求定点 M 的坐标.
答案
第一部分
1. C【解析】∵a=1,b=−2,c=−1,
∴△=−22−4×1×−1=8>0,
则 x=2±222=1±2,
即 x1=1+2,x2=1−2.
2. B【解析】A.是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意;
B.是中心对称图形,符合题意;
C.不是中心对称图形,不合题意;
D.是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意.
3. B【解析】∵⊙O 是 △ABC 的外接圆,∠BOC=100∘,
∴∠A=12∠BOC=50∘.
故选:B.
4. C【解析】∵y=x2−2x+3=x−12+2,
∴ 顶点坐标为 1,2,
故选:C.
5. D
【解析】∵A6,6,B8,2,
∴AB=42+22=25,
∵ 以原点 O 为位似中心,在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 12 后得到线段 CD,
∴ 线段 CD 的长为:12×25=5.
故选:D.
6. B【解析】由题意可知:Δ=9+9k≥0,
所以 k≥−1,
因为 k≠0,
所以 k≥−1 且 k≠0.
7. B【解析】画树状图如下:
由树状图可知共有 12 种等可能结果,其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有 4 种,
所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为 412=13.
8. B【解析】因为半径 OC 垂直于弦 AB,
所以 AD=DB=12AB=7,
在 Rt△AOD 中,OA2=OC−CD2+AD2,
即 OA2=OA−12+72,
解得,OA=4.
所以 OD=OC−CD=3,
因为 AO=OE,AD=DB,
所以 BE=2OD=6.
9. C【解析】∵ 点 A−1,0 为抛物线 y=−3x−12+c 图象上一点,
∴0=−3−1−12+c,得 c=12,
∴y=−3x−12+12,
当 y=0 时,x1=−1,x2=3,
∴ 当 y≥0 时,x 的取值范围是 −1≤x≤3,
故选:C.
10. D
【解析】过点 D 作 DN⊥AC 于 N.
∵ 点 D 是 BC 中点,
∴BD=3,
∵ 将 △ABC 折叠,
∴AQ=QD,AP=PD,
∵AB=9,BC=6,∠B=90∘,
∴AC=AB2+BC2=81+36=313,
∵sin∠C=DNCD=ABAC=9313,
∴DN=91313,
∵cs∠C=DNCD=BCAC=6313,
∴CN=61313,
∴AN=331313,
∵PD2=PN2+DN2,
∴AP2=331313−AP2+8113,
∴AP=151311,
∵QD2=DB2+QB2,
∴AQ2=9−AQ2+9,
∴AQ=5,
∵sin∠A=HQAQ=BCAC,
∴HQ=5×6313=101313.
∴△PQD 的面积 =△APQ 的面积 =12×101313×151311=7511.
第二部分
11. x1=3,x2=1
【解析】∵x−1x−3=0,
∴x−1=0 或 x−3=0,
解得 x1=3,x2=1,
故答案为:x1=3,x2=1.
12. 2,−3
【解析】根据两个点关于原点对称,
∴ 点 P−2,3 关于原点对称的点的坐标是 2,−3.
故答案为 2,−3.
13. 43π−23
【解析】连接 OB 和 AC 交于点 D,如图所示:
∵ 圆的半径为 2,
∴OB=OA=OC=2,
又四边形 OABC 是菱形,
∴OB⊥AC,OD=12OB=1,
在 Rt△COD 中利用勾股定理可知:CD=22−12=3,AC=2CD=23,
∵sin∠COD=CDOC=32,
∴∠COD=60∘,∠AOC=2∠COD=120∘,
∴S菱形ABCO=12OB×AC=12×2×23,
S扇形AOC=120⋅π×4360=4π3,
则图中阴影部分面积为 S扇形AOC−S菱形ABCO=4π3−23.
14. y=x−12+2
【解析】抛物线 y=x2 的顶点坐标为 0,0,点 0,0 先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度所得对应点的坐标为 1,2,
所以新抛物线的解析式为 y=x−12+2.
故答案为 y=x−12+2.
15. 56
【解析】由题意作出树状图如下:
一共有 36 种情况,“两枚骰子朝上的点数互不相同”有 30 种,
∴P=3036=56.
16. 1 cm
【解析】由旋转的性质可知:AC=ACʹ,
∵D 为 ACʹ 的中点,
∴AD=12AC,
∵ABCD 是矩形,
∴AD⊥CD,
∴∠ACD=30∘,
∵AB∥CD,
∴∠CAB=30∘,
∴∠CʹABʹ=∠CAB=30∘,
∴∠EAC=30∘,
∴∠DAE=30∘,
∵AB=CD=3 cm,
∴AD=33×3=3 cm,
∴DE=1 cm,
∴AE=2 cm,
∵AB=ABʹ=3 cm,
∴EBʹ=3−2=1 cm.
第三部分
17. (1) ∵xx−3=x−3,
∴xx−3−x−3=0,
则 x−3x−1=0,
∴x−3=0 或 x−1=0,
解得 x=3 或 x=1;
(2) ∵x2−10x+6=0,
∴x2−10x=−6,
则 x2−10x+25=−6+25,即 x−52=19,
∴x−5=±19,
则 x=5±19.
18. (1) 如图,△AB1C1 为所作.
(2) 如图,A 点坐标为 0,1,C 点的坐标为 −3,1.
(3) 如图,△A2B2C2 为所作,点 A2,B2,C2 的坐标为 0,−1,3,−5,3,−1.
19. (1) 列表:
x⋯−10123⋯y=−12x−12+5⋯3925923⋯
描点、连线
由图象可知,
该抛物线开口向上,对称轴是直线 x=1,顶点坐标为 1,5;
(2) 当 y 随 x 的增大而增大时,x 的取值范围是 x<1;
(3) 当 y=0 时,
0=−12x−12+5,
解得 x1=−10+1,x2=10+1,
则该抛物线与 x 轴的左交点为 −10+1,0,
∵−3<−10+1<−2,n≤x1≤n+1,(n 为整数),
∴n=−3.
20. (1) 在 Rt△ABC 中,
∵∠C=90∘,AB=13,BC=12,
∴AC=AB2−BC2=132−122=5,
∵⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆,切点分别为 D,E,F,
∴BD=BF,AD=AE,CF=CE,
设 BF=BD=x,则 AD=AE=13−x,CF=CE=12−x,
∵AE+EC=5,
∴13−x+12−x=5,
∴x=10,
∴BF=10.
(2) 连接 OE,OF,
∵OE⊥AC,OF⊥BC,
∴∠OEC=∠C=∠OFC=90∘,
∴ 四边形 OECF 是矩形,
∴OE=CF=BC−BF=12−10=2.
即 r=2.
21. (1) 肉粽记为 A,红枣粽子记为 B,豆沙粽子记为 C,由题意可得,
(2) 由(1)可得,
小何得到的两个粽子都是肉馅的概率是:212=16.
22. (1) 设正方形 ABCD 的边长为 a,AE=x,则 BE=a−x,
∵ 四边形 EFGH 是正方形,
∴EH=EF,∠HEF=90∘,
∴∠AEH+∠BEF=90∘,
∵∠AEH+∠AHE=90∘,
∴∠AHE=∠BEF,
在 △AHE 和 △BEF 中,
∠A=∠B=90∘,∠AHE=∠BEF,EH=EF,
∴△AHE≌△BEFAAS,
同理可证 △AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG,
∴AE=BF=CG=DH=x,AH=BE=CF=DG=a−x
∴EF2=BE2+BF2=a−x2+x2=2x2−2ax+a2,
∴ 正方形 EFGH 的面积 y=EF2=2x2−2ax+a2,
当 a=2,y=3 时,2x2−4x+4=3,
解得:x=2±22.
(2) ∵y=2x2−2ax+a2=2x−12a2+12a2,
即:当 x=12a(即 E 在 AB 边上的中点)时,
正方形 EFGH 的面积最小,最小的面积为 12a2.
23. (1) ∵⊙O 与 △ABC 的边 BC,AB 分别相切于 C,D 两点,
∴∠ACB=∠ODB=90∘,
∵CF∥AB,
∴∠OMF=∠ODB=90∘,
∴OM⊥CF,且 OM 过圆心 O,
∴ 点 M 是 CF 的中点.
(2) ①连接 CD,DF,OF,
∵⊙O 与 △ABC 的边 BC,AB 分别相切于 C,D 两点,
∴BD=BC,
∵E 是 DF 的中点,
∴ED=EF,
∴∠DCE=∠FCE,
∵AB∥CF,
∴∠A=∠ECF=∠ACD,
∴AD=CD,
∵∠A+∠B=90∘,∠ACD+∠BCD=90∘,
∴∠B=∠BCD,
∴BD=CD,且 BD=BC,
∴BD=BC=CD,
∴△BCD 是等边三角形,
∴∠B=60∘,
∴∠A=30∘=∠ECF=∠ACD,
∴∠DCF=60∘,
∴∠DOF=120∘,
∵BC=a,∠A=30∘,
∴AB=2a,AC=3a,
∴AD=a,
∵∠A=∠A,∠ADO=∠ACB=90∘,
∴△ADO∽△ACB,
∴DOBC=ADAC,
∴DOa=a3a,
∴DO=33a,
∴DF 的弧长 =120∘×π×33a180∘=239πa;
② ∵∠A=30∘,OD⊥AB,
∴AO=2DO=233a,
∴AE=AO−OE=233a−33a=33a,
∴AEOE=1.
24. (1) ∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,
∴△ACP∽△ABC,
∴ACAP=ABAC,
∴AC2=AP⋅AB.
(2) ①取 AP 在中点 G,连接 MG,
设 AG=x,则 PG=x,BG=3−x,
∵M 是 PC 的中点,
∴MG∥AC,
∴∠BGM=∠A,
∵∠ACP=∠PBM,
∴△APC∽△GMB,
∴APGM=ACBG,
即 2x1=23−x,
∴x=3±52,
∵AB=3,
∴AP=3−5,
∴PB=5;
② 7−1.
【解析】②过 C 作 CH⊥AB 于 H,延长 AB 到 E,使 BE=BP,
设 BP=x.
∵∠ABC=45∘,∠A=60∘,
∴CH=3,HE=3+x,
∵CE2=32+3+x2,
∵PB=BE,PM=CM,
∴BM∥CE,
∴∠PMB=∠PCE=60∘=∠A,
∵∠E=∠E,
∴△ECP∽△EAC,
∴CEEP=AECE,
∴CE2=EP⋅EA,
∴3+3+x2+23x=2xx+3+1,
∴x=7−1,
∴PB=7−1.
25. (1) ∵ 图象经过点 C0,1,
∴c=1,
∵ 对称轴 x=2,
∴k=−1,
∴ 抛物线解析式为 y=14x2−x+1.
(2) 由题意可知 A2,−1,设 Bt,0,
∵AB=2,
∴t−22+1=2,
∴t=1 或 t=3,
∴B1,0 或 B3,0,
∵B1,0 时,A,B,C 三点共线,舍去,
∴B3,0,
∴AC=22,BC=10,
∴∠BAC=90∘,
∴△ABC 为直角三角形,BC 为外接圆的直径,
外接圆的圆心为 BC 的中点 32,12,半径为 102,
设 Qx,−1,则有 x−322+12+12=1022,
∴x=1 或 x=2(舍去),
∴Q1,−1.
(3) 设顶点 Mm,n,
∵Pa,b 为抛物线上一动点,
∴b=14a2−a+1,
∵P 到直线 l 的距离等于 PM,
∴m−a2+n−b2=b+12,
∴1−n2a2+2n−2m+2a+m2+n2−2n−3=0,
∵a 为任意值上述等式均成立,
∴1−n2=0,2+2n−2m=0,
∴n=1,m=2,
此时 m2+n2−2n−3=0,
∴ 定点 M2,1.
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