2019-2020学年广东省广州市南沙区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省广州市南沙区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 下列事件中，不可能事件的是
A. 投掷一枚均为的硬币 10 次，正面朝上的次数为 5 次
B. 任意一个五边形的外角和等于 360∘
C. 从装满白球的袋子里摸出红球
D. 大年初一会下雨

3. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，如果 AB=20，CD=16，那么线段 OE 的长为
A. 6B. 8C. 10D. 12

4. 如果点 A3,n 与点 B−m,5 关于原点对称，则 m+n=
A. 8B. 2C. −2D. −8

5. 在一幅长 60 cm，宽 40 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 2816 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是
A. 60+x40+2x=2816B. 60+x40+x=2816
C. 60+2x40+x=2816D. 60+2x40+2x=2816

6. 要得到抛物线 y=x−12+3，可以将 y=x2
A. 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度
B. 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度
C. 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度
D. 向右平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度

7. 正六边形的周长为 12，则它的面积为
A. 3B. 33C. 43D. 63

8. 函数 y=ax2 与 y=−ax+b 的图象可能是
A. B.
C. D.

9. 若一个圆锥的底面积为 4π cm2，高为 42 cm，则该圆锥的侧面展开图中圆心角为
A. 40∘B. 80∘C. 120∘D. 150∘

10. 如图，在 △ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边 AB 的中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P，Q 分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值与最小值的和是
A. 6B. 213+1C. 9D. 323

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 一元二次方程 x2−3x=0 的根是 ， ．

12. 布袋里有 8 个大小相同的乒乓球，其中 2 个为红色，1 个为白色，5 个为黄色，搅匀后从中随机摸出一个球是红色的概率是 ．

13. 若二次函数 y=mx2+2x+1 的图象于 x 轴有交点，则 m 的取值范围为 ．

14. 已知 x1 和 x2 是方程 x2+3x−1=0 的两个实数根，则 x12+x22= ．

15. 如图，过 ⊙O 上一点 C 作 ⊙O 的切线，与 ⊙O 直径 AB 的延长线交于点 D，若 ∠D=38∘，则 ∠E 的度数为 ．

16. 如图是抛物线 y1=ax2+bx+ca≠0 图象的一部分，抛物线的顶点坐标为 A1,−3，与 x 轴的一个交点为 B4,0，点 A 和点 B 均在直线 y2=mx+nm≠0 上．
① 2a+b=0；
② abc<0；
③抛物线与 x 轴的另一个交点时 −4,0；
④方程 ax2+bx+c=−3 有两个不相等的实数根；
⑤ a−b+c<4m+n；
⑥不等式 mx+n>ax2+bx+c 的解集为 1上述六个结论中，其中正确的结论是 ．（填写序号即可）

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2−2x=8．

18. 如图，已知 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A−1,2，B−3,4，C−2,6，在给出的平面直角坐标系中；
（1）画出 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 后得到的 △AB1C1；并直接写出 B1，C1 的坐标；
（2）计算线段 AB 旋转到 AB1 位置时扫过的图形面积．

19. 某农场今年第一季度的产值为 50 万元，第二季度由于改进了生产方法，产值提高了 20%；但在今年第三、第四季度时该农场因管理不善．导致其第四季度的产值与第二季度的产值相比下降了 11.4 万元．
（1）求该农场在第二季度的产值；
（2）求该农场在第三、第四季度产值的平均下降的百分率．

20. 如图，在 Rt△ABO 中，∠C=90∘，点 E 在边 AB 上，点 D 在边 BC 上，且 AE 是 ⊙O 的直径，∠CAB 的平分线于 ⊙O 相交于点 D．
（1）证明：直线 BC 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 ED，若 ED=4，∠B=30∘，求边 AB 的长．

21. 已知 a，b 关于 x 的方程 x2−k+2x+2k=0 的两个实数根．
（1）若 k=3 时，求 a2b+ab2 的值；
（2）若等腰 △ABC 的一边长 c=1，另两边长为 a，b，求 △ABC 的周长．

22. 如图，有一个三等分数字转盘，小红先转动转盘，指针指向的数字记下为 x，小芳后转动转盘，指针指向的数字记下为 y，从而确定了点 P 的坐标 x,y，（若指针指向分界线，则重新转动转盘，直到指针指向数字为止）
（1）小红转动转盘，求指针指向的数字 2 的概率；
（2）请用列举法表示出由 x，y 确定的点 Px,y 所有可能的结果．
（3）求点 Px,y 在函数 y=x+1 图象上的概率．

23. 已知二次函数图象的顶点在原点 O，对称轴为 y 轴．直线 l1:y=kx+b 的图象与二次函数的图象交于点 A−3,2 和点 B32,m．（点 A 在点 B 的左侧）
（1）求 m 的值及直线 l1 解析式；
（2）若过点 P0,n 的直线 l2 平行于直线 l1 且直线 l2 与二次函数图象只有一个交点 Q，求交点 Q 的坐标．

24. 已知抛物线的顶点为 M2,4，且过点 A3,3．直线 AM 与 x 轴相交于点 B．
（1）求该抛物线的解析式和点 B 的坐标；
（2）以线段 BM 为直径的圆与射线 OA 相交于点 P，求点 P 的坐标．

25. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AB=42，M 为弧 AB 的中点，正方形 OCGD 绕点 O 旋转与 △AMB 的两边分别交于 E，F（点 E，F 与点 A，B，M 均不重合），与 ⊙O 分别交于 P，Q 两点．
（1）求证：△AMB 为等腰直角三角形；
（2）求证：OE=OF；
（3）连接 EF，试探究：在正方形 OCGD 绕点 O 旋转的过程中，△EMF 的周长是否存在最小值?若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】A，是轴对称图形不是中心对称图形；
B，既不是轴对称图形又不是中心对称图形；
C，既是轴对称图形又是中心对称图形；
D，是轴对称图形不是中心对称图形．
故选：C．
2. C【解析】A、投掷一枚均为的硬币 10 次，正面朝上的次数为 5 次，是随机事件，不合题意；
B、任意一个五边形的外角和等于 360∘，是必然事件，不合题意；
C、从装满白球的袋子里摸出红球，是不可能事件，符合题意；
D、大年初一会下雨，是随机事件，不合题意；
故选：C．
3. A【解析】如图所示，连接 OD．
∵ 弦 CD⊥AB，AB 为圆 O 的直径，
∴E 为 CD 的中点，
又 ∵CD=16，
∴CE=DE=12CD=8，
又 ∵OD=12AB=10，
∵CD⊥AB，
∴∠OED=90∘，
在 Rt△ODE 中，DE=8，OD=10，
根据勾股定理得：OE2+DE2=OD2，
∴OE=102−82=6，则 OE 的长度为 6．
4. C【解析】∵ 点 A3,n 与 B−m,5 点关于原点对称，
∴−m=−3，n=−5，则 m=3，
故 m+n=3−5=−2．
故选：C．
5. D
【解析】挂图长为 60+2xcm，宽为 40+2xcm，
∴ 根据矩形的面积公式可得：60+2x40+2x=2816．
故选：D．
6. C【解析】将 y=x2 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度可得抛物线 y=x−12+3．
7. D【解析】如图，连接 OB，OC，过 O 作 OM⊥BC 于 M，
∴∠BOC=16×360∘=60∘，
∵OB=OC，
∴△OBC 是等边三角形，
∵ 正六边形 ABCDEF 的周长为 24，
∴BC=12÷6=2，
∴OB=BC=2，
∴BM=12BC=1，
∴OM=OB2−BM2=3，
∴S△OBC=12×BC×OM=12×2×3=3，
∴ 该六边形的面积为：3×6=63．
故选：D．
8. B【解析】当 a>0 时，−a<0，二次函数开口向上，当 b>0 时一次函数过一，二，四象限，当 b<0 时一次函数过二，三，四象限；
当 a<0 时，−a>0，二次函数开口向下，当 b>0 时一次函数过一，二，三象限，当 b<0 时一次函数过一，三，四象限．
所以B正确．
故选：B．
9. C【解析】∵ 圆锥的底面积为 4π cm2，
∴ 圆锥的底面半径为 2 cm，
∴ 底面周长为 4π，
∵ 高为 42 cm，
∴ 由勾股定理得圆锥的母线长为 6 cm，
设侧面展开图的圆心角是 n∘，
根据题意得：6nπ180=4π，
解得：n=120．
10. C
【解析】如图，设 ⊙O 与 AC 相切于点 E，连接 OE，作 OP1⊥BC 垂足为 P1 交 ⊙O 于 Q1，
此时垂线段 OP1 最短，P1Q1 最小值为 OP1−OQ1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90∘，
∵∠OP1B=90∘，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1=12AC=4，
∴P1Q1 最小值为 OP1−OQ1=1，
如图，当 Q2 在 AB 边上时，P2 与 B 重合时，P2Q2 经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2 最大值 =5+3=8，
∴PQ 长的最大值与最小值的和是 9．
第二部分
11. x1=0，x2=3
【解析】x2−3x=0，
xx−3=0，
∴x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
12. 14
【解析】∵ 袋中共有 8 个大小相同的乒乓球，其中 2 个为红色，1 个为白色，5 个为黄色，
∴ 随机摸出一个乒乓球是红色的概率为 28=14．
13. m≤1 且 m≠0
【解析】根据题意得 m≠0 且 Δ=22−4m≥0，
解得 m≤1 且 m≠0．
故答案为 m≤1 且 m≠0．
14. 11
【解析】∵x1 和 x2 是方程 x2+3x−1=0 的两个实数根，
∴x1+x2=−3，x1x2=−1，
∴x12+x22=x1+x22−2x1x2=9+2=11．
故答案为：11．
15. 26∘
【解析】连接 OC，
∵CD 切 ⊙O 于 C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90∘，
∵∠D=38∘，
∴∠COD=180∘−90∘−38∘=52∘，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵∠A+∠OCA=∠COD=52∘，
∴∠A=26∘．
∴∠E=∠A=26∘．
16. ①⑤⑥
【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1，
∴b=−2a，即 2a+b=0，
∴ ①正确；
∵ 抛物线开口向上，
∴a>0，
∴b=−2a<0，
∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，
∴c<0，
∴abc>0，
∴ ②正确；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴的一个交点为 B4,0，
∴ 抛物线与 x 轴的一个交点为 −2,0，
∴ ③错误；
∵ 抛物线的顶点坐标为 1,−3，
∴ 抛物线与直线 y=−3 只有一个交点，
∴ 方程 ax2+bx+c=−3 有两个相等的实数根，
∴ ④错误；
∵x=−1 时，y1<0，即 a−b+c<0，
而 x=4 时，y2=0，即 4m+n=0，
∴a−b+c<4m+n；
∴ ⑤正确；
∵ 当 1y1，
∴ 不等式 mx+n>ax2+bx+c 的解集为 1 ∴ ⑥正确．
故答案为①⑤⑥．
第三部分
17. 方程整理得：
x2−2x=8,
因式分解得：
x−4x+2=0,
解得：
x1=4,x2=−2.
18. （1） 如图所示，△AB1C1 即为所求，其中 B11,4，C13,3，
（2） 由 AB=22，
得：S扇形BAB1=90360⋅π⋅AB2=2π．
19. （1） 设该农场在第二季度的产值为 m 万元，
根据题意得 m=50×1+20%=60（万元）．
（2） 设该农场在第三、第四季度产值的平均下降百分率为 x，
根据题意得：该农场第四季度的产值为 60−11.4=48.6 万元，
列方程，得：
601−x2=48.6.
即
1−x2=0.811−x=±0.9.
解得：
x1=0.1.
x2=1.9.
（不符题意，舍去）．
答：该农场在第三、第四季度产值的平均下降百分率为 10%．
20. （1） 连接 OD，
∵AD 平分 ∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵ 在 ⊙O 中，OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵Rt△ABC 中，∠C=90∘，
∴OD⊥BC，
∴ 直线 BC 为圆 O 的切线．
（2） 如图：连接 DE，
∵Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠B=30∘，
∴∠CAB=60∘，
∵ 由（1）可得：AC∥OD，
∴∠DOB=60∘，
∴△DOE 为等边三角形，OD=OE=DE=4，
∴OA=OD=4，
∵ 由（1）可得 ∠ODB=90∘，且 ∠B=30∘，
∴ 在 Rt△ODB 中，OB=2OD=8，
∴AB=OA+OB=12．
21. （1） 将 k=3 代入原方程，得：x2−5x+6=0，
解上述方程得：x1=2，x2=3，
因式分解，得：a2b+ab2=aba+b．
代入方程的解，得：a2b+ab2=aba+b=2×3×2+3=30．
（2） ①当 c 与 a，b 其中一个相等时，不妨设 a=c=1，
将 a=1 代回原方程，得 k=1，解得：b=2，
此时 a+c=b，不满足三角形三边关系，不成立；
②当 a=b 时，Δ=−k+22−8k=0，解得：k=2，
解得：a=b=2，C△ABC=2+2+1=5．
综上所述：C△ABC=5．
22. （1） P指向的数字2=13
（2） 用列表法表示所有可能的情况如下：
共有 9 种情况分别为：1,1，1,2，1,3，2,1，2,2，2,3，3,1，3,2，3,3；
（3） 由题意以及（ 2 ）可知：
满足 y=x+1 的有：1,2 2,3，
则有 P点P在y=x+1的图象上=29．
23. （1） 设二次函数的解析式为 y=ax2a>0，
将 A−3,2，B32,m 分别代入二次函数的解析式 y=ax2a>0，
得：2=9a,m=94a,
解得 a=29,m=12,
即点 B32,12，
∵ 直线 l1:y=kx+b 的图象与二次函数的图象交于点 A−3,2 和点 B32,12，
∴2=−3k+b,12=32k+b,
解得：k=−13,b=1,
∴l1 的解析式为 y=−13x+1；
（2） 由题意可知：l2∥l1，
可设直线 l2 的解析式为：y=−13x+cc≠1，
∵l2 过点 P0,n，
∴c=n，
∴y=−13x+nn≠1，
由题意，联立直线 l2 与二次函数的解析式，
y=−13x+n,y=29x2,
消元，得：−13x+n=29x2，
整理，得：2x2+3x−9n=0, ⋯⋯①
由题意，得直线 l2 与 y=29x2 只有一个交点，
可得：Δ=32−4×2×−9n=0，
解得：n=−18，
将 n=−18 代入方程①中，得 x=−34，
将 x=−34 代入 l2:y=−13x−18 中，得 y=18，
可得交点 Q 的坐标为 −34,18．
24. （1） 设抛物线的解析式为：y=ax−22+4，a≠0
代入点 A3,3，得：a=−1
∴ 抛物线的解析式为：y=−x2+4x
由 M2,4 和 A3,3 得：
直线 AM 的解析式为：y=−x+6；
（2） 由（1）得：直线 AM 的解析式为 y=−x+6，
令 y=0，得 x=6，
∴B6,0
由题意可得射线 OA 的解析式为 y=xx≥0，
∵ 点 P 在射线 OA 上，则可设点 Px,x，
由图可知满足条件的点 P 有两个
①当 0可得：如图 1：
PD=4−x，MD=2−x；PG=x，BG=6−x；MH=4，BH=6−2=4；
∵ 点 P 在以线段 BM 为直径的圆上，
∴∠BPM=90∘
在构造的三个直角三角形里应用勾股定理，得：
PM2=MD2+PD2=x−22+x−42
PB2=BG2+PG2=x−62+x2
BM2=MH2+BH2=42+42=32，
∵∠BPM=90∘
可得：PM2+PB2=BM2
即：x−22+x−42+x2+x−62=32
整理，得：x2−6x+6=0，解得：x=3±3；
∵0 ∴x=3−3，
∴P3−3,3−3；
②当 3构造 Rt△PDM，Rt△PGB 和 Rt△MHB，
同理，可得方程：x2−6x+6=0，
解得：x=3±3，而 3 ∴x=3+3，
∴P3+3,3+3；
综上所述，符合题目条件的 P 点有两个，其坐标分别为：P3+3,3+3 或 3−3,3−3．
25. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠AMB=90∘，
∵M 是弧 AB 的中点，
∴BM=AM，
∴MA=MB，
∴△AMB 为等腰直角三角形．
（2） 连接 OM．
由（1）得：∠ABM=∠BAM=45∘，∠OMA=∠OMB=45∘，
∴OM⊥AB,MB=22AB=22×42=4，
∴∠MOE+∠BOE=90∘，
∵∠COD=90∘，
∴∠MOE+∠MOF=90∘，
∴∠BOE=∠MOF，
在 △OBE 和 △OMF 中，
∠BOE=∠MOF,∠OBE=∠OMF,OB=OM,
△OBE≌△OMFASA，
∴OE=OF．
（3） △EFM 的周长有最小值．
∵OE=OF，
∴△OEF 为等腰直角三角形，
∴EF=2OE，
∵△OBE≌△OMF，
∴BE=MF，
∴△EFM 的周长=EF+MF+ME=EF+BE+ME=EF+MB=2OE+4,
当 OE⊥BM 时，OE 最小，此时 OE=12BM=12×4=2，
∴△EFM 的周长的最小值为 22+4．