2019-2020学年广东省广州市花都区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省广州市花都区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列交通标志中，属于中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2−ax=0 一个根，则 a 的值为
A. 1B. −1C. 2D. −2

3. 以下事件属于随机事件的是
A. 小明买体育彩票中了一等奖
B. 2019 年是中华人民共和国建国 70 周年
C. 正方体共有四个面
D. 2 比 1 大

4. 如图，点 O 是五边形 ABCDE 和五边形 A1B1C1D1E1 的位似中心，若 OA:OA1=1:3，则五边形 ABCDE 和五边形 A1B1C1D1E1 的面积比是
A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:9

5. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，点 A，C 在 ⊙O 上，点 B 是 AC 的中点，∠AOB=60∘，则 ∠BDC 的度数是
A. 30∘B. 35∘C. 45∘D. 60∘

6. 已知点 x1,y1，x2,y2 是反比例函数 y=5x 图象上的两点，且 0A. 0
7. 如图，△ABC 中，∠A=70∘，AB=4，AC=6，将 △ABC 沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.

8. 把二次函数 y=−x+12−3 的图象沿着 x 轴翻折后，得到的二次函数有
A. 最大值 y=3B. 最大值 y=−3
C. 最小值 y=3D. 最小值 y=−3

9. 如图，已知 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，把 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 △ABʹCʹ，连接 CʹB，则 ∠ABCʹ 的度数是
A. 45∘B. 30∘C. 20∘D. 15∘

10. 如图，CD⊥x 轴，垂足为 D，CO，CD 分别交双曲线 y=kx 于点 A，B，若 OA=AC，△OCB 的面积为 6，则 k 的值为
A. 2B. 4C. 6D. 8

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 一个不透明的盒子中有 4 个白球，3 个黑球，2 个红球，各球的大小与质地都相同，现随机从盒子中摸出一个球，摸到白球的概率是 ．

12. 二次函数 y=−x2+bx+c 的部分图象如图所示，对称轴是直线 x=−1，则关于 x 的一元二次方程 −x2+bx+c=0 的根为 ．

13. 如图，圆锥的底面半径 OB=6 cm，高 OC=8 cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2．

14. 已知一次函数 y1=x+m 的图象如图所示，反比例函数 y2=2−mx，当 x>0 时，y2 随 x 的增大而 ．（填“增大”或“减小”）

15. 已知关于 x 的方程 x2−2x+m=0 有两个同号的实数根 x1，x2，则实数 m 的取值范围是 ．

16. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=10, 点 P 是 BC 边上一点，若 △ABP 与 △DCP 相似，则 BP= ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2−2x−3=0．

18. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，CB=6，CA=8，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转得到 △DBE，使点 C 的对应点 E 恰好落在 AB 上，求线段 AE 的长．

19. 为了解学生的艺术特长发展情况，某校决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）扇形统计图中“戏曲”部分对应的扇形的圆心角为 度．
（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列举法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率．

20. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，弦 AC 的长为 8 cm．
（1）尺规作图：过圆心 O 作弦 AC 的垂线 DE，交弦 AC 于点 D，交优弧 ABC 于点 E．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若 DE 的长为 8 cm，求直径 AB 的长．

21. 如图，将边长为 40 cm 的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）
（1）若该无盖盒子的底面积为 900 cm2，求剪掉的正方形的边长；
（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．

22. 如图，一次函数 y=k1x+b 的图象与反比例函数 y=k2x 的图象相交于 A，B 两点，点 A 的坐标为 −1,3，点 B 的坐标为 3,n．
（1）求这两个函数的表达式．
（2）点 P 在线段 AB 上，且 S△AOP:S△BOP=1:3，求点 P 的坐标．

23. 如图，已知平行四边形 ABCD，AE 与 BC 的延长线交于点 E，与 BD，CD 分别交于点 F，G．
（1）若 AB=3，BC=4，CE=2，求 CG 的长．
（2）证明：AF2=FG⋅FE．

24. 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=3，CA=4，将 ∠ABC 对折，使点 C 的对应点 H 恰好落在直线 AB 上，折痕交 AC 于点 O，以点 O 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系．
（1）求过 A，B，O 三点的抛物线解析式；
（2）若在线段 AB 上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于 M，连接 MB，MA，求 △MAB 的面积的最大值；
（3）若点 E 在抛物线上，点 F 在对称轴上，且以 O，A，E，F 为顶点的四边形为平行四边形，求点 E 的坐标．

25. 如图，点 A，P，B，C 是 ⊙O 上的四个点，∠DAP=∠PBA．
（1）求证：AD 是 ⊙O 的切线．
（2）若 ∠APC=∠BPC=60∘，试探究线段 PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）在第（2）问的条件下，若 AD=2，PD=1，求线段 AC 的长．
答案
第一部分
1. D
2. C【解析】∵x=2 是方程的解，
∴22−2a=0，
∴a=2．
故选C．
3. A
4. D【解析】由题意得五边形 ABCDE 和五边形 A1B1C1D1E1 的位似比为 1:3，即相似比为 1:3，
∴ 两图形的面积比为相似比的平方，即 1:9．
5. A
【解析】连接 OC，如图，
∵AB=BC，
∴∠BDC=12∠BOC=12∠AOB=12×60∘=30∘．
6. B【解析】∵k=5>0，
∴ 在每个象限内，
y 随 x 增大而减小，
∵0 ∴y1>y2>0，
故选B．
7. D
8. C【解析】y=−x+12−3 的顶点为 −1,−3，则点 −1,−3 关于 x 轴对称点为 −1,3，
∴y=−x+12−3 沿着 x 轴翻折后为 y=x+12+3，
∴ 得到二次函数有最大值，y=3．
9. B【解析】∵∠C=90∘，AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=45∘，
连接 CCʹ，
∵ 旋转 60∘，
∴∠CACʹ=60∘，AC=ACʹ，
∴△ACCʹ 为等边三角形，
∴CCʹ=AC=BC，∠ACCʹ=60∘，
∴△CBCʹ 为等腰三角形，
∴∠BCʹC=180∘−30∘2=75∘，
∴∠ACʹB=75∘+60∘=135∘，
∴ 又 ∠BAC=60∘−45∘=15∘，
∴∠ABCʹ=180∘−135∘−15∘=30∘，
故选B．
10. B
【解析】设 A 坐标为 a,b，则 k=ab，
∵OA=AC，
∴C 坐标为 2a,2b，
∵CD⊥x 轴，则 B 横坐标为 2a，
∴B 纵坐标为 ab2a=b2，
∴B2a,b2，
∴S△OCB=12BC⋅OD=122b−b2⋅2a=32ab=6.
∴k=ab=4．
第二部分
11. 49
【解析】盒子中共有 4+3+2=9 个球，摸到白球概率为 49．
12. x1=1，x2=−3
【解析】由图象可知一个交点 −3,0 对称轴为 −1，
故另一个交点为 1,0，
故一元二次方程 −x2+bx+c=0 的根为 x1=1，x2=−3．
13. 60π
【解析】根据底面积圆半径 R=OB=6 cm，高 OC=8 cm 可求得圆锥母线 l=OB2+OC2=10 cm．
∴ 圆锥侧面积为 πRl=π×6×10 cm2=60π cm2．
14. 减小
【解析】由图象可知 O故 2−m>0，
所以 y2=2−mx 在 x>0 时，y 随 x 增大而减小．
15. 0【解析】∵ 有两个同号实数根，故有 Δ>0,x1⋅x2>0,
即 4−4m>0,m>0, 解得：016. 5 或 2，或 8
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B=∠C=90∘，AB=CD=4，AD=BC=10，
当 BP=5 时，ABCD=BPCP，即 BP=CP=12BC=5 时，△ABP∽△CDP，
当 APCP=BPCD 时，△ABP∽△PCD，设 BP=x，则 CP=BC−BP=10−x，
∴410−π=x4，解得：x=2 或 8．
即 BP=2 或 BP=8 时，△ABP∽△PCP，
综上所述，若 △ABP 与 △CDP 相似，BP=5 或 2，或 8．
第三部分
17. 方法一：
x2−2x−3=0.x2−2x=3.x2−2x+12=3+12.∴x−12=4.x−1=±4.x−1=±2.x=±2+1.
∴x1=2+1=3,
x2=−2+1=−1.∴
方程的解为 x1=3，x2=−1．
【解析】方法二
原方程可以变形为 x−3x+1=0，
x−3=0，x+1=0，
∴x1=3，x2=−1．
18. 在 Rt△ABC 中由勾股定理得：
AB=AC2+BC2=82+62=10.
由旋转可知
BE=BC=6，
∴AE=AB−BE=10−6=4.
19. （1） 28.8
【解析】∵ 喜欢戏曲的人数：50−12−16−8−10=50−46=4 人，
∴ 扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为：450×360∘=28.8∘．
（2） 画树状图如下：
∵ 共有 12 种等可能结果，其中恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的有 2 种结果，
故恰好选中“舞蹈、声乐”两项活动的概率是：212=16．
20. （1） 画图如下图：
（2） 延长 DE 与圆交于点 F，
设 ⊙O 的半径为 r，则 OA=OF=OE=r．
又 ∵DE=8 cm，
∴OD=DE−OE=8−r（cm），
又 ∵AC=8 cm，
∴AD=DC=12AC=4 cm．
∵ 在 Rt△AOD 中 AD2+OD2=OA2，
∴42+8−r2=r2，
解得 r=5，
∴⊙O 的直径为 2×5=10（cm），即 AB=10 cm．
21. （1） 设剪掉的正方形的边长为 x cm，
则 40−2x2=900，
即 40−2x=30 或 40−2x=−30，
解得：x1=5，x2=35（不合题意，舍去）所以剪掉的正方形的边长为 5 cm．
（2） 设剪掉的小正方形的边长为 a cm，
盒子的侧面积为 y cm2，
则 y 与 a 的函数关系为：y=440−20×a，
即 y=−8a2+160a，
即 y=−8a−102+800，
所以 a=10 时，y最大=800，即当剪掉的小正方形的边长为 10 cm 时，长方形盒子的侧面积最大为 800 cm2．
22. （1） 因为反比例函数 y=k2x 的图象经过 A−1,3，B3,n，
所以 k2=−1×3=−3，k2=3n，
所以 n=−1，
所以 B3,−1，
因为一次函数 y=kx+b 的图象过点 A，点 B，
所以 −k+b=3,3k+b=−1,
得 k=−1，b=2，
所以直线解析式 y=−x+2，反比例函数的解析式为 y=−3x．
（2） 设直线 AB 与 y 轴的交点为 C，
所以 C0,2，
因为 S△AOC=12×2×1=1，
所以 S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×1+12×2×3=4，
因为 S△AOP:S△BOP=1:2，
所以 S△AOP=4×13=43，
所以 S△COP=43−1=13，
所以 12×2⋅xP=13，
所以 xP=13，
因为点 P 在直线 AB 上，
所以 y=−13+2=53，
所以 P13,53．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EGC∽△EAB，
∴CGAB=ECEB，即 CG3=22+4，
解得，CG=1．
（2） ∵AB∥CD，
∴△DFG∽△BFA，
∵FGFA=DFFB，
∴AD∥CB，
∴△AFD∽△EFB，
∴AFFE=DFFB，
∴FGFA=AFFE，
即 AF2=FG×FE．
24. （1） 在 Rt△ABC 中，
∵BC=3，tan∠BAC=34，
∴AC=4，
∴AB=BC2+AC2=32+42=5，
设 OC=m，连接 OH，如图，
由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，
∠BHO=∠BCO=90∘，
∴AH=AB−BH=2，OA=4−m，
∴ 在 Rt△AOH 中，OH2+AH2=OA2，即 m2+22=4−m2，得 m=32，
∴OC=32，OA=AC−OC=52，
∴O0,0，A52,0，B−32,3．
设过 A，B，O 三点的抛物线的解析式为：y=axx−52，
把 x=−32，y=3 代入解析式，得 a=12，
∴y=12xx−52=12x2−54x，
即过 A，B，O 三点的抛物线的解析式为 y=12x2−54x．
（2） S△AMB=12⋅PM⋅xA−xB=12⋅PM⋅4=2PM，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
根据题意得：−32k+b=3,52k+b=0, 解之得：k=−34,b=158,
∴ 直线 AB 的解析式为 y=−34x+158，
设动点 Pt,−34t+158，则 Mt,12t2−54t，
∴PM=−34t+158−12t2−54t=−12t2+12t+158=−12t−122+2,
∴ 当 t=12 时，PM 有最大值，最大值为 2，即 S△AMB 最大为 4．
（3） 设抛物线 y=12x2−54x 的顶点为 D，
∵y=12x2−54x=12x−542−2532，
∴ 抛物线的对称轴 x=54，顶点 D54,−2532，
根据抛物线的对称性，A，O 两点关于对称轴对称，
①当 AO 为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点 D 以及点 D 关于 x 轴对称的点 F 与 A，O 四点为顶点的四边形一定是平行四边形．
这时点 D 即为点 E，
∴E 点坐标为 54,−2532．
②当 AO 为平行四边形的边时，由 OA=52，
知抛物线存在点 E 的横坐标为 54+52 或 54−52，
即 154 或 −54，
分别把 x=154 和 x=−54 代入二次函数解析式 y=12x2−54x 中，
得点 E154,7532 或 E−54,7532，
∴ 在抛物线上存在三个点：E154,−2532，E2154,7532，E3−54,7532，使以 O，A，E，F 为顶点的四边形为平行四边形．
25. （1） 连接 AO，PO，
∵∠AOP=2∠ABP，
∠AOP+2∠DAP=180∘，
∴2∠ABP+2∠OAP=180∘，
即 ∠ABP+∠OAP=90∘，
又 ∵∠DAP=∠PBA，
∴∠DAP+∠OAP=90∘，
∴AD 是 ⊙O 切线．
（2） 在线段 PC 上截取 PE=PB，连接 BF，
∵PF=PB，∠BPC=60∘，
∴△PBF 是等边三角形，
∴PB=BF，∠BFP=60∘，
∴∠BFC=180∘−∠PFB=120∘，
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120∘，
∴∠BPA=∠BFC，
在 △BPA 和 △BFC 中，∠PAB=∠FCB,∠BPA=∠BFC,PB=FB,
∴△BPA≌△BFCAAS，
∴PA=FC，AB=CB，
∴PA+PB=PF+FC=PC，
∴ADBD=DPDA=APBA．
（3） ∵AD=2，PD=1，
∴BD=4，AB=2AP，
∴BP=BD−DP=3，
∵∠APD=180∘−∠BPA=60∘，
∴∠APD=∠APC，
∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，
∴∠PAD=∠PCA，
∴△ADP∽△CAP，
∴APCP=DPAP，
∴AP2=CP⋅PD，
∴AP2=3+AP⋅1，
解得：AP=1+132 或 AP=1−132（舍去），
∴AC=2AP=1+13．