2020-2021学年北京市西城区八下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区八下期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若 x−4 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
A. x4D. x≥0

2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠C＝70∘，DE⊥AB 于点 E，则 ∠ADE 的度数为
A. 30∘B. 25∘C. 20∘D. 15∘

3. 下列各式中是最简二次根式的是
A. 5B. 8C. 12D. 102

4. 下列线段 a，b，c 组成的三角形中，能构成直角三角形的是
A. a=1，b=2，c=2B. a=2，b=3，c=4
C. a=3，b=4，c=6D. a=1，b=1，c=2

5. 在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的 20 名运动员的成绩如表所示：
成绩人数143462
这些运动员成绩的众数是
A. 1.65B. 1.70C. 1.75D. 1.80

6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=1，BC=4，D 是 AB 边的中点，则 CD 的长为
A. 12B. 2C. 172D. 17

7. 下列命题中，正确的是
A. 有一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有两个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

8. 学校组织校科技节报名，每位学生最多能报 3 个项目．下表是某班 30 名学生报名项目个数的统计表：其中报名 2 个项目和 3 个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名 2 个项目和 3 个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是
报名项目个数0123人数514ab
A. 中位数，众数B. 平均数，方差C. 平均数，众数D. 众数，方差

9. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为 0,2，顶点 B，C 在第一象限，且点 C 的纵坐标为 1，则点 B 的坐标为
A. 2,3B. 32,3C. 3,23D. 3,3

10. 图 1，四边形 ABCD 是平行四边形，连接 BD, 动点 P 从点 A 出发沿折线 AB→BD→DA 匀速运动，回到点 A 后停止．设点 P 运动的路程为 x，线段 AP 的长为 y，图 2 是 y 与 x 的函数关系的大致图象，则平行四边形 ABCD 的面积为
A. 245B. 165C. 125D. 36

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 计算：72= ．

12. 已知正方形 ABCD 的对角线 AC 的长为 32，则正方形 ABCD 的边长为 ．

13. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，OE=5 cm，则 AD 的长为 cm．

14. 已知 n 是正整数，且 18−n 也是正整数，写出一个满足条件的 n 的值：n= ．

15. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，EF 平分 ∠AEC 交 BC 于点 F．若 AD=7，AE=CD=3，则 BF 的长为 ．

16. 用 4 张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形 ABCD 的面积为 10，AH=3，则正方形 EFGH 的面积为 ．

17. 为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了 5 个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表：
甲组1112131415乙组x6758
如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么 x= ．

18. 如图，点 C 在线段 AB 上，△DAC 是等边三角形，四边形 CDEF 是正方形．
（1）∠DAE= ∘；
（2）点 P 是线段 AE 上的一个动点，连接 PB，PC．若 AC=2，BC=3，则 PB+PC 的最小值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 计算：
（1）32×6；
（2）18+10÷5．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，CD 上，BE＝DF，EF 与对角线 AC 相交于点 O．求证：OE＝OF．

21. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1 丈 =10 尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽 AB=10 尺，线段 CD，CB 表示芦苇，CD⊥AB 于点 E．
（1）图中 DE= 尺，EB= 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．

22. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D 是边 AB 上的一个动点，连接 CD．作 AE∥DC，CE∥AB，连接 ED．
（1）如图 1，当 CD⊥AB 时，求证：AC=ED；
（2）如图 2，当 D 是 AB 的中点时，
①四边形 ADCE 的形状是 ；（填“矩形”、“菱形”或“正方形”）
②若 AB=10，ED=8，则四边形 ADCE 的面积为 ．

23. 对于函数 y=∣x−1∣，小芸探究了该函数的部分性质，下面是小芸的探究过程，请补充完整：
（1）①对于函数 y=∣x−1∣，当 x≤1 时，y=−x+1；当 x>1 时，y= ；
②当 x≤1 时，函数 y=∣x−1∣ 的图象如图所示，请在图中补全函数 y=∣x−1∣ 的图象；
（2）当 y=3 时，x= ；
（3）若点 A−1,y1 和 Bx2,y2 都在函数 y=∣x−1∣ 的图象上，且 y2＞y1，结合函数图象，直接写出 x2 的取值范围．

24. 某校七年级和八年级学生人数都是 200 人，学校想了解这两个年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了 40 名学生进行调查，收集了这 80 名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a. 七、八年级各抽取的 40 名学生一周阅读时长统计图（不完整）如下（两个年级的数据都分成 6 组：0≤x0），
∴∠COM=45∘，CM=a，△COM 是等腰直角三角形．
∵∠BOA=75∘，
∴∠NOC=75∘−45∘=30∘，
∴OC=2CM=2a，CN=12OC=22a．
∵dC,∠BOA=2+2，
∴a+22a=2+2，解得：a=2；
（3） dQ,∠BOA=32m+12n．
【解析】过点 Q 作 QC⊥y轴 于点 C，交 OB 于点 D，
则四边形 OMQC 是矩形，
∵Qm,n，
∴OC=QM=n，CQ=OM=m，
∵∠BOA=60∘，
∴∠BOC=90∘−60∘=30∘，
∵∠ODC=∠QDN，∠OCD=∠QND=90∘，
∴∠DQN=∠BOC=30∘，
∴CD=OC×tan30∘=33n，QD=m−33n，
∴QN=QD×cs30∘=m−33n×32=32m−12n，
∴dQ,∠BOA=QN+QM=32m−12n+n=32m+12n．
26. （1） ① DCA；90 ② 2a+b
【解析】① ∵CD∥OB，∠MON=90∘，
∴∠ACD=∠AOB=90∘．
∵AC=OB，CD=OA，
∴△AOB≌△DCASAS．
∴∠OBA=∠CAD．
∵∠CAD+∠ADC=90∘，
∴∠OBA+∠ADC=90∘．
故答案为：DCA，90；
②如图，延长 MO 到点 E，使 OE=CD，连接 DE，
∵△AOB≌△DCA，OA=a，OB=b，
∴AC=OB=b，CD=OA=a，
∵CD∥OB，OE=CD，
∴ 四边形 OCDE 是平行四边形，
∵∠OCD=90∘，
∴ 平行四边形 OCDE 是矩形．
∴DE=OC=OA+AC=a+b，
∵BE=OB+OE=a+b，
∴BD=BE2+DE2=2a+b．
故答案为：2a+b；
（2） 如图，过点 B 作 BF⊥OM，过点 C 作 CF⊥ON，交于点 F，在 CF 上截取 CD，使 CD=OA，连接 BD，AD，
∵∠MON=90∘，
∴∠OBF=∠OCF=∠MON=90∘．
∴ 四边形 OBFC 是矩形．
∴OC=BF，OB=CF，∠F=90∘．
∵AC=OB，
∴△AOB≌△DCASAS．
∴∠OBA=∠CAD，AB=AD．
∵∠OAB+∠OBA=90∘，
∴∠OAB+∠CAD=90∘．
∴∠BAD=90∘．
∴△ABD 是等腰直角三角形．
∴∠ABD=45∘．
∵OB=CF，
∴OE+BE=CD+DF．
∵BE=OA=CD，
∴OE=DF．
∵OC=BF，∠EOC=∠F=90∘，
∴△COE≌△BFDSAS．
∴∠OCE=∠FBD．
∵∠OBA+∠FBD=∠OBF−∠ABD=45∘，
∴∠OBA+∠OCE=45∘．
∴ 当点 B 在射线 OM 上运动时，β 的大小不会发生变化，其值为 45∘．
第四部分
27. 6−5，n+1−n，±7，9
【解析】（1）
∵6+56−5=1，
∴16+5=6−5；
∵n+1+nn+1−n=n+12−n2=1，
∴1n+1+n=n+1−n；
（2）
∵122+m=22−m，
∴22+m22−m=1．
∴222−m2=1，
∴m2=7，
∴m=±7；
（3）
12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99=2−1+3−2+4−3+⋯+100−99=−1+2−2+3−3+4+⋯−99+100=100−1=9.
第五部分
28. （1） ∵P，Q 分别是 AD，CD 的中点，
∴PQ 是 △ACD 的中位线，
∴PQ∥AC，
∴∠PQC+∠ACD=180∘，
∴∠PQC=180∘−α，
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠CDE=60∘，
∵Q，M 分别为 CD，CE 的中点，
∴QM∥DE，
∴∠CQM=∠CDE=60∘，
∴∠PQM=∠PQC+∠CQM=180∘−α+60∘=240∘−α．
（2） 如图：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60∘，
∵N 是 BC 中点，
∴NC=12BC=12AC，
∵P，Q 分别是 AD，CD 中点，
∴PQ 是 △ACD 的中位线，
∴PQ=12AC，
∴NC=PQ，
∵△CED 是等边三角形，
∴CE=DE，∠DCE=∠CED=60∘，
∵M 是 CE 中点，
∴CM=12CE=12DE，
∵Q，M 是 CD，CE 中点，
∴QM=12DE，QM∥DE，
∴CM=QM，∠CMQ=∠CED=60∘，
∵∠NCM=360∘−∠ACB−∠DCE−∠ACD=240∘−α，∠PQM=240∘−α，
∴∠NCM=∠PQM，
在 △CNM 和 △QPM 中，
∵CN=QP,∠NCM=∠PQM,CM=QM,
∴△CNM≌△QPMSAS，
∴MN=MP，∠NMC=∠PMQ，
∴∠CMN+∠CMP=∠PMQ+∠CMP，
即 ∠NMP=∠CMQ=60∘，
∴△PMN 是等边三角形．
29. （1） ① P1，P3
②设 Px,y，
∵ 点 P 与原点 O 的“纵 2 倍直角距离”dOP=3，
∴∣x∣+2∣y∣=3，
当 y≥0，x≥0 时，x+2y=3，即 y=−12x+32，
当 y≥0，x≤0 时，−x+2y=3，即 y=12x+32，
如图 1 所示，
【解析】① ∵ 点 P11,1，P2−4,0，P30,32，
∴dP1O=∣1−0∣+2∣1−0∣=3，dP2O=∣−4−0∣+2∣0∣=4，dP3O=∣0∣+232−0=3，
∴ 与原点 O 的“纵 2 倍直角距离”的点是 P1，P3．
（2） 如图，
与原点 O 的“纵 2 倍直角距离”等于 3 的点组成图形是四边形 ABCD，直线 y=2x+b 经过 A 点或 C 点时，与四边形只有一个公共点，当直线 y=2x+b 与 x 轴交点在 AC 之间时，与菱形有两个公共点，
当直线，y=2x+b 经过 A 点 −3,0 时：2×−3+b=0，解得：b=6，
当直线，y=2x+b 经过 A 点 3,0 时：2×3+b=0，解得：b=−6，
∴b 的取值范围为 −6