2020-2021学年北京市朝阳区八下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市朝阳区八下期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式
A. 20B. 2C. 12D. 0.2

2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是
A. 5，12，13B. 1，2，3C. 3，3，3D. 4，5，6

3. 一个菱形的两条对角线的长度分别是 6 cm 和 8 cm，这个菱形的面积是
A. 12 cm2B. 14 cm2C. 24 cm2D. 48 cm2

4. 下列计算正确的是
A. 2+3=5B. 32−2=3C. 2×3=6D. 10÷5=2

5. 对八年级 500 名学生某次数学检测的成绩（百分制）进行了两次统计，第一次统计时，系统把一位缺考同学的成绩自动填充为该次检测唯一的零分，第二次统计时，老师删去了这个零分，则以下统计量在这两次统计中一定保持不变的是
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差

6. 若四边形 ABCD 是 甲，则四边形 ABCD 一定是 乙，甲、乙两空可以填
A. 平行四边形，矩形B. 矩形，菱形
C. 菱形，正方形D. 正方形，平行四边形

7. 如图，A，B 为 5×5 的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以 A，B 为顶点的格点矩形共可以画出
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

8. 如图，中国国家博物馆收藏了元代制作的计时工具“铜壶滴漏”，这这是目前发现形制最大、最完备的一个多级滴漏，从 1316 年使用到 1919 年，一直为人民报时、计时．从上至下的四个铜壶依次名为“日壶”、“月壶”、“星壶”、“受水壶”，通过多级滴漏，使得“星壶”中的水可以匀速滴入圆柱形的“受水壶”中，“受水壶”中带有刻度的木箭随着水位匀速上移，对准标尺就能读出相应的时间，在一天中，“受水壶”中的水面高度 h 与时间 t 的函数图象可能是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若二次根式 x−1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

10. 请写出一个 y 随 x 的增大而减小的正比例函数的表达式 ．

11. 为了庆祝中国共产党成立 100 周年，加深同学们对中国共产党历史的认识，激发爱党、爱国热情，某班举行了党史知识竞赛，成绩统计如下表，这组数据的中位数是 ．
成绩百分制80859095100人数125216

12. 一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是 86 和 90，公司给出他这两项测试的平均成绩为 87.6，可知此次招聘中 （填“面试”或“笔试”）的权重较大．

13. 如图，在 △ABC 一中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点．若 DE=3，则 BC= ．

14. 如图，函数 y=kx+bk≠0 的图象经过点 1,2，则不等式 kx+b>2 的解集为 ．

15. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，P 为 AB 边上一动点（不与点 A，B 重合）， PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F，若 AB=4，∠BAD=60∘，则 EF 的最小值为 ．

16. 若直线 y=kx+2 与两条坐标轴围成的三角形的面积是 2，则 k 的值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：12−313+2−3．

18. 已知：∠AOB．
求作：∠AOB 的平分线．
作法：①以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D；
②分别以点 C，D 为圆心，OC 长为半径画弧，两弧在 ∠AOB 的内部相交于点 P；
③画射线 OP．
射线 OP 即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 PC，PD．
由作法可知 OC=OD=PC=PD．
∴ 四边形 OCPD 是 ．
∴OP 平分 ∠AOB（ ）（填推理的依据）．

19. 如图，E，F 是平行四边形 ABCD 的对角线 BD 所在直线上的两点，且 DE=BF，求证：四边形 AECF 是平行四边形．

20. 一次函数的图象经过点 −1,0 和 0,2．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）若直线 y=nx 与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出 n 的取值范围．

21. 如图，A，B，H 是直线 l 上的三个点，AC⊥l 于点 A，BD⊥l 于点 B，且 HC=HD，AB=5，AC=2，BD=3，求 AH 的长．

22. 在 2020 年开展的第七次全国人口普查，是在中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查，全面查清中国人口数量、结构、分布、城乡住房等方面的情况，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程，向第二个百年奋斗目标进军，提供科学准确的统计信息支持．
下面给出了本次调查公布的部分数据：
a.图 1 为 2010 年（第六次）、 2020 年（第七次）统计的各省、自治区、直辖市的常住人口占全国人口比重的统计图．（注：图 1 中射线为两轴夹角的角平分线）
b.图 2 为七次人口普查中全国人口和年平均增长率的统计图，其中后两次统计中全国人口分为 65 岁以下人口和 65 岁及以上人口．
（说明：数据来自国家统计局官方网站，所有数据为大陆所有省、自治区、直辖市和现役军人的人口．）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）从 2010 年到 2020 年，常住人口占全国人口的比重增长最多的是广东省，请在图 1 中用“∘”圈出表示广东省的点；
（2）2010 年各地区人口比重的方差为 s12，2020 年各地区人口比重的方差为 s22，由图 1 可知 s12 s22（填“>”，“<”，“=”）．
（3）由图 2 可知，下列推断合理的是 （填写序号）．
①在这七次调查中，全国人口数量每次都在增加；
②在这七次调查中，从 1982 年往后，全国人口的年均增长率逐渐下降，说明全国人口每年增加的数量都在减小；
③当一个国家或地区 65 岁及以上老年人口数量占总人口比例超过 7% 时，意味着这个国家或地区进入老龄化，从最近两次人口普查数据可以看出，中国老龄化问题日趋严重．

23. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点（不与点 A，B 重合），CF⊥DE 于点 G，交 AD 于点 F，连接 BG．
（1）求证：AE=DF；
（2）是否存在点 E 的位置，使得 △BCG 为等腰三角形?若存在，写出一个满足条件的点 E 的位置并证明；若不存在，说明理由．

24. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数 a，b，
M=a+b2 称为 a，b 这两个数的算术平均数，
N=ab 称为 a，b 这两个数的几何平均数，
P=a2+b22 称为 a，b 这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他探究过程，请你补充完整：
（1）若 a=−1，b=−2，则 M= ，N= ，P= ；
（2）小聪发现当 a，b 两数异号时，在实数范围内 N 没有意义，所以决定只研究当 a，b 都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为 a+b 的正方形和它的两条对角线，则图 1 中阴影部分的面积可以表示 N2．
①请分别在图 2，图 3 中用阴影标出一个面积为 M2，P2 的图形；
②借助图形可知当 a，b 都是正数时，M，N，P 的大小关系是： （把 M，N，P 从小到大排列，并用“<”或“≤”号连接）．

25. 对于两个实数 a，b，规定 Maxa,b 表示 a，b 两数中较大者，特殊地，当 a=b 时，Maxa,b=a．如：Max1,2=2，Max−1,−2=−1，Max0,0=0．
（1）Max−1,0= ，Maxn,n−2= ；
（2）对于一次函数 y1=−x−2，y2=x+b，
①当 x≥−1 时，Maxy1,y2=y2，求 b 的取值范围；
②当 x=1−b 时，Maxy1,y2=p，当 x=1+b 时，Maxy1,y2=q，若 p≤q，直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】A、 20=25，则 20 不是最简二次根式，此项不符题意；
B、 2 是最简二次根式，此项符合题意；
C、 12=22，则 12 不是最简二次根式，此项不符题意；
D、 0.2=15=55，则 0.2 不是最简二次根式，此项不符题意；
故选：B．
2. A【解析】A、 52+122=169=132，可以构成直角三角形，则此项符合题意；
B、 1+2=3，不可以构成三角形，则此项不符题意；
C、 32+32=18≠32，不可以构成直角三角形，则此项不符题意；
D、 42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，则此项不符题意；
3. C【解析】∵ 这个菱形的两条对角线的长度分别是 6 cm 和 8 cm，
∴ 它的面积为 12×6×8=24cm2．
4. C【解析】A，2 与 3 不是同类二次根式，不可合并，此项错误；
B，32−2=22，此项错误；
C，2×3=6，此项正确；
D，10÷5=2，此项错误；
故选：C．
5. B
【解析】设另外 499 名学生的成绩总和为 aa>0，
则第一次统计时，平均数为 a+0500=a500，第二次统计时，平均数为 a499，
因此，平均数一定发生了变化，
由方差的计算公式可知，因为平均数改变了，所以方差有可能也发生变化，
由中位数的定义可知，这组数据由第一次的 500 个变成了第二次的 499 个，则中位数有可能发生变化．
由众数的定义可知，众数是指这组数据中出现次数最多的，因为这个零分是唯一的一个，所以删去后，众数一定保持不变．
6. D【解析】A、若四边形 ABCD 是平行四边形，则四边形 ABCD 一定是矩形，此命题是假命题，则此项不符题意；
B、若四边形 ABCD 是矩形，则四边形 ABCD 一定是菱形，此命题是假命题，则此项不符题意；
C、若四边形 ABCD 是菱形，则四边形 ABCD 一定是正方形，此命题是假命题，则此项不符题意；
D、若四边形 ABCD 是正方形，则四边形 ABCD 一定是平行四边形，此命题是真命题，则此项符合题意；
故选：D．
7. D【解析】共可以画出以下 4 个格点矩形：
8. A【解析】由题意得：高度 h 与时间 t 成正比例关系，观察四个选项可知，只有选项A的函数图象符合．
第二部分
9. x≥1
【解析】∵ 二次根式 x−1 在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，
解得，x≥1．
10. y=−x（答案不唯一）
【解析】由题意得：正比例函数的一次项的系数小于 0，
则正比例函数 y=−x 即为符合题意的函数．
11. 95
【解析】这组数据的个数为 1+2+5+21+6=35，
将这组数据按从小到大进行排序后，第 18 个数即为中位数，
由表格可知，按从小到大进行排序后，第 18 个数是 95，
则这组数据的中位数是 95．
12. 面试
【解析】设此次招聘中面试的权重为 a，则笔试的权重为 1−a，
由题意得：86a+901−a1=87.6，
解得 a=0.6，
1−a=0.4<0.6，
则此次招聘中面试的权重较大．
13. 6
【解析】∵ 一点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线，
∴BC=2DE=2×3=6．
故答案为：6．
14. x>1
【解析】由图象可得：当 x>1 时，kx+b>2，
所以不等式 kx+b>2 的解集为 x>1．
15. 3
【解析】如图，连接 OP，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，AB=4，∠BAD=60∘，
∴∠OAB=12∠BAD=30∘，OA⊥OB，
在 Rt△AOB 中，OB=12AB=2，OA=AB2−OB2=23，
又 ∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴ 四边形 OEPF 是矩形，
∴EF=OP，
由垂线段最短可知，当 OP⊥AB 时，OP 取得最小值，
则此时在 Rt△AOP 中，OP=12OA=3，
即 EF 的最小值为 3．
16. ±1
【解析】由题意得：k≠0，
当 y=0 时，kx+2=0，解得 x=−2k；
即直线 y=kx+2 与 x 轴的交点坐标为 −2k,0，
当 x=0 时，y=2，即直线 y=kx+2 与 y 轴的交点坐标为 0,2，
则 12×2−2k=2，
解得 k=±1，
经检验，k=±1 是所列方程的解．
第三部分
17. 原式=23−3×33+2−3=3−3+2=2.
18. （1） 如图，
射线 OP 即为所求．
（2） 菱形；菱形的每条对角线平分一组对角
【解析】证明：连接 PC，PD．
由作法可知，OC=OD=PC=PD．
∴ 四边形 OCPD 是菱形．
∴OP 平分 ∠AOB（菱形的每条对角线平分一组对角）．
19. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=CB，
∴∠ADE=∠CBF，
∵DE=BF，
∴△ADE≌△CBFSAS，
∴AE=CF，∠DEA=∠BFC，
∵∠DEA+∠AEF=∠BFC+∠CFE=180∘，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形．
20. （1） 设这个一次函数的表达式为 y=kx+bk≠0，
由题意，将点 −1,0 和 0,2 代入得：−k+b=0,b=2,
解得 k=2,b=2,
则这个一次函数的表达式为 y=2x+2．
（2） 0【解析】∵ 直线 y=nx 与一次函数 y=2x+2 的图象相交，
∴n≠2，
联立 y=2x+2,y=nx,
解得 x=2n−2,y=2nn−2,
即这两个函数的交点坐标为 2n−2,2nn−2，
∵ 这两个函数的交点在第三象限，
∴2n−2<0 ①，且 2nn−2<0，
解不等式①得：n<2，
∵2n−2<0，要使 2nn−2<0 成立，则 n>0，
综上，n 的取值范围是 021. 设 AH=xx>0，则 BH=AB−AH=5−x，
∵AC⊥l 于点 A，BD⊥l 于点 B，
∴△ACH 和 △BDH 都是直角三角形，
在 Rt△ACH 中，HC2=AC2+AH2=4+x2，
在 Rt△BDH 中，HD2=BD2+BH2=9+5−x2=34−10x+x2，
∵HC=HD，
∴HC2=HD2，
即 4+x2=34−10x+x2，
解得 x=3，
即 AH 的长为 3．
22. （1） 找出位于射线上方，且离射线最远的点即为随求，如图所示：
（2） <
【解析】由图 1 可看出，2010 年各地区人口比重比 2020 年各地区人口比重分布的更加集中，波动更小，
则 s12 （3） ①③
【解析】在这七次调查中，全国人口数量每次都在增加，则推断①合理；
由年均增长率折线可知，从 1982 年往后，全国人口的年均增长率逐渐下降（2.09>1.48>1.07>0.57>0.53），但是每年的人口总数是增加，全国人口每年增加的数量等于前一年的人口数量与对应的年增长率的乘积，故无法确定全国人口每年增加的数量都在减小，则推断②不合理；
2010 年：全国 65 岁及以上老年人口数量占总人口比例约为 135000−120000120000×100%=12.5%>7%，
2020 年：全国 65 岁及以上老年人口数量占总人口比例约为 140000−120000120000×100%≈16.7%>12.5%>7%，
则从最近两次人口普查数据可以看出，中国老龄化问题日趋严重，推断③合理；
综上，推断合理的是①③．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=DC=BC，∠A=∠CDF=∠ABC=90∘，
∴∠ADE+∠CDE=90∘，
∵CF⊥DE，
∴∠DCF+∠CDE=90∘，
∴∠ADE=∠DCF，
在 △ADE 和 △DCF 中，∠A=∠CDF,AD=DC,∠ADE=∠DCF,
∴△ADE≌△DCFASA，
∴AE=DF．
（2） 存在，当点 E 为 AB 边的中点时，△BCG 为等腰三角形，证明如下：
如图，延长 DE，CB，交于点 H，
∵ 点 E 为 AB 边的中点，
∴AE=BE，
在 △ADE 和 △BHE 中，∠AED=∠BEH,AE=BE,∠A=∠EBH=90∘,
∴△ADE≌△BHEASA，
∴AD=BH，
∵AD=BC，
∴BC=BH，
∴BG 是 Rt△CGH 斜边 CH 上的中线，
∴BG=BC，
∴△BCG 为等腰三角形．
24. （1） −32；2；102
【解析】当 a=−1，b=−2 时，
M=a+b2=−1−22=−32，
N=ab=−1×−2=2，
P=a2+b22=−12+−222=52=102．
（2） ①如图所示，
② N≤M≤P
【解析】① M2=a+b22=a+b24=a−b2+4ab4=a−b24+ab，
则用阴影标出一个面积为 M2 的图形如下所示：
P2=a2+b22=a−b2+2ab2=a−b22+ab，
则用阴影标出一个面积为 P2 的图形如下所示：
②由（2）①可知，N2≤M2≤P2，当且仅当 a−b=0，即 a=b 时，等号成立，
∵a，b 都是正数，
∴M，N，P 都是正数，
∴N≤M≤P．
25. （1） 0；n
【解析】由题意得：Max−1,0=0，
∵n>n−2，
∴Maxn,n−2=n，
（2） ①对于一次函数 y1=−x−2，y2=x+b，
当 x=−1 时，y1=1−2=−1，y2=−1+b，
画出两个函数的图象如下所示：
当 x≥−1 时，Maxy1,y2=y2，即 y2≥y1，
由函数图象得：−1+b≥−1，
解得 b≥0；
② b 的取值范围为 b≤−4 或 b≥0．
【解析】②对于一次函数 y1=−x−2，y2=x+b，
当 x=1−b 时，y1=b−1−2=b−3，y2=1−b+b=1，
当 x=1+b 时，y1=−1−b−2=−b−3，y2=1+b+b=1+2b，
令 b−3=1，解得 b=4，
令 −b−3=1+2b，解得 b=−43，
则分以下三种情况：
（ⅰ）当 b<−43 时，b−3<1，−b−3>1+2b，
则 p=1，q=−b−3，
由 p≤q 得：1≤−b−3，
解得 b≤−4，符合题设；
（ⅱ）当 −43≤b≤4 时，b−3≤1，−b−3≤1+2b，
则 p=1，q=1+2b，
由 p≤q 得：1≤1+2b，
解得 b≥0，
则此时 b 的取值范围为 0≤b≤4；
（ⅲ）当 b>4 时，b−3>1，−b−3<1+2b，
则 p=b−3，q=1+2b，
由 p≤q 得：b−3≤1+2b，
解得 b≥−4，
则此时 b 的取值范围为 b>4；
综上，b 的取值范围为 b≤−4 或 b≥0．