2020-2021学年北京市朝阳区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市朝阳区九上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 用配方法解方程 3x2−6x+2=0，将方程变为 x−m2=13 的形式，则 m 的值为
A. 9B. −9C. 1D. −1

3. 正方体的棱长为 x，表面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式为
A. y=16xB. y=6xC. y=6x2D. y=6x

4. 若 ⊙O 的内接正 n 边形的边长与 ⊙O 的半径相等，则 n 的值为
A. 4B. 5C. 6D. 7

5. 下列方程中，无实数根的方程是
A. x2+3x=0B. x2+2x−1=0C. x2+2x+1=0D. x2−x+3=0

6. 如图，一个可以自由转动的转盘被分为 8 个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停止后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是
A. 指针指向黄色的概率为 23
B. 指针不指向红色的概率为 34
C. 指针指向红色或绿色的概率为 12
D. 指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率

7. 如图，在半径为 1 的扇形 AOB 中，∠AOB=90∘，点 P 是 AB 上任意一点（不与点 A，B 重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为 C，D，则 CD 的长为
A. 12B. 22C. 32D. 1

8. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=kx 交于 M，N 两点，则二次函数 y=ax2+b−kx+c 的图象可能是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为 cm．

10. 如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P 是网格线交点．若 ∠APB=α，则 ∠BPC 的度数为 （用含 α 的式子表示）．

11. 一元二次方程 x2−3x+1=0 的根为 ．

12. 下列事件，
①通常加热到 100∘C，水沸腾；
②人们外出旅游时，使用手机 app 购买景点门票；
③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于 180∘．
其中是随机事件的是 （只填写序号即可）．

13. 在同一个平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y1=a1x2，y2=a2x2，y3=a3x2 的图象如图所示，则 a1，a2，a3 的大小关系为 ．

14. 响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年 6 月份盈利 24000 元，8 月份盈利 34560 元，求 6 月份到 8 月份盈利的月平均增长率．设 6 月份到 8 月份盈利的月平均增长率为 x，根据题意，可列方程为 ．

15. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等边 △ABC 的顶点 A 在 y 轴的正半轴上，B−5,0，C5,0，点 D11,0，将 △ACD 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到 △ABE，则 BC 的长度为 ，线段 AE 的长为 ，图中阴影部分面积为 ．

16. 不透明的盒子中装有红、黄色的小球共 20 个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是 300 时，记录“摸到红球”的次数是 99，所以“摸到红球”的概率是 0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在 0.35 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是 0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球 7 个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为 500 时，“摸到红球”的频率一定是 0.40．
所有合理推断的序号是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 关于 x 的一元二次方程 x2+2m−1x+m2+m−2=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若 m 为正整数，写出一个符合条件的 m 的值并求出此时方程的根．

18. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了 △ABC 和点 D（A，B，C，D 是网格线交点）．
（1）画出一个 △DEF，使它与 △ABC 全等，且点 D 与点 A 是对应点，点 E 与点 B 是对应点，点 F 与点 C 是对应点（要求：△DEF 是由 △ABC 经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．
（2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点 C 和点 F 的坐标．

19. 已知：如图，△ABC 中，∠C=90∘．
求作：∠CPB=∠A，使得顶点 P 在 AB 的垂直平分线上．
作法：
①作 AB 的垂直平分线 l，交 AB 于点 O；
②以 O 为圆心，OA 为半径画圆，⊙O 与直线 l 的一个交点为 P（点 P 与点 C 在 AB 的两侧）；
③连接 BP，CP．
∠CPB 就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明．
证明：连接 OC，
∵l 为 AB 的垂直平分线，
∴OA= ．
∵∠ACB=90∘，
∴OA=OB=OC．
∴ 点 A，B，C 都在 ⊙O 上．
又 ∵ 点 P 在 ⊙O 上，
∴∠CPB=∠A（ ）（填推理依据）．

20. 12 月 4 日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：
（1）频数分布表中，m= ．
（2）从 70≤x<75 中，随机抽取 2 名学生，那么所抽取的学生中，至少有 1 人是一班学生的概率是多少?

21. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，D 是 BC 的中点，过点 D 作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 E，连接 AD．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线．
（2）连接 CD，若 ∠CDA=30∘，AC=2，求 CE 的长．

22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx−3 与直线 y=−x−1 交于点 A−1,0，Bm,−3．点 P 是线段 AB 上的动点．
（1）① m= ．
②求抛物线的解析式．
（2）过点 P 作直线 l 垂直于 x 轴，交抛物线 y=ax2+bx−3 于点 Q，求线段 PQ 的长最大时，点 P 的坐标．

23. 在等腰直角 △ABC 中，AB=AC，∠A=90∘，过点 B 作 BC 的垂线 l，点 P 为直线 AB 上的一个动点（不与点 A，B 重合），将射线 PC 绕点 P 顺时针旋转 90∘ 交直线 l 于点 D．
（1）如图 1，点 P 在线段 AB 上，依题意补全图形．
①求证：∠BDP=∠PCB．
②用等式表示线段 BC，BD，BP 之间的数量关系，并证明．
（2）点 P 在线段 AB 的延长线上，直接写出线段 BC，BD，BP 之间的数量关系．

24. 已知抛物线 y=ax2+2ax+3a2−4．
（1）该抛物线的对称轴为 ．
（2）若该抛物线的顶点在 x 轴上，求抛物线的解析式．
（3）设点 Mm,y1，N2,y2 在该抛物线上，若 y1>y2，求 m 的取值范围．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中 ⊙O 的半径为 2，A，B 为 ⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段 AB，使线段 AB 的一个端点落在 ⊙O 上，其他部分不在 ⊙O 外，点 A，B 的对应点分别为点 Aʹ，Bʹ，线段 AAʹ 长度的最大值称为线段 AB 到 ⊙O 的“极大距离”，记为 dAB,⊙O．
（1）若点 A−4,0．
①当点 B 为 −3,0，如图所示，平移线段 AB，在点 P1−2,0，P2−1,0，P31,0，P42,0 中，连接点 A 与点 的线段的长度就是 dAB,⊙O．
②当点 B 为 −4,1，求线段 AB 到 ⊙O 的“极大距离”所对应的点 Aʹ 的坐标．
（2）若点 A−4,4，dAB,⊙O 的取值范围是 ．
答案
第一部分
1. A【解析】A选项：既是轴对称图形又是中心对称图形，故A正确；
B选项：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B错误；
C选项：是轴对称图形但不是中心对称图形，故C错误；
D选项：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故D错误．
2. C【解析】移项得：3x2−6x=−2，
二次系数化为 1 得：x2−2x=−23，
方程两边加上 1 得：x2−2x+1=−23+1，
所以 x−12=13，
则 m 的值为 1．
3. C【解析】∵ 棱长为 x，
∴ 正方体的每个面的面积为 x2，
且正方体有 6 个面，
则表面积 y=6x2．
4. C【解析】∵⊙O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，
∴ 这个多边形的中心角 =60∘，
∴360∘n=60∘，
∴n=6．
5. D
【解析】A选项：x2+3x=0，xx+3=0，x1=0，x2=−3，
∴ 该方程有实数根，故A错误；
B选项：x2+2x−1=0，Δ=22−4×1×−1=8>0，
∴ 该方程有实数根，故B错误；
C选项：x2+2x+1=0，x+12=0，x1=x2=−1，
∴ 该方程有实数根，故C错误；
D选项：x2−x+3=0，Δ=−12−4×1×3=−11<0，
∴ 该方程无实数根，故D正确．
6. B【解析】一个转盘被分成 8 个大小相同的扇形，上面分别标有红、黄、绿，
且红色为 2 份，黄色为 3 份，绿色为 3 份，
则指针指向黄色的概率为 38，故A错误；
指针不指向红色的概率为 68=34，故B正确；
指针指向红色或绿色的概率为 2+38=58，故C错误；
指针指向绿色的概率为 38；指针指向黄色的概率为 38，故指针指向绿色和黄色的概率相同，故D错误．
7. B【解析】连接 AB，
因为 ∠AOB=90∘，OA=OB=1，
所以 AB=OA2+OB2=2，
因为 OC⊥AP，OD⊥BP
所以 AC=PC，PD=BD，
所以 CD=12AB=22，
故选B．
8. A【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=kx 交于 M，N 它两点，M，N 都在第二象限，
∴ 二次函数 y=ax2+b−kx+c 的图象与 x 轴有两个交点，且与 x 轴的两个交点都在 x 轴负半轴．
第二部分
9. 1.5
【解析】由图可知，圆的半径为 1.5 cm．
10. 90∘−α
【解析】设小正方形的边长为 1，
∴AP2=32+33=18，
PC2=32+32=18，
AC2=62=36，
∴AP2+PC2=AC2，
∴∠APC=90∘，
∵∠APB=α，
∴∠BPC=∠APC−∠APB=90∘−α．
11. 3±52
【解析】∵a=1，b=−3，c=1，
∴Δ=b2−4ac=9−4×1×1=5，
x=−b±b2−4ac2a=3±52×1=3±52，
∴x1=3+52，x2=3−52．
12. ②
【解析】①通常加热到 100∘C，水沸腾是必然事件；
②人们外出旅游时，使用手机 app 购买景点门票是随机事件；
③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于 180∘ 是不可能事件，
∴ 其中是随机事件的是②．
13. a1【解析】二次函数图象中，当二次项系数的绝对值越大，开口越小，
∴ 由函数图象可知，a114. 240001+x2=34560
【解析】根据题意，可列方程为：240001+x2=34560．
15. 103π，14，16π
【解析】∵△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到 △ABE，
∴△ACD≌△ABE，∠CAB=∠DAE=60∘，
∴AB=AC，AE=AD，
∵B−5,0，C5,0，D11,0，
∴OB=OC=5，OD=11，
∵OA⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=10，
∴OA=3OC=53，∠BAC=60∘，
∴BC=60π×10180=10π3，
在 Rt△AOD 中，
AD=OA2+OD2=532+112=14.
∴AE=AD=14，
S阴影部分=S扇形ABD+S△ABE−S扇形ABC−S△ACD=S扇形ABD−S扇形ABC=60π×142360−60π×102360=16π.
16. ①②③
【解析】①当摸球次数是 300 次时，摸到红球的次数是 99 次，则“摸到红球”的概率 99÷300=0.33，故①正确；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在 0.35 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是 0.35，故②正确；
③由多次的试验数据测数“摸到红球”的概率约为 0.35，而盒中有红球和黄球共 20 个，则盒子中红球的个数约为 20×0.35=7 个，故③正确；
④由多次的试验数据测数“摸到红球”的概率约为 0.35；若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为 500 时，“摸到红球”的频率应为 0.35 左右，不一定是 0.40，故④错误；
∴ 合理推断的是①②③．
第三部分
17. （1） ∵x 的一元二次方程 x2+2m−1x+m2+m−2=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=2m−12−4×1×m2+m−2=4m2−4m+1−4m2−4m+8=−8m+9,
∴−8m+9>0，
∴m<98．
（2） 根据题意，m 为正整数，则 m 取 1，
把 m=1 代入方程 x2+2×1−1x+12+1−2=0，
整理得：x2+x=0，
解得：x1=0，x2=−1．
18. （1） 答案不唯一，如图所示．
（2） C0,0，F4,2．
19. （1） 所作图形如下：
（2） OB；同弧所对的圆周角相等
【解析】连接 OC，
∵l 为 AB 的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵∠ACB=90∘，
∴OA=OB=OC．
∴ 点 A，B，C 都在 ⊙O 上．
又 ∵ 点 P 在 ⊙O 上，
∴∠CPB=∠A（同弧所对的圆周角相等）．
20. （1） 3
【解析】∵ 各班人数相同，
∴ 一个班一共有 2+0+3+7+8+0=20 人，
∴m=20−0+3+7+5+2=3．
（2） 一班有 2 人，分别记为 A，B；四班有 3 人，分别记为 C，D，E．
随机抽取 2 人的情况有 AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE．
至少有 1 人是一班学生的情况有 AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE．
所以至少有 1 人是一班学生的概率 710．
21. （1） 如图 1，连接 OD，
∵D 是 BC 的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图 2，连接 OC，
∵∠CDA=30∘，
∴∠AOC=2∠CDA=60∘，
∴△AOC 是等边三角形，
∴ 由（1）可得，四边形 ACDO 是菱形，
∴CD=AC=2，∠CDE=30∘，
∴CE=1．
22. （1） ① 2
② 由①得，点 B2,−3，
∵ 点 A−1,0，B2,−3 在抛物线 y=ax2+bx−3 上，
∴ a−b−3=0,4a+2b−3=−3,
解得 a=1,b=−2,
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−2x−3．．
【解析】①将 Bm,−3 代入 y=−x−1 中得，−m−1=−3，
解得 m=2．
（2） 设点 P 的横坐标为 x，其中 −1≤x≤2，
∴ 点 Px,−x−1，点 Qx,x2−2x−3，
∴PQ=−x2+x+2，
∴ 当 x=12 时，PQ 最大，
此时点 P 的坐标是 12,−32．
23. （1） ①如图①，设 PD 与 BC 的交点为 E．
根据题意可知 ∠CPD=90∘，
∵BC⊥l，
∴∠DBC=90∘，
∴∠BDP+∠BED=∠PCB+∠PEC=90∘，
∴∠BDP=∠PCE．
②如图②，过点 P 作 PF⊥BP 交 BC 于点 F，
∵AB=AC，∠A=90∘，
∴∠ABC=45∘，
∴BP=PF，∠PFB=45∘，
∴∠PBD=∠PFC=135∘．
∵∠BPF=∠CPD=90∘，
∴∠BPF−∠DPF=∠CPD−∠DPF，
∴∠BPD=∠FPC，
在 △BPD 和 △FPC 中，
∠BPD=∠FPC,BP=FP,∠PBD=∠PFC.
∴△BPD≌△FPCASA．
∴BD=FC，
∵BF=2BP，
∴BC−BD=2BP．
（2） BD−BC=2PB．
【解析】过点 P 作 PM⊥AP 交直线 l 于点 M，
∵AB=AC，∠A=90∘，
∴∠ABC=45∘，
∴∠PBM=180∘−∠ABC−∠CBD=45∘，
∵PM⊥PA，
∴∠MPA=90∘，
∴∠PMB=∠PBM=45∘，
∴PM=PB，∠PMD=∠PBC=135∘，
∵∠BPM=∠CPD=90∘，
∴∠BPM−∠MPC=∠CPD−∠MPC，
∴∠BPC=∠MPD，
在 △PBC 和 △PMD 中，
∠BPM=∠MPD,PB=PM,∠PBC=∠PMD.
∴△PBC≌△PMDASA，
∴BC=MD，
∵BM=2PB，
∴BD=BM+DM=2PB+BC，
即 BD−BC=2PB．
24. （1） x=−1
【解析】y=ax2+2ax+3a2−4，
∴x=−2a2×a=−1，
∴ 该抛物线的对称轴为直线 x=−1．
（2） ∵ 抛物线顶点在 x 轴上，
∴ 顶点坐标为 −1,0．
解得 a=−1 或 a=43，
∴ 抛物线解析式为 y=−x2−2x−1 或 y=43x2+83x+43．
（3） ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−1，
∴N2,y2 关于直线 x=−1 的对称点为 Nʹ−4,y2．
（i）当 a>0 时，若 y1>y2，则 m<−4 或 m>2；
（ii）当 a<0 时，若 y1>y2，则 −425. （1） ① P3
②如图，当点 A 平移至 ⊙O 上的 Aʹ 时，AAʹ 最长，
OAʹ=2，AʹBʹ=1⇒OBʹ=OAʹ2+OBʹ2=3，
∴Aʹ3,−1．
【解析】①当 AB 沿 x 轴向右平移至点 B 与 P4 重合时，A→P3，此时 AAʹ 最长．
（2） 42−2≤d≤42+2
【解析】如图所示，以 A 为圆心，半径为 1 的圆上的点为 B 的可取范围，
A 到 O 的距离易得为 42，
AAʹ 最小值即 A1A1ʹ=42−2，
最大值即 A2A2ʹ=42+2．