2019年浙江省温州市龙湾区中考数学二模试卷

这是一份2019年浙江省温州市龙湾区中考数学二模试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −2019 的相反数是
A. 2019B. −2019C. 12019D. −12019

2. 如图所示的支架是由两个长方体构成的组合体，则它的俯视图是
A. B.
C. D.

3. 安居物业管理公司对某小区一天的垃圾进行了分类统计，并将统计结果绘制成如图所示的扇形统计图．若某一天产生的垃圾约为 300 kg，则该小区这一天产生的可回收垃圾约为
A. 15 kgB. 45 kgC. 105 kgD. 135 kg

4. 一次函数 y=2x+4 的图象与 y 轴交点的坐标
A. 0,−4B. 0,4C. 2,0D. −2,0

5. 如图，一个小球沿倾斜角为 α 的斜坡向下滚动，csα=45．当小球向下滚动了 2.5 米时，则小球下降的高度是
A. 2.5 米B. 2 米C. 1.5 米D. 1 米

6. 若关于 x 的一元二次方程 4x2−4x+c=0 有两个相等的实数根，则 c 的值是
A. 4B. −4C. 1D. −1

7. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=28∘．分别以点 A，B 为圆心大于 12AB 的长为半径画弧，两弧交于点 D 和 E，直线 DE 交 AB 于点 F，连接 CF，则 ∠AFC 的度数为
A. 62∘B. 60∘C. 58∘D. 56∘

8. 有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克 a 元和 b 元．根据调查，将两种糖果按甲种糖果 x 千克与乙种糖果 y 千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现在糖果价格有了调整：甲种糖果单价下降 15%，乙种糖果单价上涨 20%，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，则 xy 等于
A. 3a4bB. 4a3bC. 3b4aD. 4b3a

9. 如图，已知点 A，点 C 在反比例函数 y=kxk>0,x>0 的图象上，AB⊥x 轴于点 B，连接 OC 交 AB 于点 D，若 CD=2OD，则 △BDC 与 △ADO 的面积比为
A. 13B. 14C. 15D. 16

10. 如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出 5 cm，宽留出 1 cm，则该六棱柱的侧面积是
A. 108−243cm2B. 108−123cm2
C. 54−243cm2D. 54−123cm2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：m2−8m+16= ．

12. 小明有 5 把钥匙，其中有 2 把钥匙能打开教室门，则小明任取一把钥匙，恰好能打开教室门的概率是 ．

13. 如果式子 4−2x 有意义，则 x 的取值范围是 ．

14. 如图所示，在扇形 AOC 中，∠AOC=120∘，OA=4，以点 O 为圆心在其同侧画扇形 BOD，∠BOD=60∘，OB=2，且 △AOB≌△COD，则阴影部分的面积是 ．

15. 如图，以菱形 ABCD 的对角线 AC 为边，在 AC 的左侧作正方形 ACEF，连接 FD 并延长交 EC 于点 H．若正方形 ACEF 的面积是菱形 ABCD 面积的 1.4 倍，CH=6，则 EF= ．

16. 小明家的门框上装有一把防盗门锁（如图 1）．其平面结构图如图 2 所示，锁身可以看成由两条等弧 AD，BC 和矩形 ABCD 组成，BC 的圆心是倒锁按钮点 M．其中 AD 的弓高 GH=2 cm，AD=8 cm，EP=11 cm．当锁柄 PN 绕着点 N 旋转至 NQ 位置时，门锁打开，此时直线 PQ 与 BC 所在的圆相切，且 PQ∥DN，tan∠NQP=2，则 AB 的长度约为 cm．（结果精确到 0.1 cm，参考数据：3≈1.732，5≈2.236）

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 请回答下列问题：
（1）计算：−20+∣−5∣−12−1．
（2）化简：a+1a−1−aa−2．

18. 如图，点 D 是等边 △ABC 内一点，将线段 AD 绕着点 A 逆时针旋转 60∘ 得到线段 AE，连接 CD 并延长交 AB 于点 F，连接 BD，CE．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）当 CF⊥AB 时，∠ADB=140∘，求 ∠ECD 的度数．

19. 如图，这是一张 6×6 的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的端点均在格点上．请按要求完成下列作图：
①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；
②保留作图痕迹．
（1）请以线段 AB 为斜边作等腰直角 △ABC（作出一个即可）；
（2）在（1）的基础上，作出 BC 边上的中线 AD．

20. 为让学生感受中华诗词之美，某校九年级举行了“诗词大赛”，为了解九年级A，B两班学生的“诗词大赛”成绩，分别从每班 50 名学生中各随机抽取 20 人的“诗词大赛”成绩（满分为 40 分，成绩均为整数），制成如图所示的统计图．
（1）若将不低于 35 分的成绩评为优秀，请你估计一下哪个班级优秀人数多?多几人?
（2）请你选择适当的统计量来说明A，B两班哪个班级的整体成绩较好?

21. 如图，抛物线 M1:y=−x2+4x 交 x 轴正半轴于点 A，将抛物线 M，平移得到抛物线 M2:y=−x2+bx+c，M1 与 M2 交于点 B，直线 OB 交 M2 于点 C，点 C 的横坐标为 6，且 OB=BC．
（1）①直接写出点 B，点 C 的坐标；
②求抛物线 M2 的表达式；
（2）点 P 是抛物线 M1 上 AB 间一点，作 PQ⊥x 轴交抛物线 M2 于点 Q，连接 CP，CQ，设点 P 的横坐标为 m．当 m 为何值时，使 △CPQ 的面积最大，并求出最大值．

22. 如图 1，平面内有一点 P 到 △ABC 的三个顶点的距离分别为 PA，PB，PC．若满足 PA2=PB2+PC2，则称点 P 为 △ABC 关于点 A 的勾股点．如图 2，E 是矩形 ABCD 内一点，且点 C 是 △ABE 关于点 A 的勾股点，连接 DE．
（1）求证：CE=CD；
（2）若 AB=5，BC=6，DA=DE，求 AE 的长．

23. 某礼品店从文化用品市场批发甲、乙、丙三种礼品（每种礼品都有），各礼品的数量和批发单价列表如下：
（1）当 m=5 时，若这三种礼品共批发 35 个，甲礼品的总价不低于丙礼品的总价，求 a 的最小值；
（2）已知该店用 1320 元批发了这三种礼品，且 a=5b；
①当 m=25 时，若批发这三种礼品的平均单价为 11 元/个，求 b 的值；
②当 7
24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，⊙O（圆心 O 在 △ABC 内部）经过 B，C 两点，交线段 AC 于点 D，直径 BH 交 AC 于点 E，点 A 关于直线 BD 的对称点 F 落在 ⊙O 上．连接 BF．
（1）求证：∠C=45∘；
（2）在圆心 O 的运动过程中．
①若 tan∠EDF=43，AB=6，求 CE 的长；
②若点 F 关于 AC 的对称点落在 △BFE 边上时，求点 EOBO 的值（直接写出答案）；
（3）令 ⊙O 与边 AB 的另一个交点为 P，连接 PC，交 BD 于点 Q，若 PC⊥BF，垂足为点 G，求证：BD=AD+CE．
答案
第一部分
1. A【解析】因为 a 的相反数是 −a，
所以 −2019 的相反数是 2019．
2. B【解析】从上边看左边是一个小矩形，右边是一个大矩形．
3. C【解析】该小区这一天产生的可回收垃圾约为 300×35%=105kg．
4. B【解析】令 x=0，得 y=2×0+4=4，
则函数与 y 轴的交点坐标是 0,4．
5. C
【解析】在 Rt△ABC 中，csα=csB=BCAB，
则 BC2.5=45，
解得，BC=2，
由勾股定理得，AC=AB2−BC2=1.5（米）．
6. C【解析】要使一元二次方程 4x2−4x+c=0 有两个相等的实数根，必须 Δ=−42−4×4×c=0，
解得：c=1．
7. D【解析】作法得 DE 垂直平分 AB，
∴ 点 F 为 AB 的中点，
∵∠ACB=90∘，
∴FB=FA=FC，
∴∠FCB=∠B=28∘．
∴∠AFC=∠B+∠FCB=28∘+28∘=56∘．
8. D【解析】∵ 甲、乙两种糖果，原价分别为每千克 a 元和 b 元，两种糖果按甲种糖果 x 千克与乙种糖果 y 千克的比例混合，
∴ 两种糖果的平均价格为：ax+byx+y，
∵ 甲种糖果单价下降 15%，乙种糖果单价上涨 20%，
∴ 两种糖果的平均价格为：a1−15100x+b1+20100yx+y，
∵ 按原比例混合的糖果单价恰好不变，
∴ ax+byx+y=a1−15100x+b1+20100yx+y，
整理，得
15ax=20by，
∴ xy=4b3a．
9. B【解析】如图所示，过 C 作 CE⊥x 轴于 E，
∵AB⊥x 轴于点 B，
∴S△AOB=S△COE，
∴S△AOD=S四边形BDCE，
设 △BDO 的面积为 S，
∵CD=2OD，
∴△BDC 的面积为 2S，△BOC 的面积为 3S，
∵BD∥CE，
∴BE=2OB，
∴△BCE 的面积为 6S，
∴ 四边形 BDCE 的面积为 6S+2S=8S，即 △AOD 的面积为 8S，
∴△BDC 与 △ADO 的面积比为 2:8=1:4．
10. A
【解析】设正六棱柱的底面边长为 a cm，高为 h cm，
挪动前长为 2h+23acm，宽为 4a+12acm，
挪动后长为 h+2a+3acm，宽为 4a cm，
由题意得：2h+23a−h+2a+3a=5，4a+12a−4a=1，
∴a=2，h=9−23，
∴ 六棱柱的侧面积是 6ah=6×2×9−23=108−243．
第二部分
11. m−42
【解析】m2−8m+16=m−42．
12. 25
【解析】∵ 共有 5 把钥匙，其中有 2 把钥匙能打开教室门，
∴ 任取一把钥匙，恰好能打开教室门的概率是 25．
13. x≤2
【解析】∵ 二次根式 4−2x 有意义，
∴4−2x≥0，
解得 x≤2．
14. 143π−4
【解析】如图，作 BH⊥OA 于 H．
∵△AOB≌△COD，
∴∠AOB=∠COD，
∵∠AOC=120∘，∠BOD=60∘，
∴∠AOB=∠COD=30∘．
在 Rt△OBH 中，
∵∠OHB=90∘，∠BOH=30∘，OB=2，
∴BH=12OB=1，
∴S△AOB=12⋅OA⋅BH=2，
∵∠BOD=60∘，
∴S阴=120⋅π⋅42360−2×2−60⋅π⋅22360=143π−4．
15. 14
【解析】连接 BD，交 AC 于点 G．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，DB=2DG，AG=CG，
∴S菱形ABCD=12AC⋅DB=AC⋅DG，
∵ 四边形 ACEF 是正方形，
∴EF=AF=AC=CE，AF∥EC，AC⊥EC，
∴DB∥CE∥AF，
∴DHDF=CGAG=1，
∴DH=DF，即 DG 为梯形 ACHF 的中位线，
∴DG=12CH+AF=12CH+EF，
∵CH=6，S正方形ACEF=1.4S菱形ABCD，
∴EF2=1.4AC⋅DG，
∴EF2=1.4EF⋅126+EF，解得：EF=14．
16. 29.8
【解析】如图，作 QT⊥PN 于 T，MW⊥NQ 于 W，连接 BM，设 HM 交 BC 于 K．
设 BM=r cm，
在 Rt△BMK 中，则有 r2=42+r−22，
解得 r=5，
∴BM=5 cm，
∵DN∥PB，
∴∠DNE=∠P，
∵NP=NQ，
∴∠P=∠NQP，
∴∠DNE=∠NQP，
∴tan∠DNE=tan∠NQP=2=DENE，
∵DE=DG=4 cm，
∴DE=NG=8 cm，
设 PT=x cm，则
∵tan∠P=tan∠NQP=2=TQPT，
∴TQ=2x，
在 Rt△NTQ 中，则有 152=15−x2+2x2，
解得 x=6，
∴TQ=12 cm，NT=9 cm，TP=6 cm，PQ=66 cm，
∵ 直线 PQ 与 BC 所在的圆相切，作 MF⊥PQ 于 F，则 MF=5，延长 PQ 交 NM 的延长线 S．
∵TQ∥SN，
∴TQSN=PTPN，
∴12SN=615，
∴SN=30 cm，
∵sin∠S=MFSM=PTPQ，
∴5NS=665，
∴CN=55 cm，
∴MN=SN−CM=30−55cm，
∴AB=GN+MN+MK=8+30−55+3=41−55≈29.8 cm．
第三部分
17. （1） 原式=1+5−2=4．
（2） 原式=a2−1−a2+2a=2a−1．
18. （1） ∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60∘．
∵ 将线段 AD 绕着点 A 逆时针旋转 60∘ 得到线段 AE，
∴AE=AD，∠EAD=∠CAB=60∘．
∴∠EAC=∠DAB，且 AC=AB，AE=AD，
∴△ACE≌△ABDSAS．
（2） ∵CF⊥AB，AC=BC，
∴DF 垂直平分 AB，∠ACF=12∠ACB=30∘．
∴AD=DB，且 DF⊥AB，
∴∠ADF=∠BDF=12∠ADB=70∘．
∴∠ABD=20∘．
∵△ACE≌△ABD，
∴∠ABD=∠ACE=20∘．
∴∠ECD=∠ACE+∠ACF=50∘．
19. （1） 如图所示：△ABC 即为所求．
（2） 如图所示：中线 AD 即为所求．
20. （1） B班的优秀人数多，
420×50−220×50=5（人），
答：B班的优秀人数多，比A班多 5 人；
（2） 从中位数看，A班为 25≤n<30，B班为 30≤n<35，
∴ B班更好些．
21. （1） ① B3,3；C6,6
②把 B3,3，C6,6 代入抛物线 M2:y=−x2+bx+c，
得：−9+3b+c=3,−36+6b+c=6,
解得 b=10,c=−18,
∴ y=−x2+10x−18．
【解析】①过点 B 作 x 轴的平行线 BD，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F，交 BD 于 D，
则 ∠OEB=∠OFC=∠BDC=90∘，
又 ∵ ∠BOE=∠CBD，OB=BC，
∴ △OBE≌△BCDAAS，
∴ OE=BD=EF=3，
当 x=3 时 y=−x2+4x=−9+12=3，即 B3,3；
则 BE=DF=CD=3，
∴ C6,6．
（2） 如图 2，过点 C 作 CH⊥PQ，交 PQ 延长线于点 H，
∴ PQ⊥x 轴，
∴ PQ=−m2+10m−18−−m2+4m=6m−18，CH=6−m，
∴ S△CPQ=6m−186−m2=−3m2+27m−54，
由于 P 是抛物线 M1 上 AB 段一点，故 3≤m≤4，
m=−b2a=92，不在 3≤m≤4 范围内，
∵ a=−1，开口向下，在对称轴的左侧，S 随着 m 的增大而增大，
∴ 当 m=4 时，S 有最大值，且最大值为 6．
22. （1） ∵ 点 C 是 △ABE 关于点 A 的勾股点，
∴CA2=CB2+CE2，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90∘，AB=CD，
∴CA2=AB2+CB2=CB2+CD2，
∴CE=CD．
（2） 作 △ECD 的高线 CF，EG 和 △AED 的高线 EH，
∵CE=CD=AB=5，DE=6，
∴EF=12ED=3，
∴CF=52−32=4，
∵S△ECD=12ED⋅CF=12CD⋅EG，
∴EG=ED⋅CFCD=6×45=245，
∴DH=245，AH=6−245=65，
由勾股定理可得：AE2−652=62−2452，
解得：AE=6105．
23. （1） 由题意，得 4×5+n=35．
解得 n=15．
又 5a≥15×10，
解得 a≥30．
答：a 的最小值为 30．
（2） ①由题意，得 132025×4+n=11．
解得 n=20．
由题知，25×0.8a+75b+200=1320，
把 a=5b 代入解得 b=6.4．
②当 7把 b=15a 代入上式，化简得 85am=1120．
即：am=700．
由于 a，m 都是正整数，所以当 m=10 时，a=70；
当 10把 b=15a 代入上式，化简得 75am=1120．
即：am=800．
由于 a，m 都是正整数，所以当 m=16 时，a=50．
综上所述，a 的值是 70 或 50．
24. （1） ∵ 点 A，F 关于直线 BD 对称，
∴∠A=∠BFD，
∵∠BFD=∠C，
∴∠A=∠C，
∵∠ABC=90∘，
∴∠C=45∘．
（2） ① ∵ 点 A，F 关于直线 BD 对称，
∴AD=DF，AB=FB，
∵∠A=∠C=45∘，
∴AB=BC=FB=6，
∴BF=BC，
∵BH 是直径，
∴ 由圆的对称性可知，△BFE≌△BCE，
∴∠BFE=∠C=∠BFD=45∘，FE=CE，
∴∠DFE=90∘，
∵tan∠EDF=43，AB=6，
∴ 设 DF=AD=3a，则 EF=CE=4a，DE=5a，
∵AC=62+62=62，
∴AC=3a+4a+5a=62，解得，a=22，
∴CE=4a=22；
② EOBO 的值为 2−1 或 33．
【解析】②如图 1，当点 F 关于 AC 的对称点落在 BF 边上时，连接 DO，
设 FFʹ 交 AC 于点 M，则 AC 垂直平分 FFʹ，
由（1）知，∠A=∠C=45∘，∠ABC=90∘，
∴BA=BC，∠ABM=∠CBM=12×90∘=45∘，
∵ 点 A，F 关于直线 BD 对称，
∴AD=DF，AB=FB，
又 ∵DB=DB，
∴△ABD≌△FBDSSS，
∴∠ABD=∠FBD，
由（2）知，△BFE≌△BCE，
∴∠FBE=∠CBE，
∴∠ABD=∠FBD=∠FBE=∠CBE=22.5∘，
∴∠DBE=∠DBF+∠EBF=45∘，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB=45∘，
∴∠DOB=90∘，
在 △BDM 与 △BEM 中，∠BDM=∠BEM=90∘−22.5∘=67.5∘，
∴BD=BE，
在等腰 Rt△BOD 中，设 OB=OD=r，则 BD=2r，
∴BE=2r，OE=2−1r，
∴OEOB=2−1rr=2−1；
如图 2，当点 F 关于 AC 的对称点落在 BE 边上时，
∵∠DFʹE=∠DOE=90∘，
∴ 点 Fʹ 与点 O 重合，
连接 OF，则 OD=OF=DF，
∴△DOF 为等边三角形，
∴∠ODF=60∘，
由对称性知，∠ODE=∠FDE=30∘，
在 Rt△DOE 中，tan∠ODE=OEOD=tan30∘=33，
∴OEOB=33．
综上所述，EOBO 的值为 2−1 或 33．
（3） 如图 3，连接 PD，FC，FC 交 BH 于点 M，
∵∠ABC=90∘，
∴PC⊥BF，
∴CF=BC=BE，
∴△FBC 是等边三角形，
∴BG=CM=12BF，∠QGB=∠CME=90∘，∠DBF=∠DCF，
∴△QBG≌△ECMASA，
∴BQ=CE，
∵∠PDA=90∘，∠A=45∘，
∴DP=DA=DF，
∴DP=DF，
∵∠DPC=12DF+CF，∠DQP=∠QDC+∠QCP=12DP+BC，
∴∠DPC=∠DQP，
∴DQ=DP=AD，
∴BD=AD+CE．