2019年天津市东丽区中考一模数学试卷

这是一份2019年天津市东丽区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −7+1 的结果是
A. 6B. −6C. 8D. −8

2. sin60∘ 等于
A. 33B. 32C. 12D. 1

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 作为长沙地铁“米”字型构架西南—东北方向的地铁 3 号线一期工程线路全长约 36400 米，则数据 36400 用科学记数法表示为
A. 364×102B. 36.4×103C. 3.64×104D. 0.364×105

5. 如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 26 的值在
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 计算 a+3a−3a 的结果是
A. a+6aB. a−6aC. 1aD. 1

8. 方程组 x+y=1,2x+y=5 的解为
A. x=−1,y=2B. x=2,y=1C. x=4,y=−3D. x=−2,y=3

9. 如图，将一个矩形纸片 ABCD，沿着 BE 折叠，使 C，D 点分别落在点 C1，D1 处．若 ∠C1BA=50∘，则 ∠ABE 的度数为
A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘

10. 已知点 A−3,y1，B−2,y2，C3,y3 都在反比例函数 y=4x 的图象上，则
A. y1
11. 如图，△ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，点 E 是 AC 边的中点，点 P 是 AD 上的一个动点，当 PC+PE 最小时，∠CPE 的度数是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

12. 对于二次函数 y=x2+mx+1，当 0A. m≥−2B. −4≤m≤−2
C. m≥−4D. m≤−4 或 m≥−2

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算：−p2⋅−p= ．

14. 计算：3−22= ．

15. 在一个袋子中装有大小相同的 5 个小球，其中 2 个蓝色，3 个红色，从袋中随机摸出 1 个，则摸到的是蓝色小球的概率为 ．

16. 已知一次函数 y=kx+b 经过 −1,2，且与 y 轴交点的纵坐标为 4，则它的解析式为 ．

17. 如图，在 △ABC 中，AC=BC，∠C=90∘，点 D，E，F 分别在边 BC，AC，AB 上，四边形 DCEF 为矩形，P，Q 分别为 DE，AB 的中点，若 BD=1，DC=2，则 PQ= ．

18. 如图，在由边长都为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 均为格点，点 P，Q 为线段 AB 上的动点，且满足 PQ=1．
（1）当点 Q 为线段 AB 中点时 CQ 的长度等于 ；
（2）当线段 CQ+CP 取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点 Q，并简要说明你是怎么画出点 Q 的： ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组：3x−1≤3, ⋯⋯①2x+3>1. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答：
（Ⅰ）解不等式 ①，得： ；
（Ⅱ）解不等式 ②，得： ；
（Ⅲ）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为： ．

20. 在全民读书月活动中，某校随机调查了部分同学本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题．
（1）这次调查获取的样本容量是 （直接写出结果）；
（2）求这次调查获取的样本数据的众数，中位数，平均数；
（3）若该校共有 1000 名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费．

21. 在 ⊙O 中，AB 为直径，C 为 ⊙O 上一点．
（1）如图①，过点 C 作 ⊙O 的切线，与 AB 的延长线相交于点 P，若 ∠CAB=28∘，求 ∠P 的大小；
（2）如图②，D 为弧 AC 的中点，连接 OD 交 AC 于点 E，连接 DC 并延长，与 AB 的延长线相交于点 P，若 ∠CAB=12∘，求 ∠P 的大小．

22. 如图，高楼顶部有一信号发射塔 FM，在矩形建筑物 ABCD 的 D，C 两点测得该塔顶端 F 的仰角分别为 45∘，64.5∘，矩形建筑物高度 DC 为 22 米．求该信号发射塔顶端到地面的距离 FG．（精确到 1 m）（参考数据：sin64.5∘≈0.90，cs64.5∘≈0.43，tan64.5∘≈2.1）

23. 某社区准备五一组织社区内老年人去蓟县参加采摘节，现有甲、乙两家旅行社表示对老年人优惠，甲旅行社的优惠方式为：在原来每人 100 元的基础上，每人按照原价的 60% 收取费用；乙旅行社的优惠方式为：在收取一个 600 元固定团费的基础上，再额外收取每人 40 元．设参加采摘节的老年人有 x 人，甲、乙两家旅行社实际收费为 y1 元、 y2 元．
（1）根据题意，填写如表：
老年人数量人51020⋯甲旅行社收费元300 ⋯乙旅行社收费元800 ⋯
（2）求 y1，y2 关于 x 的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
（3）如果 x>50，选择哪家旅行社合算?

24. 在平面直角坐标系中，已知 O 为坐标原点，点 A2,0，B0,4，以点 A 为旋转中心，把 △ABO 顺时针旋转，得 △ACD．
（1）如图①，当旋转后满足 DC∥x 轴时，求点 C 的坐标；
（2）如图②，当旋转后点 C 恰好落在 x 轴正半轴上时，求点 D 的坐标；
（3）在（Ⅱ）的条件下，边 OB 上的一点 P 旋转后的对应点为 Pʹ，当 DP+APʹ 取得最小值时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可）．

25. 如图，抛物线 y=−12x2+22x+2 与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在 B 点左侧），与 y 轴交于点 C．
（1）求 A，B 两点坐标；
（2）连接 AC，若点 P 在第一象限的抛物线上，P 的横坐标为 t，四边形 ABPC 的面积为 S．试用含 t 的式子表示 S，并求 t 为何值时，S 最大；
（3）在（Ⅱ）中 S 取最大值的基础上，若点 G，H 分别为抛物线及其对称轴上的点，点 G 的横坐标为 m，点 H 的纵坐标为 n，且使得以 A，G，H，P 四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的 m，n 的值．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. C
4. C【解析】36400=3.64×104
5. A
6. D【解析】小于 26 的最大平方数为 25，大于 26 的最小平方数为 36，
故 25<26<36，即 5<26<6．
7. D【解析】a+3a−3a=a+3−3a=1．
8. C【解析】x+y=1, ⋯⋯①2x+y=5. ⋯⋯②
②−① 得：x=4，
把 x=4 代入 ① 得：y=−3，
所以方程组的解为：x=4,y=−3.
9. B【解析】设 ∠ABE=x，
根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50∘+x，
∴50∘+x+x=90∘，
解得 x=20∘．
10. D
【解析】∵ 点 A−3,y1，B−2,y2，C3,y3 都在反比例函数 y=4x 的图象上，
∴y1=−43，y2=−2，y3=43，
∵−2<−43<43，
∴y211. C【解析】如图连接 BE，与 AD 交于点 P，此时 PE+PC 最小，
∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，
∴ 点 B 与点 C 关于 AD 对称，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
∴BE 就是 PE+PC 的最小值，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BCE=60∘，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90∘，
∴∠EBC=30∘，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30∘，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60∘．
12. A【解析】对称轴为：x=−b2a=−m2，y=1−m24，
分三种情况：
①当对称轴 x<0 时，即 −m2<0，m>0，此时 y 随 x 的增大而增大，当 x=0 时，y=1，
∴01，故符合题意；
②当 0≤−m2<2 时，即 −4 ∴ 当 −2≤m≤0 时，当 0③当对称轴 −m2≥2 时，即 m≤−4，x=2 时，y 值最小，
令 y≥0，即 4+2m+1≥0，解得：m≥−52，
又 ∵m≤−4，此种情况 m 无解；
综上所述：若 0第二部分
13. −p3
14. 5−26
15. 25
16. y=2x+4
17. 52
【解析】连接 FC，CQ，
∵AC=BC，∠C=90∘，
∴∠B=45∘，
∵BD=1，DC=2，四边形 DCEF 为矩形，
∴BD=DF=CE=1，
∴DE=FC=22+12=5，
∵ 四边形 DCEF 为矩形，P 为 DE 的中点，
∴P 为 FC 的中点，
∴F，P，C 三点共线，
∵AC=BC，Q 为 AB 的中点，
∴CQ⊥AB，
∵P 为 FC 的中点，
∴PQ=12FC=52．
18. 52，
取格点 D，E，F，连接 CD，EF，它们相交于点 G，取格点 H，I，J，K．连接 HI，JK，它们相交于点 M，连接 GM，取格点 L，N．连接 LN 并延长，交 GM 于点 T，连接 TC，交 AB 于点 Q，则点 Q 即为所求．
【解析】（1）在 Rt△ABC，∠ACB=90∘，
∴AB=32+42=5，
∵ 点 Q 为线段 AB 中点，
∴CQ=12AB=52．
（2）线段 CQ+CP 取得最小值时，点 P，Q 必在线段 AB 的高线的垂足的两侧，并关于垂足对称，即离垂足的距离为 0.5．
∴ 先找到点 C 关于 AB 的对称点，首先先找垂线，
∵AB 是 3×4 的格点矩形的对角线，
∴ 只需过点 C 作 3×4 的格点矩形的对角线 CH 即可满足 CH⊥AB，垂足为 O，
下一步找距离相等．可找到 D 点，构成 3×4 的格点矩形的对角线 CD，
则有 CD∥AB，且 BD=3，同样找到格点 N，L 使其为 3×4 的格点矩形的对角线端点，且 BN=3，
则有 LN 与 CD 到 AB 的距离相等且平行，延长 LN 则与 CH 相交 R，
则交点即为 C 关于 AB 的对称点．
现要保证 OQ=0.5，则只需在 LR 上找到点 T，CD 上找到点 G，使得 RT=CG=1，
则四边形 RCGT 为矩形．
∵CD=5，则只需找到 CD 的五等分点，找到格点 E，F，使 CF=1，DE=4，且 CF∥ED，
则 CD 与 EF 的交点为 G．
∵ 在 LR 上找的点 T 不能直接找到，我们可以过点 H 作 AB 的平行线 HI，并在 HI 上找到点 M 使得 HM=1，
则 MG 与 LR 的交点即为 T 点，且 OT=1．
则易找到格点 I 使得 HI∥AB，同 E，F 的找法，找到格点 J，K，连接 JK 交 HI 于点 M，
则 HM=1，连接 MG 交 LR 于点 T，再连接 TC 与 AB 的交点为 Q，
则点 Q 即为所求．
第三部分
19. （Ⅰ）x≤2
（Ⅱ）x>−1
（Ⅲ）
（Ⅳ）−120. （1） 40
【解析】样本容量是：6+12+10+8+4=40．
（2） 观察条形统计图，
∵ 在这组数据中，30 出现了 12 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数为 30，
∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 50，有 50+502=50，
∴ 这组数据的中位数为 50，
∵ x=20×6+30×12+50×10+80×8+100×46+12+10+8+4=50.5，
∴ 这组数据的平均数为 50.5．
（3） 本学期计划购买课外书的费用的平均数是 50.5，
∴ 由样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总费用约为 1000×50.5=50500，
答：该校本学期计划购买课外书的总花费是 50500 元．
21. （1） 连接 OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=28∘，
∴∠POC=56∘，
∵CP 是 ⊙O 的切线，
∴∠OCP=90∘，
∴∠P=34∘．
（2） ∵D 为弧 AC 的中点，OD 为半径，
∴OD⊥AC，
∴∠AEO=90∘，
∵∠CAB=12∘，
∴∠AOE=78∘，
∴∠DCA=39∘，
∵∠DCA=∠CAB+∠P，
∴∠P=27∘．
22. 如图，延长 AD 交 FG 于点 E．
在 Rt△FDE 中，∠DEF=90∘，tan45∘=FEDE，∴DE=FE．
在 Rt△FCG 中，∠FGC=90∘，tan64.5∘=FGCG，∴CG=FG2.1．
∵DE=CG，∴FE=FG2.1．
∴FG−22=FG2.1，
解得 FG=42 （米）．
答：该信号发射塔顶端到地面的距离 FG 为 42 米．
23. （1）
老年人数量人51020 甲旅行社收费元3006001200 乙旅行社收费元80010001400
（2） y1=100×60%x=60x；
y2=40x+600．
（3） 设 y1 与 y2 的差为 y 元．
则 y=60x−40x+600，即 y=20x−600，
当 y=0 时，即 20x−600=0，得 x=30，
∵20>0，
∴y 随 x 的增大而增大，
又当 x=50 时，y=400>0，
∴ 当 x>50 时，选择乙旅行社比较合算．
答：当 x 大于 50 时，选择乙旅行社比较合算．
24. （1） 如图①中，作 CH⊥x轴 于 H，
∵CD∥AH，∠D=∠AHC=90∘，
∴∠DAH=90∘，
∴ 四边形 ADCH 是矩形，
∴AD=OA=CH=2，CD=OB=AH=4，
∴OH=6，
∴C6,2．
（2） 如图②中，作 DK⊥AC 于 K，
在 Rt△ADC 中，
∵AD=2，CD=4，
∴AC=25，
∵12⋅AD⋅DC=12⋅AC⋅DK，
∴DK=455，AK=255，
∴OK=2+255，
∴D2+255,455．
（3） 点 P 坐标 0,85−419．
【解析】如图③中，连接 PA，APʹ，作点 A 关于 y 轴的对称点 Aʹ，连接 DAʹ 交 y 轴于 Q，连接 AQ，
由题意 PA=APʹ，
∴APʹ+PD=PA+PD，
根据两点之间线段最短，可知当点 P 与点 Pʹ 重合时，PA+PD 的值最小，
∵Aʹ−2,0，D2+255,455，
∴ 直线 AʹD 的解析式为 y=45−219x+85−419，点 P 坐标 0,85−419．
25. （1） 抛物线 y=−12x2+22x+2，
令 y=0，则 −12x2+22x+2=0，
解得 x=−2 或 x=22，
∴A−2,0，B22,0．
（2） 由抛物线 y=−12x2+22x+2，令 x=0，得 y=2，
∴C0,2，
如图，过点 P 作 PQ⊥x轴 于 Q，
∵P 的横坐标为 t，
∴ 设 Pt,p，则 p=−12t2+22t+2，PQ=p，BQ=22−t，OQ=t，
∴S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB=12×2×2+122+p×t+12×22−t×p=2+t+12pt+2p−12pt=2p+t+2=2−12t2+22t+2+t+2=−22t−22+420当 t=2 时，S最大=42．
（3） 由（Ⅱ）知，t=2，
∴P2,2，
∵ 抛物线 y=−12x2+22x+2 的对称轴为 x=22，
∴ 设 Gm,−12m2+22m+2，H22,n，
根据题意，以 A，G，H，P 四点构成的四边形为平行四边形，A−2,0，
①当 AP 和 HG 为对角线时，
有 122−2=12m+22，122+0=12−12m2+22m+2+n，
解得 m=−22，n=34．
②当 AG 和 PH 是对角线时，
有 12m−2=122+22，12−12m2+22m+2+0=12n+2，
解得 m=522，n=−154．
③当 AH 和 PG 为对角线时，
有 12−2+22=12m+2，12−12m2+22m+2+2=12n+0，
解得 m=−322，n=14，
即：满足条件的点 m，n 的值为：m=−22，n=34 或 m=522，n=−154 或 m=−322，n=14．