2019年江苏省无锡市惠山区中考一模数学试卷

这是一份2019年江苏省无锡市惠山区中考一模数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 6 的相反数为
A. −6B. 6C. −16D. 16

2. 下列运算正确的是
A. 2a2−a2=1B. a23=a6C. a2+a3=a5D. ab2=ab2

3. 下列图案中，既是轴对称的图形，又是中心对称的图形的是
A. B.
C. D.

4. 如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是
A. B.
C. D.

5. 某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是 94 分、 98 分、 90 分、 94 分、 74 分，则下列结论正确的是
A. 平均分是 91B. 中位数是 90C. 众数是 94D. 极差是 20

6. 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四个点，AB=BC，∠AOB=58∘，则 ∠BDC 的度数是
A. 58∘B. 42∘C. 32∘D. 29∘

7. 在一个不透明的口袋中装有 2 个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是 23，则袋中原有黑球
A. 2B. 3C. 4D. 6

8. 关于 x 的一元二次方程 x2−3x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为
A. m≤94B. m<94C. m≥49D. m>49

9. 如图，矩形 ABCD 的顶点 A 和对称中心在反比例函数 y=kxk≠0,x>0 上，若矩形 ABCD 的面积为 8，则 k 的值为
A. 4B. 23C. 22D. 8

10. 如图，正方形 ABCD 中，AB=25，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90∘ 得 DF，连接 AE，CF．则线段 OF 长的最小值
A. 25B. 5+2C. 210−2D. 52−2

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 代数式 x−1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

12. 因式分解：ab2−a= ．

13. 北京时间 6 月 5 日 21 时 07 分，中国成功将风云二号 H 气象卫星送入预定的高度 36000 km 的地球同步轨道，将 36000 km 用科学记数法表示为 ．

14. 一个多边形的内角和是 1080∘，这个多边形的边数是 ．

15. 已知圆锥的底面半径为 2 cm，母线长是 4 cm，则圆锥的侧面积是 cm2（结果保留 π）．

16. 如图，一艘轮船自西向东航行，航行到 A 处测得小岛 C 位于北偏东 60∘ 方向上，继续向东航行 10 海里到达点 B 处，测得小岛 C 在轮船的北偏东 15∘ 方向上，此时轮船与小岛 C 的距离为 海里．（结果保留根号）

17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，有一个由六个边长为 1 的正方形组成的图案，其中点 A，B 的坐标分别为 3,5，6,1，若过原点的直线 l 将这个图案分成面积相等的两部分，则直线 l 的函数解析式为 ．

18. 如图，把边长为 a cm 的等边 △ABC 剪成四部分，从三角形三个顶点往下 b cm 处，呈 30∘ 角下剪刀，使中间部分形成一个小的等边 △DEF．若 △DEF 的面积是 △ABC 的 19，则 ba 的值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 解答下列问题．
（1）计算：4cs60∘−−22+π−20190；
（2）化简：a+12−a+2a−2．

20. 解答下列问题．
（1）解方程：x2x−3+53−2x=4；
（2）解不等式组：x−2<0,x+5≤3x+7.

21. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，AC 为 ⊙O 的弦，AD⊥CD，且 ∠BAC=∠CAD．
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AD=1，CD=2，求 ⊙O 的半径．

22. 近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A 微信、 B 支付宝、 C 现金、 D 其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者?
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为 度．
（3）若该超市这一周内有 1600 名购买者，请你估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名?

23. 如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为 A 、 B 、 C 、 D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．
（1）求王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率；
（2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少?请列表格或画树状图加以分析．

24. 解答下列问题．
（1）如图 1，已知 EK 垂直平分 BC，垂足为 D，AB 与 EK 交于点 F，连接 CF．求证：∠AFE=∠CFD．
（2）如图 2，在 Rt△GMN 中，∠M=90∘，P 为 MN 的中点．
①用直尺和圆规在 GN 边上求作点 Q，使得 ∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果 ∠G=60∘，GM=3，P 为 MN 中点，求 MQ 的长度．

25. 2016 年 12 月华为瓦特实验室试验一种新型快充电池，充电时电池的电量 y（%）是充电时间 x（分）的一次函数，其中 y≤100（%）．已知充电前电量为 0（%），测得充电 10 分钟后电量达到 100（%），充满电后手机马上开始连续工作，工作阶段电池电量 y 是工作时间 x 的二次函数，如图所示，A 是该二次函数顶点．又测得充满电后连续工作了 40 分钟，这时电量降为 20（%）．厂商规定手机充电时不能工作，电量小于 10（%）时手机部分功能将被限制，不能正常工作．
（1）求充电时和充电后使用阶段 y 关于 x 的函数表达式（不用写出取值范围）；
（2）为获得更多实验数据，实验室计划在首次充满电并使用 40 分钟后停止工作再次充电，充电 6 分钟后再次工作，假定所有的实验条件不变，请问第二次工作的时间多长（电量到 10（%）就停止工作）?

26. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图 1，已知 Rt△ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 D，使四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出 3 个即可）；
（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，∠ABC=80∘，∠ADC=140∘，对角线 BD 平分 ∠ABC．求证：BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”；
（3）运用：
如图 3，已知 FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30∘．连接 EG，若 △EFG 的面积为 23，求 FH 的长．

27. 如图，在平面直角坐标系中，一直线 y=34x+154mm>0 分别与 x 轴、 y 轴交于 A，B 两点，点 A 、点 D 关于原点对称，过点 A 的抛物线 y=−112x2+14mx+103m2 与射线 AB 交于另一点 C，若将 △ACO 沿着 CO 所在的直线翻折得到 △AʹCO，△AʹCO 与 △COD 重叠部分的面积为 △COD 的 12．
（1）求 B，D 两点的坐标（用 m 的代数式表示）．
（2）当 Aʹ 落在抛物线上时，求二次函数的解析式．

28. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−34x+6 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，P，Q 分别是线段 OB，AB 上的两个动点，点 P 从 O 出发一每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动，同时 Q 从 B 出发，以每秒 5 个单位的速度向终点 A 运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为 t 秒．
（1）求出点 Q 的坐标（用 t 的代数式表示）；
（2）若 C 为 OA 的中点，连接 PQ，CQ，以 PQ，CQ 为邻边作平行四边形 PQCD．
①是否存在时间 t，使得坐标轴刚好将平行四边形 PQCD 的面积分为 1:5 的两个部分，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
②直接写出整个运动过程中，四边形 PQCD 对角线 DQ 的取值范围 ．
答案
第一部分
1. A【解析】6 的相反数为：−6．
2. B【解析】A．2a2−a2=a2，故此选项错误；
B．a23=a6，故此选项正确；
C．a2+a3，无法计算，故此选项错误；
D．ab2=a2b2，故此选项错误．
3. A【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
4. C【解析】由俯视图知该几何体共 2 列，其中第 1 列前一排 1 个立方块、后 1 排 2 个立方块，第 2 列只有前排 2 个立方块，
所以其主视图如图所示：
故选：C．
5. C
【解析】A、平均分为：1594+98+90+94+74=90（分），故此选项错误；
B、五名同学成绩按大小顺序排序为：74，90，94，94，98，故中位数是 94 分，故此选项错误；
C、 94 分、 98 分、 90 分、 94 分、 74 分中，众数是 94 分，故此选项正确；
D、极差是 98−74=24，故此选项错误．
6. D【解析】连接 OC，
∵AB=BC，
∴∠BOC=∠AOB=58∘，
由圆周角定理得，∠BDC=12∠BOC=29∘，
故选：D．
7. C【解析】设袋中黑球有 x 个，
根据题意，得：xx+2=23，
解得：x=4，
经检验：x=4 是原分式方程的解，
所以袋中黑球有 4 个，
故选：C．
8. B【解析】根据题意得 Δ=−32−4m>0，
解得 m<94．
9. A【解析】如图，延长 DA 交 y 轴于点 E，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
设 A 点的坐标为 m,n 则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为 n2，
∵ 矩形 ABCD 的中心都在反比例函数 y=kx 上，
∴x=2kn，
∴ 矩形 ABCD 中心的坐标为 2kn,n2，
∴BC=22kn=4kn−2m，
∵S矩形ABCD=8，
∴4kn−2m⋅n=8，
4k−2mn=8，
∵ 点 Am,n 在 y=kx 上，
∴mn=k，
∴4k−2k=8，
解得：k=4．
10. D
【解析】如图，连接 DO，将线段 DO 绕点 D 逆时针旋转 90∘ 得 DM，连接 OF，FM，OM，
∵∠EDF=∠ODM=90∘，
∴∠EDO=∠FDM，
∵DE=DF，DO=DM，
∴△EDO≌△FDMSAS，
∴FM=OE=2，
∵ 正方形 ABCD 中，AB=25，O 是 BC 边的中点，
∴OC=5，
∴OD=252+52=5，
∴OM=52+52=52，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥52−2．
第二部分
11. x≥1
【解析】∵x−1 在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，
解得 x≥1．
故答案为：x≥1．
12. ab+1b−1
【解析】ab2−a=ab2−1=ab+1b−1．
13. 3.6×104 km
【解析】36000 km=3.6×104 km．
14. 8
【解析】设多边形边数有 x 条，由题意得：
180x−2=1080，
解得 x=8，
故答案为：8．
15. 8π
【解析】底面圆的半径为 2，则底面周长 =4π，侧面面积 =12×4π×4=8π cm2．
16. 52
【解析】如图，作 BH⊥AC 于 H．
在 Rt△ABH 中，
∵AB=10 海里，∠BAH=30∘，
∴∠ABH=60∘，BH=12AB=5（海里），
在 Rt△BCH 中，
∵∠CBH=∠C=45∘，BH=5（海里），
∴BH=CH=5 海里，
∴CB=52（海里）．
故答案为 52．
17. y=58x
【解析】如图所示，
∵ 点 A，B 的坐标分别为 3,5，6,1，
∴C 的坐标为 4,2.5，
设直线 l 的函数解析式为 y=kx，依题意有 2.5=4k，
解得 k=58，
故直线 l 的函数解析式为 y=58x．
18. 39
【解析】延长 ED 交 AB 于 H，设 AB 与 FD 的交点为 G，AC 与 DE 的交点为 P，
∵∠HGD=30∘，
∴AH=12a−b，PH=32a−b，
∴HG=AH−AG=12a−32b，
∴DH=33HG=36a−32b，
DG=2DH=33a−3b，
∴DE=PH−DH−PE=PH−DH−DG=3b，
∵△ABC 与 △DEF 是等边三角形，
∴△ABC∽△DEF，
∴S△DEFS△ABC=DEAB2=19，
∴3ba=13，
∴ba 的值为 39，
故答案为：39．
第三部分
19. （1） 原式=4×12−4+1=−1.
（2） 原式=a2+2a+1−a2+4=2a+5.
20. （1） 去分母得：
x−5x=42x−3.
解得：
x=1.
经检验 x=1 是分式方程的解．
（2）
x−2<0, ⋯⋯①x+5≤3x+7. ⋯⋯②∵
由①得，
x<2.
由②得，
x≥−1.∴
不等式组的解集是：
−1≤x<2.
21. （1） 如图：连接 BC，OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，且 ∠CAD=∠OAC，
∴∠OCA=∠CAD，
∵AD⊥CD，
∴∠CAD+∠ACD=90∘，
∴∠OCA+∠ACD=90∘，
∴OC⊥CD 且 OC 为半径，
∴CD 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵AD⊥CD，AD=1，CD=2，
∴AC=5，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠ACB=∠ADC=90∘，∠BAC=∠CAD，
∴△ACD∽△ABC，
∴ADAC=ACAB，
∴AB=5，
∴⊙O 的半径为 52．
22. （1） 56÷28%=200，
即本次一共调查了 200 名购买者．
（2） D 方式支付的有：200×20%=40（人），
A 方式支付的有：200−56−44−40=60（人），
补全的条形统计图如图所示，
108
【解析】在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为：360∘×60200=108∘，
故答案为：108．
（3） 1600×60+56200=928（名），
答：使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有 928 名．
23. （1） 由题意可知王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯是：随机事件，概率为 14．
（2） 画树状图如图：
所有出现的等可能性结果共有 12 种，其中满足条件的结果有 2 种．
即 P两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯=16．
24. （1） 如图 1 中，
∵FK 垂直平分线段 BC，
∴FC=FB，
∴∠CFD=∠BFD，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠CFD．
（2） ①作点 P 关于 GN 的对称点 Pʹ，连 PʹM 交 GN 于 Q，连接 PQ，点 Q 即为所求．
理由：
∵GN 垂直平分 PPʹ，
∴QPʹ=QP，∠KQPʹ=∠KQP，
∵∠GQM=∠KQPʹ，
∴∠GQM=∠PQK，
∴ 点 P 即为所求．
② ∵P，Pʹ 关于 GN 对称，
∴GN⊥PPʹ，PK=KPʹ，
∴∠PKN=90∘，
∵∠N=30∘，
∴∠PNK=60∘，
∴PN=2KP=PPʹ，
∵PM=PN，
∴PM=PPʹ，
∵∠NPK=∠PMPʹ+∠Pʹ，
∴∠PMPʹ=∠Pʹ=30∘，
∴∠QMN=∠N=30∘，
∴MQ=NQ，
∵∠G=∠QMG=60∘，
∴QG=QM，
∴MQ=QG=NQ，
∵GM=3，∠N=30∘，∠NMG=90∘，
∴GN=2GM=6，
∴MQ=3．
25. （1） 将 A10,100 代入 y=kx 得 k=10，
得：直线 OA 为 y=10x，
因为二次函数顶点为 A10,100，且过点 B50,20，
设 y=ax−102+100，
再将 50,20 代入得：a=−120，
所以 y=−120x−102+100．
（2） 充电时满足一次函数，条件不变，
设直线 BC 为 y=10x+b 再将 50,20 代入得 y=10x−480，
当 x=56 时，y=80，
所以再工作时二次函数经过点 C56,80．
当 y=−120x−102+100=80 时，
x=−10（不合）或 x=30，
所以点 D 的坐标为 D30,80，
所以 DC=26，
即过 C 点的抛物线是由 y=−120x−102+100 向右平移 26 各单位得到的，
（或设 y=−120x−k2+100，再把点 C56,80 代入得 k=36）
所以过 C 点的抛物线为 y=−120x−362+100，
当 y=−120x−362+100=10 时，
解得：36+302 或 x=36−302（不合，舍去），
所以，第二次工作了 36+302−56=302−20 分钟．
26. （1） 如图 1 所示．
（2） ∵∠ABC=80∘，BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=40∘，
∴∠A+∠ADB=140∘．
∵∠ADC=140∘，
∴∠BDC+∠ADB=140∘．∠A=∠BDC，
∴△ABD∽△DBC．
∴BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”．
（3） ∵FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”，
∴△EFH 与 △HFG 相似．
又 ∠EFH=∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，
∴FEFH=FHFG，
∴FH2=FE⋅FG．
过点 E 作 EQ⊥FG，垂足为 Q．
则 EQ=FE×sin60∘=32FE．
∵12FG×EQ=23，
∴12FG×32FE=23，
∴FG⋅FE=8，
∴FH2=FE⋅FG=8，
∴FH=22．
27. （1） 直线 y=34x+154mm>0 分别于 x 轴、 y 轴交于 A，B 两点，
∴A−5m,0，B0,154m，D5m,0．
（2） 当 C 在 y 轴左侧时，
∵△AʹCO 与 △COD 重叠部分的面积为 △COD 的 12．
∴E 是 CD 的中点，
又 ∵O 是 AD 中点，
∴OE∥AC，OE=12AC=12CAʹ，
∴∠DOE=∠OAC=∠Aʹ，
∴CAʹ∥AD，AʹC=OA=5m，
设 Aʹp,q，C，Aʹ 的横坐标分别是 xC，xAʹ，
−112x2+14mx+103m2=q，
∴xC+xAʹ=3m，xC⋅xAʹ=12q−40m2，
xC−xAʹ2=xC+xAʹ2−4xC⋅xAʹ，
5m2=3m2−412q−40m2，
∴q=3m2，
∴A4m,3m2
∴4m2+3m22=5m2，
∴m=1，
∴ 函数解析式为 y=−112x2+14x+103，
当 C 在 y 轴右侧时，
∵△AʹCO 与 △COD 重叠部分的面积为 △COD 的 12．
∴M 是 OD 的中点，
∴M52m,0，
点 A 在 x 轴下方且 Aʹ 的横坐标是 xAʹ，xAʹ≤5m，
∴Aʹ 不在抛物线上，
∴∴ 函数解析式为 y=−112x2+14x+103．
28. （1） 如图 1．
针对于直线 y=−34x+6，令 x=0，则 y=6，
∴B0,6，
∴OB=6；
令 y=0，则 −34x+6=0，
∴x=8，
∴A8,0，
∴OA=8．
根据勾股定理得，AB=OA2+OB2=10，
由运动知，BQ=5t，过点 Q 作 QE⊥y 轴于 E，
∴QE∥AO，
∴△BEQ∽△BOA，
∴BQOB=EQOA=BQAB，
∴BQ6=EQ8=5t10，
∴BQ=3t，EQ=4t，
∴OE=OB−BE=6−3t，
∴Q4t,6−3t．
（2） 连接 DQ，CP，由运动知，OP=2t．
∴P0,2t，
∵ 点 C 是 OA 的中点，
∴C4,0，
∵ 四边形 CQPD 是平行四边形，
∴DQ 与 CP 互相平分，
设 Dm,n，由（1）知，Q4t,6−3t．
∴4t+m=4，6−3t+n=2t，
∴m=4−4t，n=5t−6，
∴D4−4t,5t−6．
①Ⅰ．当 x 轴将平行四边形 PQCD 的面积分为 1:5 的两个部分时，如图 2，
∵PC 是平行四边形 PQCD 的对角线，
∴S△PCQ=S△PCD，
∵S△CDF:S四边形CFPQ=1:5，
∴S△CDF:S△CPF=1:2，
∴DF:PF=1:2，
∴PF:DF=2:1，
过点 D 作 DG⊥y 轴于 G，
∴OG=6−5t，
∴DG∥FO，
∴POOG=PFDF，
∴2t6−5t=21，
∴t=1；【注：点 D 本身在 y 轴上，为了解决问题，没将点 D 放在 y 轴上】
Ⅱ．当 y 轴将平行四边形 PQCD 的面积分为 1:5 的两个部分时，
如图 3，过点 D 作 DN⊥x 轴于 N，
同Ⅰ的方法得，t=1.5，
即：坐标轴刚好将平行四边形 PQCD 的面积分为 1:5 的两个部分时，t=1 秒或 1.5 秒．
② 42≤DQ≤410
【解析】②由（1）知，Q4t,6−3t，
∵D4−4t,5t−6，
∴DQ2=4−4t−4t2+6−3t−5t+62=128t−12+32，
由运动知，0≤t≤2，
∴ 当 t=1 时，DQ2 最小，
∴DQ最小=42，
当 t=0 或 2 时，DQ2 最大，
∴DQ最大=410，
∴42≤DQ≤410．