2019年江苏省无锡市锡山区天一中学中考一模数学试卷

这是一份2019年江苏省无锡市锡山区天一中学中考一模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 函数 y=2−x+3 中，自变量 x 的取值范围是
A. x>−3B. x≥−3C. x≠−3D. x≤−3

2. 下列运算正确的是
A. 3x2⋅4x2=12x2B. x3+x5=x8C. x4÷x=x3D. x52=x7

3. A，B 是数轴上两点，线段 AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是
A. B.
C. D.

4. 在平面直角坐标系中，将点 P 向左平移 2 个单位长度后得到点 −1,5，则点 P 的坐标是
A. −1,3B. −3,5C. −1,7D. 1,5

5. 下表是某校合唱团成员的年龄分布表：
年龄/岁12131415频数515x10−x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是
A. 平均数、中位数B. 众数、中位数C. 平均数、方差D. 中位数、方差

6. 一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于
A. 16πcm2B. 12πcm2C. 8πcm2D. 4πcm2

7. 如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD=( )
A. 3B. 4C. 4.8D. 5

8. 完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是
A. 6(m−n)B. 3(m+n)C. 4nD. 4m

9. 如图，平行四边形 ABCO 的顶点 B，C 在第二象限，点 A−3,0，反比例函数 y=kxk<0 图象经过点 C 和 AB 边的中点 D，若 ∠B=α，则 k 的值为
A. −4tanαB. −2sinαC. −4csαD. −2tanα

10. 已知二次函数y=x−h2+1h为常数，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为
A. 1或−5B. −1或5C. 1或−3D. 1或3

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 9 的平方根是 ．

12. 分解因式：a3−4ab2= ．

13. 长城是我国第一批成功入选世界文化遗产的古迹之一，它的总长经过“四舍五入”精确到十万位的近似数约为6700000米，将6700000用科学记数法表示为 ．

14. 若一个多边形的内角和是 540∘，则这个多边形是 边形．

15. 四边形ACBD为⊙O的内接四边形，已知∠A：∠B=4：5，则∠A= 度．

16. 如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC=6，那么线段GE的长为 ．

17. 甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步 1500 米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发 30 秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离 y（米）与甲出发的时间 x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是 米．

18. 已知 △ABC，∠BAC=45∘，AB=8，要使满足条件的 △ABC 唯一确定，那么 BC 边长度 x 的取值范围为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算与化简．
（1）计算：−2−8+2cs45∘+π−30；
（2）化简：x−32−x+1x−2．

20. 解方程与不等式组：
（1）解方程：x−3x=23x−83；
（2）解不等式组：3x−4≤x,x+3>12x−1.

21. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．

22. “2015 扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A．“半程马拉松”；B．“10 公里”；C．“迷你马拉松”．小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ；
（2）求小明和小刚被分配到不同项目组的概率．

23. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字 39 个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组别正确字数x人数A0≤x<810B8≤x<1615C16≤x<2425D24≤x<32mE32≤x<40n
根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中，m= ，n= ，并补全条形统计图．
（2）扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是 ．
（3）若该校共有 1120 名学生，如果听写正确的个数少于 24 个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．

24. 如图，已知抛物线 y=ax2−4aa>0 与 x 轴相交于 A，B 两点，点 P 是抛物线上一点，且 PB=AB，∠PBA=120∘．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设点 Mm,n 为抛物线上的一个动点，当点 M 在曲线 BA 之间（含端点）移动时，求 m+n 的最大值及取得最大值时点 M 的坐标．

25. 有一张矩形纸片 ABCD，AB=4，AD=9．
（1）如图 1，点 E 在这张矩形纸片的边 AD 上，将纸片折叠，使 AB 落在 CE 所在直线上，折痕设为 MN（点 M，N 分别在边 AD，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕 MN（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图 2，点 K 在这张矩形纸片的边 AD 上，DK=3，将纸片折叠，使 AB 落在 CK 所在直线上，折痕为 HI，点 A，B 分别落在点 Aʹ，Bʹ 处，小明认为 BʹI 所在直线恰好经过点 D，他的判断是否正确，请说明理由．

26. 近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从今年年初至 5 月 20 日，猪肉价格不断走高，5 月 20 日比年初价格上涨了 60%．某市民在今年 5 月 20 日购买 2.5 千克猪肉至少要花 100 元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元?
（2）5 月 20 日，猪肉价格为每千克 40 元．5 月 21 日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克 40 元的基础上下调 a% 出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克 40 元的情况下，该天的两种猪肉总销量比 5 月 20 日增加了 a%，且储备猪肉的销量占总销量的 34，两种猪肉销售的总金额比 5 月 20 日提高了 110a%，求 a 的值．

27. 在 △ABC 中，∠ABC=45∘，BC=4，tanC=3，AH⊥BC 于点 H，点 D 在 AH 上，且 DH=CH，连接 BD．
（1）如图 1，将 △BHD 绕点 H 旋转，得到 △EHF（点 B，D 分别与点 E，F 对应），连接 AE，当点 F 落在 AC 上时（F 不与 C 重合），求 AE 的长；
（2）如图 2，△EHF 是由 △BHD 绕点 H 逆时针旋转 30∘ 得到的，射线 CF 与 AE 相交于点 G，连接 GH，试探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系，并说明理由．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 x1,y1，点 Q 的坐标为 x2,y2，且 x1≠x2，y1≠y2，若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，如图为点 P，Q 的“相关矩形”示意图．
（1）已知点 A 的坐标为 1,0，
①若点 B 的坐标为 3,1，求点 A，B 的“相关矩形”的面积；
②点 C 在直线 x=3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式；
（2）⊙O 的半径为 2，点 M 的坐标为 m,3，若在 ⊙O 上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关矩形”为正方形，求 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】根据题意得：x+3≥0，
解得：x≥−3．
2. C【解析】A、 3x2⋅4x2=12x4，本选项错误；
B、原式不能合并，错误；
C、 x4÷x=x3，本选项正确；
D、 x52=x10，本选项错误，
故选：C．
3. B【解析】表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点 0 的左右两侧，
从四个答案观察发现，只有B选项的线段 AB 符合，其余答案的线段都在原点 0 的同一侧，
所以可以得出答案为B．
4. D【解析】由题意知，点 P 的坐标为 −1+2,5，即 1,5．
5. B
【解析】【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第14、15个数据的平均数，可得答案．
【解析】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为x+10−x=10，
则总人数为：5+15+10=30，
故该组数据的众数为13岁，中位数为：13+132=13岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：B．
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
6. C【解析】【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解析】解：根据题意得圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，
所以这个圆锥的侧面积=12×4×2π×2=8π(cm2)．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7. D【解析】【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用勾股定理得出AD，再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长．
【解析】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线，
∴DE=3，
∴AD=DC=AE2+DE2=5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出AD的长是解题关键．
8. D【解析】【分析】设小长方形的长为a，宽为b(a>b)，根据矩形周长公式计算可得结论．
【解析】解：设小长方形的长为a，宽为b(a>b)，
则a+3b=n，
阴影部分的周长为2n+2(m−a)+2(m−3b)=2n+2m−2a+2m−6b=4m+2n−2n=4m，
故选：D．
【点评】本题考查整式的加减、列代数式、矩形的周长，解答本题的关键是明确整式的加减运算的计算方法和整体代入的思想．
9. A【解析】如图，过点 C 作 CE⊥OA 于 E，过点 D 作 DF⊥x 轴于 F，
在平行四边形 OABC 中，OC=AB，
∵D 为边 AB 的中点，
∴OC=AB=2AD，CE=2DF，
∴OE=2AF，
设 AF=a，
∵ 点 C，D 都在反比例函数上，
∴ 点 C−2a,−k2a，
∵A3,0，
∴D−a−3,k−a−3，
∴k−2a=2×k−a−3，
解得 a=1，
∴OE=2，CE=−k2，
∵∠COA=∠α，
∴tan∠COA=tan∠α=CEOE，
即 tanα=−k2×2，
k=−4tanα．
10. B
【解析】【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1，x>h时，y随x的增大而增大；当x【解析】解：∵当x>h时，y随x的增大而增大，当x∴①若h<1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，
可得：(1−h)2+1=5，
解得：h=−1或h=3舍；
②若1≤x≤3可得：(3−h)2+1=5，
解得：h=5或h=1舍；
③若1∴此种情况不符合题意，舍去．
综上，h的值为−1或5，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
第二部分
11. ±3
【解析】∵±3 的平方是 9，
∴9 的平方根是 ±3．
12. aa+2ba−2b
【解析】a3−4ab2=aa2−4b2=aa+2ba−2b．
故答案为：aa+2ba−2b．
13. 6.7×106
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤∣a∣<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解析】解：将6700000用科学记数法表示为6.7×106．
故答案是：6.7×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤∣a∣<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14. 五
【解析】设多边形的边数是 n，
则 n−2⋅180∘=540∘，解得 n=5．
15. 80
【解析】【分析】根据圆的内接四边形对角互补解答即可．
【解析】解：因为四边形ACBD为⊙O的内接四边形，∠A：∠B=4：5，
可设∠A为4x，∠B为5x，可得：4x+5x=180∘，
解得：x=20∘，
所以∠A=80∘，
故答案为：80
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
16. 2
【解析】【分析】由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．
【解析】解：∵点G是△ABC重心，BC=6，
∴CD=12BC=3，AGDG=2，
∵GE∥BC，
∴△AEG∽△ACD，
∴GECD=AGAD=23，
∴GE=2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质．解题时注意：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
17. 175
【解析】根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5 米/秒，
设乙的速度为 m 米/秒，则 m−2.5×180−30=75，
解得：m=3 米/秒，
则乙的速度为 3 米/秒，
乙到终点时所用的时间为：15003=500（秒），
此时甲走的路程是：2.5×500+30=1325（米），
甲距终点的距离是 1500−1325=175（米）．
18. x=42 或 x≥8
【解析】过 B 点作 BD⊥AC 于 D 点，则 △ABD 是等腰三角形；
再延长 AD 到 E，使 DE=AD．
①当点 C 和点 D 重合时，△ABC 是等腰直角三角形，BC=42，这个三角形是唯一确定的；
②当点 C 和点 E 重合时，△ABC 也是等腰三角形，BC=8，这个三角形也是唯一确定的；
③当点 C 在线段 AE 的延长线上时，即 x 大于 BE，也就是 x>8，这时，△ABC 也是唯一确定的；
综上所述，∠BAC=45∘，AB=8，要使 △ABC 唯一确定，那么 BC 的长度 x 满足的条件是：x=42 或 x≥8．
第三部分
19. （1） 原式=2−22+2×22+1=2−22+2+1=1.
（2） 原式=x2−6x+9−x2−2x+x−2=x2−6x+9−x2+2x−x+2=−5x+11.
20. （1）
3x−3=2−8x,
3x−9=2−8x,
3x+8x=2+9,
11x=11,
x=1,
检验：x=1 时，3x=3≠0，
∴ 分式方程的解为 x=1；
（2） 解不等式
3x−4≤x,
得：
x≤2,
解不等式
x+3>12x−1,
得：
x>−8,
则不等式组的解集为 −821. ∵CE∥DF，
∴∠ACE=∠D，
在 △ACE 和 △FDB 中，
AC=FD,∠ACE=∠D,EC=BD,
∴△ACE≌△FDBSAS，
∴AE=FB．
22. （1） 13
【解析】∵ 共有 A，B，C 三项赛事，
∴ 小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率是 13．
（2） 设三种赛事分别为 1，2，3，列表得：
12311,12,13,121,22,23,231,32,33,3
所有等可能的情况有 9 种，分别为 1,1；1,2；1,3；2,1；2,2；2,3；3,1；3,2；3,3，
小明和小刚被分配到不同项目组的情况有 6 种，
∴ 其概率 =69=23．
23. （1） 30；20；
【解析】∵ 总人数为 15÷15%=100（人），
∴D 组人数 m=100×30%=30，E 组人数 n=100×20%=20．
（2） 90∘
【解析】扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是 360∘×25100=90∘．
（3） “听写正确的个数少于 24 个”的人数有：10+15+25=50 人，
∴1120×50100=560 人．
答：这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约为 560 人．
24. （1） 如图 1，令 y=0 代入 y=ax2−4a，
∴0=ax2−4a，
∵a>0，
∴x2−4=0，
∴x=±2，
∴A−2,0，B2,0，
∴AB=4，
过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，
∴∠PBC=180∘−∠PBA=60∘，
∵PB=AB=4，
∴cs∠PBC=BCPB，
∴BC=2，
由勾股定理可求得：PC=23，
∵OC=OB+BC=4，
∴P4,23，
把 P4,23 代入 y=ax2−4a，
∴23=16a−4a，
∴a=36，
∴ 抛物线解析式为；y=36x2−233．
（2） 当点 M 在曲线 BA 之间（含端点）移动时，
∴−2≤m≤2，n<0，
当 −2≤m≤0 时，
∴m+n=−m−n=−36m2−m+233=−36m+32+736，
当 m=−3 时，
∴m+n 可取得最大值，最大值为 736，
此时，M 的坐标为 −3,−36，
当 0 ∴m+n=m−n=−36m2+m+236=−36m−32+736，
当 m=3 时，
∴m+n 可取得最大值，最大值为 736，
此时，M 的坐标为 3,−36，
综上所述，当点 M 在曲线 BA 之间（含端点）移动时，M 的坐标为 3,−36 或 −3,−36 时，m+n 的最大值为 763．
25. （1） 如图 1 所示，直线 MN 即为所求．
（2） 小明的判断不正确．
理由：如图 2，连接 ID，
在 Rt△CDK 中，
∵DK=3，CD=4，
∴CK=32+42=5，
∵AD∥BC，
∴∠DKC=∠ICK，
由折叠可知，∠A′B′I=∠B=90∘，
∴∠IB′C=90∘=∠D，
∴△CDK∽△IB′C，
∴CDIB′=DKB′C=CKIC，
即 4IB′=3B′C=5IC，
设 CB′=3k，IB′=4k，IC=5k，
由折叠可知，IB=IB′=4k，
∴BC=BI+IC=4k+5k=9，
∴k=1，
∴IC=5，IB′=4，B′C=3，
在 Rt△ICB′ 中，tan∠B′IC=CB′IB′=34，
连接 ID，
在 Rt△ICD 中，tan∠DIC=DCIC=45，
∴tan∠B′IC≠tan∠DIC．
∴BʹI 所在的直线不经过点 D．
26. （1） 设今年年初猪肉价格为每千克 x 元；
根据题意得：
2.5×1+60%x≥100.
解得：
x≥25.
答：今年年初猪肉的最低价格为每千克 25 元．
（2） 设 5 月 20 日两种猪肉总销量为 1．
根据题意得：
401−a%×341+a%+40×141+a%=401+110a%.
令 a%=y，原方程化为：
401−y×341+y+40×141+y=401+110y.
整理得：
5y2−y=0.
解得：
y=0.2 或 y=0舍去.
则 a%=0.2，
∴a=20．
答：a 的值为 20．
27. （1） 如图．
在 Rt△AHC 中，
∵tanC=3，
∴AHCH=3，
设 CH=x，
∴BH=AH=3x，
∵BC=4，
∴3x+x=4，
∴x=1，
∴AH=3，CH=1，
由旋转知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90∘，EH=AH=3，CH=DH=FH，
∴∠EHF+∠AHF=∠AHC+∠AHF，
∴∠EHA=∠FHC，EHAH=FHHC=1，
∴△EHA∽△FHC，
∴∠EAH=∠C，
∴tan∠EAH=tanC=3，
过点 H 作 HP⊥AE，
∴HP=3AP，AE=2AP，
在 Rt△AHP 中，AP2+HP2=AH2，
∴AP2+3AP2=9，
∴AP=31010，
∴AE=3105．
（2） 如图 1．
∵△EHF 是由 △BHD 绕点 H 逆时针旋转 30∘ 得到，
∴HD=HF，∠AHF=30∘，
∴∠CHF=90∘+30∘=120∘，
由（1）有，△AEH 和 △FHC 都为等腰三角形，
∴∠GAH=∠HCG=30∘，
∴CG⊥AE，
∴ 点 C，H，G，A 四点共圆，
∴∠CGH=∠CAH，
设 CG 与 AH 交于点 Q，
∵∠AQC=∠GQH，
∴△AQC∽△GQH，
∴ACHG=AQGQ=1sin30∘=2，
∵△EHF 是由 △BHD 绕点 H 逆时针旋转 30∘ 得到，
∴EF=BD，
由（1）知，BD=AC，
∴EF=AC，
∴EFHG=1sin30∘=2，即：EF=2HG．
28. （1） ①因为 A1,0，B3,1，
由定义可知：点 A，B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1，
所以点 A，B 的“相关矩形”的面积为 2×1=2；
②由定义可知：AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线，
又因为点 A，C 的“相关矩形”为正方形，
所以直线 AC 与 x 轴的夹角为 45∘，
设直线 AC 的解析为：y=x+m 或 y=−x+n，
把 1,0 分别 y=x+m，
所以 m=−1，
所以直线 AC 的解析为：y=x−1，
把 1,0 代入 y=−x+n，
所以 n=1，
所以 y=−x+1，
综上所述，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为 y=x−1 或 y=−x+1．
（2） 设直线 MN 的解析式为 y=kx+b，
因为点 M，N 的“相关矩形”为正方形，
所以由定义可知：直线 MN 与 x 轴的夹角为 45∘，
所以 k=±1，
因为点 N 在 ⊙O 上，
所以当直线 MN 与 ⊙O 有交点时，点 M，N 的“相关矩形”为正方形，
当 k=1 时，
作 ⊙O 的切线 AD 和 BC，且与直线 MN 平行，
其中 A，C 为 ⊙O 的切点，直线 AD 与 y 轴交于点 D，直线 BC 与 y 轴交于点 B，连接 OA，OC，
把 Mm,3 代入 y=x+b，
所以 b=3−m，
所以直线 MN 的解析式为：y=x+3−m，
因为 ∠ADO=45∘，∠OAD=90∘，
所以 OD=2OA=2，
所以 D0,2，
同理可得，B0,−2，
所以令 x=0 代入 y=x+3−m，
所以 y=3−m，
所以 −2≤3−m≤2，
所以 1≤m≤5，
当 k=−1 时，把 Mm,3 代入 y=−x+b，
所以 b=3+m，
所以直线 MN 的解析式为：y=−x+3+m，
同理可得：−2≤3+m≤2，
所以 −5≤m≤−1；
综上所述，当点 M，N 的“相关矩形”为正方形时，m 的取值范围是：1≤m≤5 或 −5≤m≤1．