2019年天津市滨海新区中考一模数学试卷

这是一份2019年天津市滨海新区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −43 的结果等于
A. −12B. 12C. −64D. 64

2. cs45∘ 的值等于
A. 33B. 3C. 12D. 22

3. 如图图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

4. 某城区青年在“携手添绿，美丽共创”植树活动中，共栽植、养护树木 15000 株，将 15000 用科学记数法表示为
A. 1.5×104B. 15×103C. 1.5×105D. 0.15×106

5. 如图是一个大正方体切去一个小正方体形成的几何体，它的左视图是
A. B.
C. D.

6. 若 a=30，b=∣−6∣，c=365，则下列关系正确的为
A. a>b>cB. c>b>aC. b>a>cD. b>c>a

7. 计算 x2+1x−6⋅x2−36x3+x 的结果为
A. x+6xB. xx−6C. xx+6D. x+6

8. 下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是
A. x2−8x+17=0B. x2−6x−10=0
C. x2−42x+9=0D. x2−4x+4=0

9. 若点 A−3,y1，B−1,y2，C2,y3 在反比例函数 y=k2+1x（k 为常数）的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y2
10. 如图，点 O 是等边三角形 ABC 内的一点，∠BOC=150∘，将 △BCO 绕点 C 按顺时针旋转 60∘ 得到 △ACD，则下列结论不正确的是
A. BO=ADB. ∠DOC=60∘C. OD⊥ADD. OD∥AB

11. 如图，已知菱形 ABCD，AB=4，∠BAD=120∘，E 为 BC 的中点，P 为对角线 BD 上一点，则 PE+PC 的最小值等于
A. 22B. 23C. 25D. 8

12. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点 −1,2 和 1,0，且与 y 轴相交于负半轴，下列结论：
①2a+b>0；
② 方程 ax2+bx+c−3=0 的两根个大于 1，另一个小于 −1；
③b=−1；
④a>1．
其中正确结论的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 2x3⋅−5xy2 的结果等于 ．

14. 计算 23+62 的结果等于 ．

15. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机取出一个小球后不放回，再随机取出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于 4 的概率是 ．

16. 将函数 y=−2x 的图象向下平移 n 个单位得到的图象经过点 2,−8，那么 n 的值等于 ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=CB=42，∠BAD=∠ADE=60∘，AD=5，CE 平分 ∠ACB，DE 与 CE 相交于点 E，则 DE 的长等于 ．

18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，B 均为格点．
（I）AB 的长等于 ；
（II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点 P，使得以 AB 为底边的等腰三角形 PAB 的面积等于 32，并简要说明点 P 的位置是如何找到的（不要求证明）： ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 5x+3>3x−1, ⋯⋯①12x+4≤6−32x. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（I）解不等式 ①，得 ；
（II）解不等式 ②，得 ；
（III）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为 ．

20. 为了解学生参加户外活动的情况，某中学对学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：
（1）被抽查的学生有 人，抽查的学生中每天户外活动时间是 1.5 小时的有 人；
（2）求被抽查的学生的每天户外活动时间的众数、中位数和平均数；
（3）该校共有 1200 名学生，请估计该校每天户外活动时间超过 1 小时的学生有多少人?

21. 如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90∘，O 为 AB 上一点，⊙O 经过点 A，与 AC 交于点 E，与 AB 交于点 F，连接 EF．
（1）如图 1，若 ∠B=30∘，AE=2，求 AF 的长；
（2）如图 2，AD 平分 ∠CAB，交 CB 于点 D，⊙O 经过点 D．
（i）求证：BC 为 ⊙O 的切线；
（ii）若 AE=3，CD=2，求 AF 的长．

22. 如图所示，在建筑物顶部有一长方形广告牌架 CDEF，已知 CD=2 m，在地面上 A 处测得广告牌架上端 C 的仰角为 37∘，前进 10 m 到达 B 处，在 B 处测得广告牌架下端 D 的仰角为 60∘，求广告牌架下端 D 到地面的距离（结果精确到 0.1 m）．
（参考数据：tan37∘≈0.75，3 取 1.73）

23. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按 8 折出售，乙商场对一次购物中不超过 200 元的不打折，超过 200 元后的价格部分打 7 折．
设商品原价为 x 元，顾客购物金额为 y 元．
（1）根据题意，填写下表：
商品原价100150250⋯甲商场购物金额元80 ⋯甲商场购物金额元100 ⋯
（2）分别就两家商场的让利方式写出 y 关于 x 的函数关系式；
（3）若 x≥500 时，选择哪家商场去购物更省钱?请说明理由．

24. 如图所示，将矩形纸片 OABC 放置在直角坐标系中，点 A3,0，点 C0,3．
（1）如图 1，经过点 O，B 折叠纸片，得折痕 OB，点 A 的对应点为 A1，求 ∠A1OC 的度数；
（2）如图 2，点 M，N 分别为边 OA，BC 上的动点，经过点 M，N 折叠纸片，得折痕 MN，点 B 的对应点为 B1．
（ⅰ）当点 B1 的坐标为 −1,0 时，请你判断四边形 MBNB1 的形状，并求出它的周长；
（ⅱ）若点 N 与点 C 重合，当点 B1 落在坐标轴上时，直接写出点 M 的坐标．

25. 如图，在平面直角坐标系中抛物线 y=16x2+bx+c 经过原点 O，与 x 轴交于点 A5,0，第一象限的点 Cm,4 在抛物线上，y 轴上有一点 B0,10．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴；
（2）点 P0,n 在线段 OB 上，点 Q 在线段 BC 上，若 OP=2BQ，且 PA=QA．求 n 的值；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使以 A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. C
4. A
5. B
6. C【解析】∵25<30<36，
∴5<30<6，即 5 ∵b=∣−6∣，
∴b=6，
∴a ∵64<65<125，
∴4<365<5，即 4 ∴a>c，
∴b>a>c．
7. A【解析】x2+1x−6⋅x2−36x3+x=x2+1x−6⋅x+6x−6xx2+1=x+6x．
8. B【解析】A. Δ=−82−4×1×17=−4<0，故方程没有实数根，该选项不符合题意；
B. Δ=−62−4×1×−10=76>0，故方程有两个不相等的实数根，该选项符合题意；
C. Δ=−422−4×1×9=−4<0，故方程没有实数根，该选项不符合题意；
D. Δ=−42−4×1×4=0，故方程有两个相等的实数根，该选项不符合题意．
9. A【解析】∵k2+1>0，
∴ 反比例函数 y=k2+1x（k 为常数）的图象在一，三象限内，在各象限内 y 随 x 的增大而减小，
∵2>0，−3<0，−1<0，
∴C2,y3 在第一象限内，A−3,y1，B−1,y2 在第三象限内，
∴y3>0，y1<0，y2<0，
∵−3<−1，
∴y1>y2，
∴y210. D
【解析】∵ 将 △BCO 绕点 C 按顺时针旋转 60∘ 得到 △ACD，
∴BO=AD，故A正确；
∵OC 与 CD 是对应边，C 为旋转中心，
∴OC=CD，∠DCO 为旋转角且 ∠DCO=60∘，
∴△DOC 为等边三角形，∠DOC=60∘，故B正确；
∵△OCD 是等边三角形，
∴∠ODC=60∘，
∵∠BOC 与 ∠ADC 是对应角，
∴∠ADC=150∘，
∴∠ODA=150∘−60∘=90∘，即 OD⊥AD，故C正确；
∵∠ADC=150∘，
∴∠DAC<30∘，
∴∠BAD<90∘，
∴∠ODA+∠BAD≠180∘，
∴OD 与 AB 不平行，故D错误．
11. B【解析】连接 AC，AE，AE 交 BD 于 F，连接 FC，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴BD 垂直平分 AC，
∴AF=FC，
∴FC+FE=AE，
根据两点之间，线段最短，当 P 点运动到 F 点时，PE+PC 的值最小，最小值为 AE 的长，
∵∠BAD=120∘，
∴∠ABC=60∘，
∵AB=BC，
∴△ABC 是等边三角形，
∵E 为 BC 中点，
∴AE⊥BC，BE=12BC=2，
∴AE=AB2−BE2=42−22=23．
12. D【解析】∵ 对称轴在 y 轴右侧，且小于 1，
∴−b2a<1，
∴2a+b>0，故 ① 正确；
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c−3 是抛物线 y=ax2+bx+c 的图象向下平移 3 个单位得到的，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 1,0，
∴ 方程 ax2+bx+c−3=0 有一个根大于 1，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 向下平移 2 个单位时与 x 轴的交点为 −1,0，
∴ 方程 ax2+bx+c−3=0 的另一个根小于 −1，故 ② 正确；
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，
∴a>0，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 −1,2 和 1,0，
∴a−b+c=2,a+b+c=0,
解得：b=−1,a+c=1, 故 ③ 正确；
∵ 抛物线与 y 轴相交于负半轴，
∴c<0，
∵a+c=1，
∴a>1，故 ④ 正确．
第二部分
13. −10x4y2
14. 18+122
15. 16
16. 4
17. 3
【解析】如图，延长 CE，DE，分别交 AB 于 G，H，
∵∠BAD=∠ADE=60∘，
∴△ADH 是等边三角形，
∴DH=AD=AH=5，∠DHA=60∘，
∵AC=BC，CE 平分 ∠ACB，∠ACB=90∘，
∴AB=AC2+CB2=8，AG=12AB=4，CG⊥AB，
∴GH=AH−AG=5−4=1，
∵∠DHA=60∘，
∴∠GEH=30∘，
∴EH=2GH=2，
∴DE=DH−EH=5−2=3．
18. （I）5
（II）
如图，取格点 C，连接 BC；取格点 D，连接 DC 得点 F；点 G 是 AB 与网格的交点，连接 FG；取格点 H，E，连接 HE，线段 HE 交 FG 于点 P，点 P 即为所求
【解析】（I）AB=12+22=5．
（II）∵ 要作等腰三角形，P 点须在 AB 的垂直平分线上，
作法：取格点 G，G 为 AB 的中点，垂直则需要通过构造正方形及其中位线来实现．
根据 AB 是 1×2 的格点矩形的对角线，则构造的正方形的其他边也是 1×2 的格点矩形的对角线即可．
取格点 B，C，D，则四边形 ABCD 是正方形．
CD 与格子交于 F 点，F 点是 CD 的中点，
连接 FG，则 FG⊥AB，即 FG 是 AB 的垂直平分线，P 在 FG 上，
∵S△PBA=32，AB=5，
∴△PAB 底边 AB 上的高 PG=355，
∵FG=BC=AB=5，
∴PGFG=35，
由于点 G 为 AB 边的中点，
则有 EGCG=35，
∴ 过格点 E 作 AB 的平行线 EH，交 FG 于 P，根据平行线分线段成比例定理可得点 P 即为所求．
第三部分
19. （I）x>−3
（II）x≤1
（III）
（IV）−320. （1） 50；12
【解析】10÷20%=50（人），50×24%=12（人）．
（2） ∵ 这组数据中，1 小时出现了 20 次，出现次数最多，
∴ 这组数据的众数为 1 小时，
∵ 将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是 1 小时，有 1+12=1 小时，
∴ 中位数为 1 小时，
∵x=0.5×10+1×20+1.5×12+2×850=1.18，
∴ 这 50 名学生每天户外运动时间的平均数为 1.18 小时．
（3） 12+850×1200=480（人），
答：估计该校每天户外活动时间超过 1 小时的学生约为 480 人．
21. （1） ∵AF 为 ⊙O 的直径，
∴∠AEF=90∘，
∵∠ACB=90∘，∠B=30∘，
∴∠BAC=60∘，
∴∠AFE=30∘，
∴AF=2AE=4．
（2） 如图，
（i）连接 OD，
∵AD 平分 ∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C=90∘，
∴∠ODB=∠C=90∘，即 CB⊥OD，
∴BC 为 ⊙O 的切线；
（ii）设 OD 与 EF 交于点 H，
∵∠AEF=∠C=∠ODC=90∘，
∴ 四边形 CDHE 为矩形，
∴EH=CD=2，∠OHE=90∘，
∴OD⊥EF，
∴EF=2EH=4，
∴AF=AE2+EF2=5．
22. 如图，过点 D 作 DH⊥AB，垂足为 H．
设 DH=x，
在 Rt△DBH 中，∠DBH=60∘，
由 tan∠DBH=DHBH，得 3=xBH，
∴BH=33x，
在 Rt△AHC 中，∠A=37∘，
由 tan∠A=CHAH，得 34=2+x10+33x，
∴x=224−3≈9.7，
答：广告牌架下端 D 到地面的距离约为 9.7 米．
23. （1） 见表格：
商品原价100150250⋯甲商场购物金额元80120200⋯甲商场购物金额元100150235⋯
（2） 甲商场 y=0.8xx≥0；
乙商场：当 0≤x≤200 时，y=x，
当 x>200 时，y=200+x−200×7%=0.7x+60；
∴y=x,x≤x≤2000.7x+60,x>200．
（3） 设顾客在甲商场与乙商场的购物金额的差为 y 元，
∵x≥500，
∴y=0.8x−0.7x+60，即 y=0.1x−60，
当 y=0 时，即 0.1x−60=0，得 x=600，
∴ 当 x=600 时，选择这两家商场一样合算，
∵0.1>0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x>600 时，有 y>0，选择乙商场更省钱；
当 500≤x<600 时，有 y<0，选择甲商场更省钱．
答：当原价大于 600 时，选乙商场省钱；当原价大于等于 500 元小于 600 元时，选甲商场省钱；当原价等于 600 元时，选两家一样．
24. （1） ∵ 四边形 OABC 是矩形，
∴∠OAB=90∘，
∵tan∠BOA=BAOA=33，
∴∠BOA=30∘，
∵△OAB≌△OA1B，
∴∠A1OB=∠AOB=30∘，
∴∠A1OC=90∘−30∘−30∘=30∘．
（2） （ⅰ）如图，连接 BB1，交 MN 于点 E，
∵ 点 B，B1 关于 MN 对称，
∴MN 垂直平分 BB1，
∴BN=B1N，BM=B1M，BE=B1E，∠BEN=∠B1EM=90∘，
∵BC∥OA，
∴∠BNE=∠B1ME，
∴△BNE≌△B1ME，
∴BN=B1M，
∴BN=B1N=B1M=BM，
∴ 四边形 B1MBN 为菱形，
过 N 作 NF⊥OA，垂足为 F，
设 NB=x，则 OF=CN=3−x，B1F=4−x，
在 Rt△NFB1 中，NF2+B1F2=B1N2，
∴32+4−x2=x2，
解得 x=198，
∴ 菱形 B1MBN 的周长为 192．
（ⅱ）M3−6,0或3,0．
【解析】（ⅱ）如图，当 B1 在 y 轴上时，CM 是 BB1 的垂直平分线，
∴BC=B1C，
∵∠BCB1=90∘，
∴∠B1CM=45∘，
∴OM=OC=3，
∴ 点 M 的坐标为 3,0，
如图，当 B1 在 x 轴上时，CM 是 BB1 的垂直平分线，
∴B1C=BC=3，
∴OB1=B1C2−OC2=32−32=6，
∵∠BCD=∠B1MD，∠B1DM=∠BDC=90∘，BD=B1D，
∴△BCD≌△B1MD，
∴B1M=BC=3，
∴OM=B1M−OB1=3−6，
∴ 点 M 的坐标为 3−6,0．
综上所述：点 M 的坐标为 3−6,0 或 3,0．
25. （1） ∵ 抛物线经过原点 O，
∴ 抛物线解析式为 y=16x2+bx，
∵ 抛物线与 x 轴交于点 5,0，
∴0=256+5b，解得 b=−56，
∴ 抛物线解析式为 y=16x2−56x，
∵x=−b2a=562×16=52，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=52．
（2） ∵ 点 C 在抛物线 y=16x2−56x 上，
∴4=16m2−56m，解得 m1=−3（舍），m2=8，
∴ 点 C 坐标为 8,4，
如图，过 C 作 CE⊥x 轴，垂足为 E，连接 AB，AP，AQ，
在 Rt△AEC 中，AC2=CE2+AE2=42+32=25，
同理，可求得 BC2=100，AB2=125，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠BCA=90∘，
在 Rt△AOP 和 Rt△ACQ 中，OA=AC，PA=QA，
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，
∴OP=CQ，
∵OP=2BQ，
∴BQ=12n，CQ=10−12n，
∴n=10−12n，
解得 n=203．
（3） ∵ 抛物线的对称轴为 x=52，
∴ 设点 M 的坐标为 52,t，
① 当 AB=AM，∠BAM 为顶角时，
52+102=5−522+t2，解得 t=±5192，
② 当 BM=BA，∠MBA 为顶角时，
52+102=522+t−102，解得 t=20±5192，
③ 当 MA=MB，∠BMA 为顶角时，
5−522+t2=522+t−102，解得 t=5，
此时点 52,5 为 AB 的中点，与点 A，B 不构成三角形，
综上可得，点 M 的坐标为 52,5192，52,−5192，52,20+5192，52,20−5192．