2019年江苏省苏州市中考一模数学试卷

这是一份2019年江苏省苏州市中考一模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −2 的相反数是
A. 2B. −2C. −12D. 12

2. 苏州奥体中心体育场可容纳 45000 名观众，数据 45000 用科学记数法表示为
A. 4.5×103B. 4.5×104C. 4.5×105D. 4.5×106

3. 下列运算结果等于 x6 的是
A. x2⋅x3B. x6÷xC. x2+x4D. x32

4. 关于 x 的一元二次方程 x2+2m+1x+m2=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是
A. m<−12B. m>−12C. m>−14D. m<−14

5. 如图，△ABC 是一把直角三角尺，∠ACB=90∘，∠B=30∘．把三角尺的直角顶点放在一把直尺的一边上，AC 与直尺的另一边交于点 D，AB 与直尺的两条边分别交于点 E，F．若 ∠AFD=58∘，则 ∠BCE 的度数为
A. 20∘B. 28∘C. 32∘D. 88∘

6. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AB 是直径，BC∥OD，若 ∠C=130∘，则 ∠B 的度数为
A. 50∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘

7. 某校为了了解学生到校的方式，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，则扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为

A. 54∘B. 60∘C. 72∘D. 108∘

8. 如图，一架无人机航拍过程中在 C 处测得地面上 A，B 两个目标点的俯角分别为 30∘ 和 60∘．若 A，B 两个目标点之间的距离是 120 米，则此时无人机与目标点 A 之间的距离（即 AC 的长）为
A. 120 米B. 1203 米C. 60 米D. 603 米

9. 已知，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D，E 分别是 AB，BC 的中点，延长 AC 到 F，使得 CF=12AC，连接 EF．若 EF=4，则 AB 的长为
A. 8B. 42C. 4D. 23

10. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为 10,12，点 B 在 x 轴上，AO=AB，点 C 在线段 OB 上，且 OC=3BC，在线段 AB 的垂直平分线 MN 上有一动点 D，则 △BCD 周长的最小值为
A. 211B. 13C. 65D. 18

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若 x+33 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

12. 分解因式 2x2−4x+2= ．

13. 分式方程 xx−2+1−12−x 的解是 ．

14. 某校随机调查了八年级 20 名男生引体向上的个数，统计数据如表所示，则这些男生引体向上个数的中位数与众数之和为 ．
个数678910人数23465

15. 若一次函数 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的图象经过点 1,3 和点 −1,2，则 k2−b2 的值为 ．

16. 在 2019 年春节期间，某商场开展迎春大酬宾活动，对一次性购物不超过 200 元和超过 200 元分别设置了两种不同的优惠办法，顾客一次性购物实际付款 y（元）是所购物品的原价 x（元）的函数，其图象如图所示．已知小明一次性购物实际付款 236 元，则他所购物品的原价为 元．

17. 如图，一张扇形纸片 OAB 中，半径 OA 为 2，点 C 是 AB 的中点，现将这张扇形纸片沿着弦 AB 折叠，点 C 恰好与圆心 O 重合，则图中阴影部分的面积为 ．

18. 如图，正方形 ABCD 的边长为 52，点 E 是正方形 ABCD 内一点，将 △BCE 绕着点 C 顺时针旋转 90∘，点 E 的对应点 F 和点 B，E 三点在一条直线上，BF 与对角线 AC 相交于点 G，若 DF=6，则 GF 的长为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：π−30−3−2+tan60∘．

20. 解不等式组：3x−2
21. 先化简，再求值：1−1x+2÷x2+2x+1x+2，其中 x=2−1．

22. 如图，点 B，F，C，E 在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE．求证：CG=FG．

23. 有三张正面分别写有数字 −1，2，3 的卡片，它们背面完全相同．
（1）将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，则抽到的卡片为正面写有正数的卡片的概率为 ．
（2）小明将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为平面直角坐标系内点 P 的横坐标，然后将此卡片放回、洗匀，再由小丽从三张卡片中随机抽取一张，以其正面数字作为平面直角坐标系内点 P 的纵坐标，请用树状图或表格列出点 P 所有可能的坐标，并求出点 P 在第一象限内的概率．

24. 我市某中学为推进书香校园建设，在全校范围开展图书漂流活动，现需要购进一批甲、乙两种规格的漂流书屋放置图书．已知一个甲种规格的漂流书屋的价格比一个乙种规格的漂流书屋的价格高 80 元；如果购买 2 个甲种规格的漂流书屋和 3 个乙种规格的漂流书屋，一共需要花费 960 元．
（1）求每个甲种规格的漂流书屋和每个乙种规格的漂流书屋的价格分别是多少元?
（2）如果学校计划购进这两种规格的漂流书屋共 15 个，并且购买这两种规格的漂流书屋的总费用不超过 3040 元，那么该学校至多能购买多少个甲种规格的漂流书屋?

25. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC⊥x 轴，垂足为 A．反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 B，交 AC 于点 E．已知菱形的边长为 52，AC=4．
（1）若 OA=4，求 k 的值；
（2）连接 OD，若 AE=AB，求 OD 的长．

26. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，过点 P 作 ⊙O 的切线，切点为 D，BC 垂直于 PD，垂足为 C，BC 与 ⊙O 相交于点 E，连接 OE，交 BD 于点 F．
（1）求证：BD 平分 ∠ABC；
（2）若 BC=6，tanP=34．
①求线段 BD 的长；
②求线段 BF 的长．

27. 如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 y=−43x+8 的图象与y轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，点 C 是 x 轴正半轴上的一点，以 OA，OC 为边作矩形 AOCD，直线 AB 交 OD 于点 E，交直线 DC 于点 F．
（1）如图 2，若四边形 AOCD 是正方形．
①求证：△AOE≌△COE；
②过点 C 作 CG⊥CE，交直线 AB 于点 G．求证：CG=FG．
（2）是否存在点 C，使得 △CEF 是等腰三角形?若存在，求该三角形的腰长；若不存在，请说明理由．

28. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=x−3 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 B 关于 x 轴的对称点是 C，二次函数 y=−x2+bx+c 的图象经过点 A 和点 C．
（1）求二次函数的表达式．
（2）如图 1，平移线段 AC，点 A 的对应点 D 落在二次函数在第四象限的图象上，点 C 的对应点 E 落在直线 AB 上，求此时点 D 的坐标．
（3）如图 2，在（2）的条件下，连接 CD，交 x 轴于点 M，点 P 为直线 AC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 PF⊥AC，垂足为点 F，连接 PC，是否存在点 P，使得以点 P，C，F 为顶点的三角形与 △COM 相似?若存在，求点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】−2 的相反数是：−−2=2，
故选：A．
2. B【解析】45000=4.5×104，
故选：B．
3. D【解析】A、 x2⋅x3=x5，故此选项错误；
B、 x6÷x=x5，故此选项错误；
C、 x2 与 x4 不是同类项，不能合并，故此选项错误；
D、 x32=x6，故此选项正确．
故选：D．
4. C【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2+2m+1x+m2=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=2m+12−4m2=4m2+4m+1−4m2=4m+1>0，
解得 m>−14．
故选：C．
5. B
【解析】∵CE∥DF，
∴∠AEC=∠AFD=58∘，
∵∠AEC=∠B+∠BCE，
∴∠BCE=∠AEC−∠B=58∘−30∘=28∘；
故选：B．
6. D【解析】∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠C=130∘，
∴∠A=50∘，
∵DO=AO，
∴∠ADO=∠A=50∘，
∴∠AOD=80∘，
∵BC∥OD，
∴∠AOD=∠B=80∘．
故选：D．
7. C【解析】由图可得，
本次抽查的学生有：15÷30%=50（人），
扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为：360∘×50−25−1550=72∘．
8. B【解析】设 CE=x 米，
在 Rt△ACE 中，tan∠ACE=CEAE，
则 AE=CEtan∠CAE=3x，
在 Rt△BCE 中，tan∠CBE=CEBE，
则 BE=CEtan∠CBE=33x，
由题意得，3x−33x=120，
解得，x=603，即 CE=603，
则 AC=2CE=1203（米），
故选：B．
9. A【解析】连接 CD，
因为点 D，E 分别是 AB，BC 的中点，
所以 DE∥AC，DE=12AC．
延长 AC 到 F，使得 CF=12AC，
所以 DE∥CF 且 DE=CF，
所以四边形 CDEF 是平行四边形．
所以 CD=EF=4．
∠ACB=90∘，CD 为斜边 AB 中线，
所以 AB=2CD=8．
10. D
【解析】如图，过 A 作 AH⊥OB 于 H，连接 AD，
∵ 点 A 坐标为 10,12，AO=AB，
∴OH=BH=10，AH=12，
又 ∵OC=3BC，
∴BC=5，CO=15，
∴CH=15−10=5，
∵MN 垂直平分 AB，
∴AD=BD，
∴BD+CD=AD+CD，
∴ 当 A，D，C 在同一直线上时，△BCD 周长的最小值为 AC+BC 的长，
此时，Rt△ACH 中，AC=AH2+CH2=122+52=13，
∴△BCD 周长的最小值 =13+5=18．
第二部分
11. x≥−3
【解析】由题意得：x+3≥0，
解得：x≥−3．
12. 2x−12
【解析】2x2−4x+2=2x2−2x+1=2x−12．
13. x=12
【解析】去分母得：x+x−2=−1，
解得：x=12，
经检验 x=12 是分式方程的解．
14. 18
【解析】数据 9 出现了 6 次，最多，故众数为：9，
中位数为：9+92=9，
所以二者的和为 9+9=18．
15. −6
【解析】根据题意得：3=k+b,2=−k+b,
解得：k=12,b=52.
所以 k2−b2=14−254=−6．
16. 270
【解析】由图象可得 200,180 和 300,260，
设解析式为：y=kx+b，可得：200k+b=180,300k+b=260,
可得：k=0.8,b=20,
所以解析式为：y=0.8x+20，
把 y=236 代入 y=0.8x+20，
解得：x=270．
17. 43π−23
【解析】连接 OC 交 AB 于点 P，
由题意知，OC⊥AB，且 OP=PC=12×2=1，
在 Rt△AOP 中，
∵OA=2，OP=1，
∴cs∠POA=OPOA=12，
∴∠POA=60∘，
同理 ∠BOP=60∘，
∴∠AOB=120∘，
AP=OA2−OP2=22−12=3，
由垂径定理得：AB=2PM=23，
∴ 阴影部分的面积 =S扇形AOB−2S△AOB=120π×22360−2×12×23×1=43π−23，
故答案为：43π−23．
18. 74
【解析】作 CH⊥BF 于 H，GK⊥BC 于 K．
由题意 △BCE≌△DCFSAS，
∴BE=DF=6，
∵CE=CF，∠ECF=90∘，CH⊥EF，
∴EH=HF，
∴CH=HE=HF，设 CH=HE=HF=a，
在 Rt△BCH 中，
∵BC2=BH2+CH2，
∴50=6+a2+a2，
解得 a=1 或 −7（舍弃），
∴CH=HE=HF=1，BF=8,
∵tan∠CBH=CHBH=GKBK=17，设 GK=k，BK=7k，则 GK=CK=k，
∴8k=52，
∴k=528，
∴BG=k2+7k2=52k=254，
∴FG=BF−BG=8−254=74．
第三部分
19. 原式=1−2−3+3=1−2+3+3=−1+23.
20. 解不等式 3x−2x<1.
解不等式 x−42≤2x+1，得：
x≥−2.
则不等式组的解集为
−2≤x<1.
21. 原式=x+1x+2⋅x+2x+12=1x+1，
当 x=2−1 时，原式=22．
22. ∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，
∴BC=EF，
在 △ABC 和 △DEF 中，
AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,
∴△ABC≌△DEFSAS，
∴∠ACB=∠DFE，
∴CG=FG．
23. （1） 23
（2） 列表如下：
−123−1−1,−12,−13,−12−1,22,23,23−1,32,33,3
由表知，共有 9 种等可能结果，其中点 P 在第一象限内的有 4 种结果，
所以点 P 在第一象限内的概率为 49．
24. （1） 设每个甲种规格的漂流书屋的价格为 x 元，每个乙种规格的漂流书屋的价格为 y 元，
依题意，得：
x−y=80,2x+3y=960.
解得：
x=240,y=160.
答：每个甲种规格的漂流书屋的价格为 240 元，每个乙种规格的漂流书屋的价格为 160 元．
（2） 设该学校购买 m 个甲种规格的漂流书屋，则购买 15−m 个乙种规格的漂流书屋，
依题意，得：
240m+16015−m≤3040.
解得：
m≤8.
答：该学校至多能购买 8 个甲种规格的漂流书屋．
25. （1） 连接 BD 交 AC 于点 H，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，AC=4，
∴BD⊥AC，AH=2，
∵ 对角线 AC⊥x 轴，
∴BD∥x 轴，
∴B，D 的纵坐标均为 2，
在 Rt△ABH 中，AH=2，AB=52，
∴BH=32，
∵OA=4，
∴B 点的坐标为：112,2，
∵ 点 B 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，
∴k=11．
（2） 设 A 点的坐标为 m,0，
∵AE=AB=52，CE=32，
∴B，E 两点的坐标分别为：m+32,2，m,52，
∵ 点 B，E 都在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，
∴m+32×2=52m，
∴m=6，
作 DF⊥x 轴，垂足为 F，
∴OF=92，DF=2，
D 点的坐标为 92,2，
在 Rt△OFD 中，OD2=OF2+DF2，
∴OD=972．
26. （1） 连接 OD，如图 1，
∵PD 是 ⊙O 的切线，
∴OD⊥PC，
∵BC⊥PC，
∴OD∥BC
∴∠ODB=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠CBD=∠OBD，
即 BD 平分 ∠ABC．
（2） ① ∵∠PCB=90∘，BC=6，tanP=34，
∴PC=BCtanP=8，
∴PB=PC2+BC2=10，
设 ⊙O 的半径为 x，则 OA=OB=OD=x，PB=10−x，
∵OD∥BC，
∴△POD∽△PBC，
∴ODBC=POPB，即 x6=10−x10，
解得，x=154，
∴PD=ODtanP=15434=5，
∴CD=PC−PD=8−5=3，
∴BD=CD2+BC2=35，
②过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，如图 2，
则四边形 ODCM 为矩形，
∴CM=OD=154，
∴BM=BC−CM=94，
∵OB=OE，
∴BE=2BM=92，
∵OD∥BE
∴△ODF∽△EBF，
∴ODBE=DFBF，即 15492=35−BFBF，
解得 BF=18511．
27. （1） ① ∵ 四边形 AOCD 是正方形，
∴AO=CO，∠AOD=∠EOC，
∴△AOE≌△COESAS．
② ∵△AOE≌△COE，
∴∠OAB=∠ECB，
∵∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠CBG=90∘，
∴∠ECB+∠CBG=90∘，
∵CG⊥CE，
∴∠CBG=∠BCG，
∴BG=CG，
在 Rt△BCF 中，∠BCG+∠FCG=90∘，∠CBG+∠CFB=90∘，
∴∠GCF=∠CFG，
∴CG=GF．
（2） 设 Cm,0，Fm,−43m+8，Dm,8，
直线 OD 的解析式为 y=8mx，
两直线 y=8mx 与 y=−43x+8 的交点为 E，
8mx=−43x+8，
∴x=6m6+m，
∴E6m6+m,486+m，
∴EC2=m4+4826+m2，CF2=166−m29，EF2=25m496+m2，
当 EC=CF 时，m4+4826+m2=166−m29，
∴m=24714，
∴EC=−8+32147；
当 CF=EF 时，166−m29=25m496+m2，
∴m=4，
∴CF=83；
当 EC=EF 时，m4+4826+m2=25m496+m2，
∴m=6；
此时 C 与 F 重合，不合题意；
综上所述：m=4 或 m=24714 时 △CEF 是等腰三角形，腰长分别为 83 或 −8+32147．
28. （1） ∵ 一次函数 y=x−3 的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B 两点，
∴A3,0，B0,−3，
∵ 点 B 关于 x 轴的对称点是 C，
∴C0,3．
∴ 二次函数 y=−x2+bx+c 的图象经过点 A，点 C，
∴c=3,9a+3b+c=0.
∴b=2，c=3．
∴ 二次函数的解析式为 y=−x2+2x+3．
（2） ∵A3,0，C0,3，平移线段 AC，点 A 的对应为点 D，点 C 的对应点为 E，
设 Em,m−3，则 Dm+3,m−6，
∵D 落在二次函数在第四象限的图象上，
∴−m+32+2m+3+3=m−6，
m1=1，m2=−6（舍去），
∴D4,−5．
（3） ∵C0,3，D4,−5，
∴b=3,4k+b=−5.
解得 k=−2,b=3.
∴ 直线 CD 的解析式为 y=−2x+3，
令 y=0，则 x=32，
∴M32,0，
∵ 一次函数 y=x−3 的图象与 x 轴交于 A3,0，C0,3，
∴AO=3，OC=3，
∴∠OAC=45∘．
过点 P 作 PF⊥AC，点 P 作 PN⊥OA 交 AC 于点 E，连 PC，
∴△PEF 和 △AEN 都是等腰直角三角形，
设 Pm,−m2+2m+3，Em,−m+3，
∴PE=PN−EN=−m2+2m+3−−m+3=−m2+3m，
∴EN=−m+3，AE=2−m+3，FE=22−m2+3m，
∴CF=AC−AE−EF=22m2−22m，
①当 △COM∽△CFP，PFCF=OMOC=323=12，
∴22−m2+3m22m2−m=12，
解得 m1=0，舍去，m2=73．
②当 △COM∽△PFC 时，PFCF=OCOM=21，
∴22−m2+3m22m2−m=21，
解得 m1=0，舍去，m2=53．
综合可得 P 点的横坐标为 53 或 73．