2019年江苏省苏州市太仓市中考模拟数学试卷（5月份）

这是一份2019年江苏省苏州市太仓市中考模拟数学试卷（5月份），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −25 的倒数是
A. −52B. 52C. −25D. 25

2. 函数 y=x−1 中，自变量 x 的取值范围是
A. x>1B. x≥1C. x<1D. x≤1

3. 数据 5，2，4，5，6 的中位数是
A. 2B. 4C. 5D. 6

4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于 35 个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为 7140 m2，则FAST的反射面总面积约为
A. 7.14×103 m2B. 7.14×104 m2C. 2.5×105 m2D. 2.5×106 m2

5. 如图，直线 AB∥CD，则下列结论正确的是
A. ∠1=∠2B. ∠3=∠4C. ∠1+∠3=180∘D. ∠3+∠4=180∘

6. 化简 a2−b2ab−ab−b2ab−a2 等于
A. baB. abC. −baD. −ab

7. 如图，已知平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，BD=2 cm，将 △AOB 绕其对称中心 O 旋转 180∘，则点 B 所转过的路径长为 cm．
A. 4πB. 3πC. 2πD. π

8. 已知 ⊙P 的半径为 2，圆心在函数 y=−8x 的图象上运动，当 ⊙P 与坐标轴相切于点 D 时，则符合条件的点 D 的个数为
A. 0B. 1C. 2D. 4

9. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 0,−2，且直线 l∥x 轴．若直线 l 与二次函数 y=3x2+a 的图象交于 A，B 两点，与二次函数 y=−2x2+b 的图象交于 C，D 两点，其中 a，b 为整数．若 AB=2，CD=4．则 b−a 的值为
A. 9B. 11C. 16D. 24

10. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−3x+3 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，Q 为 △AOB 内部一点，则 AQ+OQ+BQ 的最小值等于
A. 23B. 3C. 6D. 7

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 计算：−a4÷a= ．

12. 因式分解：m2n−4n= ．

13. 从 227，16，π2，−39，0.6 中任取一个数，取到有理数的概率是 ．

14. 已知圆锥的侧面积是 12π，母线长为 4，则圆锥的底面圆半径为 ．

15. 已知关于 x，y 的方程组 x+2y=1−2a,2x+y=2a−7, 则代数式 22x⋅4y= ．

16. 一次函数 y=k1x+b 与反比例函数 y=k2xk2>0 的图象相交于 A1,m，B2,n 两点，则不等式 k1x+b−k2x>0 的解集为 ．

17. 如图，在 △ABC 中，AC=6，BC=8，若 AC，BC 边上的中线 BE，AD 垂直相交于 O 点，则 AB= ．

18. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，sinA=513，AC=12，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 △AʹBʹC，P 为线段 AʹBʹ 上的动点，以点 P 为圆心，PAʹ 长为半径作 ⊙P，当 ⊙P 与 △ABC 的边相切时，⊙P 的半径为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：4sin45∘−18−2−2−−12−2．

20. 解不等式组 2x−4≥3x−2,4x>x−72, 并将解集在数轴上表示出来．

21. 如图，四边形 ABCD 中，AD=CD，∠A=∠C．
求证：AB=BC．

22. 甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择到 A，B 2 个书店购书．
（1）求甲、乙 2 名学生在不同书店购书的概率；
（2）求甲、乙、丙 3 名学生在同一书店购书的概率．

23. 为了了解某校学生对以下四个电视节目：A 《最强大脑》、 B 《中国诗词大会》、 C 《朗读者》、 D 《出彩中国人》的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中所提供的信息，完成下列问题．
（1）本次调查的学生人数为 ；
（2）在扇形统计图中，A 部分所占圆心角的度数为 ；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校共有 3000 名学生，估计该校最喜爱《中国诗词大会》的学生有多少名．

24. 某小区准备新建 50 个停车位，用以解决小区停车难的问题．已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6 万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元．
（1）该小区新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位需多少万元?
（2）该小区的物业部门预计投资金额超过 12 万元而不超过 13 万元，那么共有几种建造停车位的方案?

25. 如图，抛物线 y=−x2+bx+3 与 x 轴交于点 A，B，点 B 的坐标为 1,0．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若 P0,t（t<−1）是 y 轴上一点，Q5,0，将点 Q 绕着点 P 逆时针方向旋转 90∘ 得到点 E．
①用含 t 的式子表示点 E 的坐标；
②当点 E 恰好在该抛物线上时，求 t 的值．

26. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合），作 EC⊥OB，交 ⊙O 于点 C，作直径 CD，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P，作 AF⊥PC 交 PC 的延长线于点 F，连接 CB．
（1）求证：AC 平分 ∠FAB；
（2）求证：BC2=CE⋅CP；
（3）当 AB=43 且 CFCP=34 时，求劣弧 BD 的长度．

27. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，点 P 以每秒 1 个单位的速度从 A 向 C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 A→B→C 方向运动，它们到 C 点后都停止运动，设点 P，Q 运动的时间为 t 秒．
（1）当 t=2.5 时，PQ= ；
（2）经过 t 秒的运动，求 △ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式；
（3）P，Q 两点在运动过程中，是否存在时间 t，使得 △PQC 为等腰三角形?若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．

28. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l∥x 轴，且直线 l 与抛物线 y=−x2+4x 和 y 轴分别交于点 A，B，C，点 D 为抛物线的顶点．若点 E 的坐标为 1,1，点 A 的横坐标为 1．
（1）线段 AB 的长度等于 ；
（2）点 P 为线段 AB 上方抛物线上的一点，过点 P 作 AB 的垂线交 AB 于点 H，点 F 为 y 轴上一点，当 △PBE 的面积最大时，求 PH+HF+22FO 的最小值；
（3）在（2）的条件下，删除抛物线 y=−x2+4x 在直线 PH 左侧部分图象并将右侧部分图象沿直线 PH 翻折，与抛物线在直线 PH 右侧部分图象组成新的函数 M 的图象．现有平行于 FH 的直线 l1:y=mx+t，若直线 l1 与函数 M 的图象有且只有 2 个交点，求 t 的取值范围（请直接写出 t 的取值范围，无需解答过程）．
答案
第一部分
1. A【解析】−25 的倒数是 −52．
2. B【解析】由题意得，x−1≥0，
解得 x≥1．
3. C【解析】将数据从小到大排列为，2，4，5，5，6，中位数为 5．
4. C
5. D
6. B【解析】原式=a2−b2ab+ba−baa−b=a2−b2ab+b2ab=a2ab=ab.
7. D
8. D【解析】
由图可知满足条件的点坐标分别为 −4,2 、 −2,4 、 2,−4 、 4,−2．
9. B【解析】∵ 直线 l 经过点 0,−2，且直线 l∥x 轴，AB=2，CD=4．
∴A1,−2，C2,−2，
分别代入 y=3x2+a，y=−2x2+b 可得 a=−5，b=6，
∴b−a=11．
10. D
【解析】∵ 直线 y=−3x+3 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，
当 x=0 时，y=3；当 y=0 时，x=1；
∴OB=3，OA=1，
∴AB=OB2+OA2=32+12=2，
∴∠OBA=30∘，∠OAB=60∘，
任取 △AOB 内一点 Q，连接 AQ，BQ，OQ，
将 △ABQ 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到 △ABʹQʹ，
过 Bʹ 作 BʹC⊥x 轴于 C，如图所示：
∴ABʹ=AB=2，AQ=AQʹ，BQ=BʹQʹ，∠BABʹ=∠QAQʹ=60∘，
∴△QAQʹ 是等边三角形，
∴AQ=QQʹ，
∴OQ+AQ+BQ=OQ+QQʹ+QʹBʹ，
∴ 当 OQ，QQʹ，QʹBʹ 这三条线段在同一直线时最短，
即 AQ+OQ+BQ 的最小值 =OBʹ，
∵∠BAO=∠BABʹ=60∘，
∴∠BʹAC=60∘，
∴AC=12ABʹ=1，BʹC=3，
∴OC=OA+AC=2，
∴OBʹ=OC2+BʹC2=22+32=7，
∴AQ，OQ，BQ 之和的最小值是 7．
第二部分
11. a3
【解析】−a4÷a=a4÷a=a3．
12. nm+2m−2
【解析】m2n−4n=nm2−4=nm+2m−2.
故答案为：nm+2m−2．
13. 35
【解析】共 5 个数，有理数有 227，16，0.6，共 3 个，
则取到有理数的概率是 35．
14. 3
【解析】设圆锥的底面圆半径为 r，
由题意得，12×2π×r×4=12π，
解得，r=3，
故答案为：3．
15. 116
【解析】∵x+2y=1−2a,2x+y=2a−7,
∴ 方程两边相加得：3x+3y=−6，
x+y=−2，
∴22x⋅4y=22x⋅22y=22x+2y=2−4=116.
16. 1【解析】如图，
由图象可得：不等式 k1x+b−k2x>0 的解集是 117. 25
【解析】∵AC，BC 边上的中线 BE，AD 垂直相交于 O 点，
∴ 点 O 为 △ABC 的重心，AE=12AC=3，BD=12BC=4，
设 OD=x，OE=y，则 BO=2y，AO=2x，
在 Rt△BOD 中，x2+4y2=42，
在 Rt△AOE 中，4x2+y2=32，
∴5x2+5y2=25，即 x2+y2=5，
在 Rt△OAB 中，AB2=4x2+4y2=20，
∴AB=25．
18. 15625 或 10213
【解析】如图 1 中，当 ⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ．
设 PQ=PAʹ=r，
∵PQ∥CAʹ，
∴PQCA′=PB′A′B′，
∴r12=13−r13，
∴r=15625，
如图 2 中，当 ⊙P 与 AB 相切于点 T 时，易证 Aʹ，Bʹ，T 共线，
∵△AʹBT∽△ABC，
∴AʹTAC=A′BAB，
∴A′T12=1713，
∴A′T=20413，
∴r=12A′T=10213．
综上所述，⊙P 的半径为 15625 或 10213．
第三部分
19. 原式=4×22−32−2−2−4=22−32−2+2−4=−6.
20. 解不等式 2x−4≥3x−2，得：
x≤2.
解不等式 4x>x−72，得：
x>−1.
则不等式组的解集为
−1将解集表示在数轴上如下：
21. 连接 AC．
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA．
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAC=∠BCA．
∴BA=BC．
22. （1） 甲、乙两名学生 A，B 两个书店购书的所有可能结果如图所示：
从树状图可以看出，这两名学生到不同书店购书的可能结果有 AB，BA，共 2 种，
∴ 甲乙两名学生在不同书店购书的概率 =12．
（2） 甲、乙、丙三名学生到 A，B 两个书店购书的所有可能的结果如图所示：
从树状图可以看出，这三名学生到同一书店购书的可能结果有 AAA，BBB，共 2 种．
∴ 甲乙丙到同一书店购书的概率 =28=14．
23. （1） 120
【解析】66÷55%=120．
（2） 54∘
【解析】18120×360∘=54∘．
（3） C：120×25%=30，如图所示：
（4） 3000×55%=1650．
答：该校最喜爱《中国诗词大会》的学生有 1650 名．
24. （1） 设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，
根据题意，得
x+y=0.6,3x+2y=1.3.
解得：
x=0.1,y=0.5.
答：新建 1 个地上停车位需要 0.1 万元，新建 1 个地下停车位需 0.5 万元．
（2） 设建 m（m 为整数）个地上停车位，则建 50−m 个地下停车位，
根据题意，得：
12<0.1m+0.550−m≤13.
解得：
30≤m<32.5.∵m
为整数，
∴m=30,31,32，共有 3 种建造方案．
①建 30 个地上停车位，20 个地下停车位；
②建 31 个地上停车位，19 个地下停车位；
③建 32 个地上停车位，18 个地下停车位．
25. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+bx+3 与 x 轴交于点 B，点 B 的坐标为 1,0．
∴−12+b+3=0，
解得，b=−2，
抛物线的解析式为：y=−x2−2x+3，
y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∴ 抛物线的顶点坐标为 −1,4；
（2） ①作 EH⊥y 轴于 H，
由旋转的性质可知，PE=PQ，∠EPQ=90∘，
∴∠EPH+∠HPQ=90∘，
∵∠POQ=90∘，
∴∠OPQ+∠OQP=90∘，
∴∠EPH=∠PQO，
在 △EPH 和 △PQO 中，
∠EPH=∠PQO,∠PHE=∠QOP,PE=PQ,
∴△EPH≌△PQO（AAS），
∴PH=OQ=5，EH=OP=t，
∴OH=PH−OP=5+t，
则点 E 的坐标为 t,5+t；
②当点 E 恰好在该抛物线上时，−t2−2t+3=5+t，
解得，t1=−2，t2=−1，
∵t<−1，
∴t=−2．
26. （1） ∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠BCP+∠ACF=90∘，∠ACE+∠BCE=90∘，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PF 是 ⊙O 的切线，CE⊥AB
∴∠OCP=∠CEB=90∘，
∴∠PCB+∠OCB=90∘，∠BCE+∠OBC=90∘，
∴∠BCP=∠BCE，
∴∠ACF=∠ACE，即 AC 平分 ∠FAB．
（2） ∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PF 是 ⊙O 的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP=∠CEB=90∘，
∴∠PCB+∠OCB=90∘，∠BCE+∠OBC=90∘，
∴∠BCE=∠BCP，
∵CD 是直径，
∴∠CBD=∠CBP=90∘，
∴△CBE∽△CPB，
∴CBCP=CECB，
∴BC2=CE⋅CP．
（3） 作 BM⊥PF 交 PF 于 M．
则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，
∵∠MCB+∠P=90∘，∠P+∠PBM=90∘，
∴∠MCB=∠PBM，
∵CD 是直径，BM⊥PC，
∴∠CMB=∠BMP=90∘，
∴△BMC∽△PMB，
∴BMPM=CMBM，
∴BM2=CM⋅PM=3a2，
∴BM=3a，
∴tan∠BCM=BMCM=33，
∴∠BCM=30∘，
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60∘，∠BOD=120∘，
∴BD 的长 =120⋅π⋅23180=433π．
27. （1） 352
【解析】如图 1，过 Q 作 QE⊥AC 于 E，连接 PQ，
在 Rt△ABC 中，
∵∠C=90∘，AC=8，BC=6，
∴AB=62+82=10，
∵t=2.5，
∴AQ=5，AP=2.5，
∴QE∥BC，
∴AQAB=QEBC=AEAC，
∴510=QE6=AE8，
∴QE=3，AE=4，
∴PE=4−2.5=1.5，
∴PQ=32+1⋅52=352．
（2） 如图 1，△ABC 被直线 PQ 扫过的面积 =S△AQP．
当 Q 在 AB 边上时，S=12AP⋅QE=12t⋅65t=35t20当 Q 在 BC 边上时，△ABC 被直线 PQ 扫过的面积 =S四边形ABQP．
∴S四边形ABQP=S△ABC−S△PQC=12×8×6−128−t⋅16−2t=−t2+16t−405 ∴ 经过 t 秒的运动，△ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式是：
S=35t2,0 （3） 存在．
当点 Q 在 AB 边上时，如图 2，连接 CQ，PQ，
由（1）知 QE=65t，CE=AC−AE=8−85t，PQ=355t，
∴CQ=QE2+CE2=65t2+8−85t2．
①当 CQ=CP 时，即：65t2+8−85t2=8−t，
解得：t=165；
②当 PQ=CQ 时，即：355t==65t2+8−85t2，
解得：t=4011 或 8（不合题意舍去）；
③当 PQ=PC 时，即：355t=8−t，解得：t≈3.4．
当点 Q 在 BC 边上时，
∵∠ACB=90∘，
∴△PQC 是等腰直角三角形，
∴CQ=CP，
∴8−t=16−2t，
∴t=8，
∴P，Q，C 重合，不合题意．
综上所述：当 t=165，t=4011，t=3.4 时，△PQC 为等腰三角形．
28. （1） 2
【解析】抛物线 y=−x2+4x 的对称轴为直线 x=−42×−1=2．
∵ 点 A 的横坐标为 1，代入 y=−x2+4x 得：y=3，
∴A1,3，由抛物线的对称性得：点 B 的坐标为 3,3．
∴AB=2．
（2） ∵B3,3，E1,1，
∴ 直线 BE 解析式为 y=x，
作 l∥BE，且与抛物线相切，则可设 l 的解析式为：y=x+b．
根据该直线与抛物线相切，列一元二次方程，令其判别式为 0，
可求得 b 的值，从而得点 P 的坐标，进而得点 H 坐标及 PH 长，
∴x+b=−x2+4x，即 x2−3x+b=0，
∴Δ=9−4b=0，b=94，
∴x2−3x+94=0，
∴ 切点为：x=32，y=154，
∴PH=154−3=34，
过点 H 作 y=−x 的垂线，交 y=−x 于点 G，交 y 轴于点 F，
则 GF=22FO，∠FGO=∠OFG=∠CFH=∠CHF=45∘，
∴CF=CH=32，HF=322．
OF=CO−CF=32，GF=22OF=324，
PH+HF+22FO=34+322+324=3+924．
∴PH+HF+22FO 的最小值为：3+924．
（3） t 的取值范围为：t<134．
【解析】在（2）的条件下，平行于 FH 的直线 l1:y=mx+t，
若直线 l1 与函数 M 的图象有且只有 2 个交点，
∵∠CFH=45∘，l1∥FH，
∴m=1，y=x+t，
∵ 抛物线 y=−x2+4x 的顶点 D 为 2,4，点 H 为 32,3 点 P 为 32,154，
∴ 抛物线 y=−x2+4x 右侧部分图象沿直线 PH 翻折后抛物线顶点为 1,4，其解析式为 y=−x2+2x+3．
当直线 y=x+t 与抛物线 y=−x2+2x+3 相切时，x+t=−x2+2x+3，
∴x2−x+t−3=0，Δ=1−4t−3=13−4t=0，
∴t=134；
∴t<134 时直线 l1 与函数 M 的图象有且只有 2 个交点．
∴t 的取值范围为：t<134．