江苏省苏州市太仓市重点达标名校2021-2022学年中考数学模拟精编试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（  ）

A．20 B．24 C．28 D．30

2．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=1．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）

A．2 B．3 C．5 D．6

3．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（    ）

A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣3

4．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A11B11C11D11E11F11的边长为（　　）

A． B． C． D．

5．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是（　　）

A．（）2016    B．（）2017    C．（）2016    D．（）2017

6．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是（   ）

A．5 B．7 C．9 D．11

7．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　  　）

A． B． C． D．

8．下列运算正确的是（　　）

A．（a2）5=a7    B．（x﹣1）2=x2﹣1

C．3a2b﹣3ab2=3    D．a2•a4=a6

9．下列图形中，周长不是32 m的图形是(   )

A． B． C． D．

10．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．

（1）计算△ABC的周长等于_____．

（2）点P、点Q（不与△ABC的顶点重合）分别为边AB、BC上的动点，4PB=5QC，连接AQ、PC．当AQ⊥PC时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AQ、PC，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

___________________________．

12．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是_____．

13．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于_____．

14．已知关于x的方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__________．

15．将多项式xy2﹣4xy+4y因式分解：_____．

16．如果a，b分别是2016的两个平方根，那么a+b﹣ab=___．

17．已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为______．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=BC．如果AC=6，求AE的长；设，，求向量（用向量、表示）．

19．（5分）（问题发现）

（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为　   　；

（拓展探究）

（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；

（解决问题）

（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=2，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．

20．（8分）我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的作费用.张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）

21．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP．

（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）

22．（10分）如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．

判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4）；点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值；

（3）在y轴上是否存在点F，使∠PDF与∠ADO互余？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

24．（14分）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上(取1.732，结果取整数）？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
试题解析：根据题意得=30%，解得n=30，

所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．

故选D．

考点：利用频率估计概率．

2、C

【解析】

试题分析：连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用”AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC=，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=2．故答案选C．

考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．

3、A

【解析】
方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．

【详解】

方程，

变形得：，

配方得：，即

故选A．

【点睛】

本题考查的知识点是了解一元二次方程﹣配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式．

4、A

【解析】

分析：连接OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2，然后化简即可．

详解：连接OE1，OD1，OD2，如图，

∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，

∴∠E1OD1=60°，

∴△E1OD1为等边三角形，

∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，

∴OD2⊥E1D1，

∴OD2=E1D1=×2，

∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，

同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，

则正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2=．

故选A．

点睛：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．

5、C

【解析】

利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．

解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…

∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，

∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2===（）1，

同理可得：B3C3==（）2，

故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n﹣1．

则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是：（）2．

故选C．

“点睛”此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．

6、B

【解析】

试题解析：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=1．故选B．

7、D

【解析】

试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：

A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；

B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；

C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；

D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.

故选D.

考点：轴对称图形和中心对称图形识别

8、D

【解析】
根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加分别进行计算即可．

【详解】

A、（a2）5=a10，故原题计算错误；

B、（x﹣1）2=x2﹣2x+1，故原题计算错误；

C、3a2b和3ab2不是同类项，不能合并，故原题计算错误；

D、a2•a4=a6，故原题计算正确；

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了幂的乘方、完全平方公式、合并同类项和同底数幂的乘法，关键是掌握各计算法则．

9、B

【解析】
根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可．

【详解】

A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.

B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.

C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.

D. L=(6+10)×2=32，其周长为32.

采用排除法即可选出B

故选B.

【点睛】

此题考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式.

10、D

【解析】

试题分析：A．是轴对称图形，故本选项错误；

B．是轴对称图形，故本选项错误；

C．是轴对称图形，故本选项错误；

D．不是轴对称图形，故本选项正确．

故选D．

考点：轴对称图形．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、12    连接DE与BC与交于点Q，连接DF与BC交于点M，连接GH与格线交于点N，连接MN与AB交于P．   

【解析】
(1)利用勾股定理求出AB，从而得到△ABC的周长；

(2) 取格点D，E，F，G，H，连接DE与BC交于点Q；连接DF与BC交于点M；连接GH与格线交于点N；连接MN与AB交于点P；连接AP，CQ即为所求.

【详解】

解：(1)∵AC=3，BC=4，∠C=90º，

∴根据勾股定理得AB=5，

∴△ABC的周长=5+4+3=12.

(2)取格点D，E，F，G，H，连接DE与BC交于点Q；连接DF与BC交于点M；连接GH与格线交于点N；连接MN与AB交于点P；连接AQ，CP即为所求。

故答案为：(1)12；(2)连接DE与BC与交于点Q，连接DF与BC交于点M，连接GH与格线交于点N，连接MN与AB交于P.

【点睛】

本题涉及的知识点有：勾股定理，三角形中位线定理，轴对称之线路最短问题.

12、3cm．

【解析】
根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA＝OB＝OD＝OC，由∠AOB＝60°，判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝6cm

∴OA＝OC＝OB＝OD＝3cm，

∵∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB＝OA＝3cm，

故答案为：3cm

【点睛】

本题主要考查矩形的性质和等边三角形的判定和性质，解本题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．

13、5π

【解析】
根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧，根据弧长公式求出弧长即可．

【详解】

解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长，

然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，

则圆心O运动路径的长度为：×2π×5＝5π，

故答案为5π．

【点睛】

本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度．

14、-3

【解析】

试题解析：根据题意得：△=（2）2-4×1×（-k）=0，即12+4k=0，
解得：k=-3，

15、y（xy﹣4x+4）

【解析】
直接提公因式y即可解答.

【详解】

xy2﹣4xy+4y=y（xy﹣4x+4）．

故答案为：y（xy﹣4x+4）．

【点睛】

本题考查了因式分解——提公因式法，确定多项式xy2﹣4xy+4y的公因式为y是解决问题的关键.

16、1

【解析】
先由平方根的应用得出a，b的值，进而得出a+b=0，代入即可得出结论．

【详解】

∵a，b分别是1的两个平方根，

∴

∵a，b分别是1的两个平方根，

∴a+b=0，

∴ab=a×（﹣a）=﹣a2=﹣1，

∴a+b﹣ab=0﹣（﹣1）=1，

故答案为：1．

【点睛】

此题主要考查了平方根的性质和意义，解本题的关键是熟练掌握平方根的性质．

17、1

【解析】

解：根据题意可得x1+x2==5，x1x2==2，∴x1+x2﹣x1x2=5﹣2=1．故答案为：1．

点睛：本题主要考查了根据与系数的关系，利用一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=，x1x2=是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）1；（2）.

【解析】
（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；

（2）利用平面向量的三角形法则解答．

【详解】

（1）如图，

∵DE∥BC，且DE=BC，

∴．

又AC=6，

∴AE=1．

（2）∵，，

∴．

又DE∥BC，DE=BC，

∴

【点睛】

考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．

19、（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+8或16﹣8

【解析】
（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；

（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；

（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．

【详解】

（1）∵AB=AD，CB=CD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，

∴AC垂直平分BD，

故答案为AC垂直平分BD；

（2）四边形FMAN是矩形．理由：

如图2，连接AF，

∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，

∴AF=CF=BF，

又∵等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，

∴AD=DB，AE=CE，

∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，

又∵∠BAC=90°，

∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，

∴四边形AMFN是矩形；

（3）BD′的平方为16+8或16﹣8．

分两种情况：

①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，

如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，

由旋转可得，∠DAD'=60°，

∴∠EAD'=30°，

∵AB=2=AD'，

∴D'E=AD'=，AE=，

∴BE=2+，

∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8

②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，

如图所示：过B作BF⊥AD'于F，

旋转可得，∠DAD'=60°，

∴∠BAD'=30°，

∵AB=2=AD'，

∴BF=AB=，AF=，

∴D'F=2﹣，

∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（）2+（2-）2=16﹣8

综上所述，BD′平方的长度为16+8或16﹣8．

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．

20、至少涨到每股6.1元时才能卖出.

【解析】
根据关系式：总售价-两次交易费≥总成本+1000列出不等式求解即可．

【详解】

解：设涨到每股x元时卖出，

根据题意得1000x-（5000+1000x）×0.5%≥5000+1000，

解这个不等式得x≥，

即x≥6.1．

答：至少涨到每股6.1元时才能卖出．

【点睛】

本题考查的是一元一次不等式在生活中的实际运用，解决本题的关键是读懂题意根据“总售价-两次交易费≥总成本+1000”列出不等关系式．

21、（1）作图见解析；（2）EB是平分∠AEC，理由见解析； （3）△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PF折叠，②沿AE折叠．

【解析】

【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的方法作图即可得出结论；

（2）先求出DE=CE=1，进而判断出△ADE≌△BCE，得出∠AED=∠BEC，再用锐角三角函数求出∠AED，即可得出结论；

（3）先判断出△AEP≌△FBP，即可得出结论．

【详解】（1）依题意作出图形如图①所示；

（2）EB是平分∠AEC，理由：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=，

∵点E是CD的中点，

∴DE=CE=CD=1，

在△ADE和△BCE中，，

∴△ADE≌△BCE，

∴∠AED=∠BEC，

在Rt△ADE中，AD=，DE=1，

∴tan∠AED==，

∴∠AED=60°，

∴∠BCE=∠AED=60°，

∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC，

∴BE平分∠AEC；

（3）∵BP=2CP，BC==，

∴CP=，BP=，

在Rt△CEP中，tan∠CEP==，

∴∠CEP=30°，

∴∠BEP=30°，

∴∠AEP=90°，

∵CD∥AB，

∴∠F=∠CEP=30°，

在Rt△ABP中，tan∠BAP==，

∴∠PAB=30°，

∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB，

∵CB⊥AF，

∴AP=FP，

∴△AEP≌△FBP，

∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，

变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PF折叠，②沿AE折叠．

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，图形的变换等，熟练掌握和灵活应用相关的性质与定理、判断出△AEP≌△△FBP是解本题的关键．

22、解：（1）AF与圆O的相切．理由为：

如图，连接OC，

∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC．

∴∠OCP=90°．

∵OF∥BC，

∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB．

∵OC=OB，∴∠OCB=∠B．∴∠AOF=∠COF．

∵在△AOF和△COF中，OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，

∴△AOF≌△COF（SAS）．∴∠OAF=∠OCF=90°．

∴AF为圆O的切线，即AF与⊙O的位置关系是相切．

（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF．

∵OA=OC，∴E为AC中点，即AE=CE=AC，OE⊥AC．

∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=1．

∵S△AOF=•OA•AF=•OF•AE，∴AE=．

∴AC=2AE=．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；

（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．

试题解析：（1）连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O直径，

∴∠BCA=90°，

∵OF∥BC，

∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，

∴OF⊥AC，

∵OC=OA，

∴∠B=∠1，

∴∠3=∠2，

在△OAF和△OCF中，

，

∴△OAF≌△OCF（SAS），

∴∠OAF=∠OCF，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠OCF=90°，

∴∠OAF=90°，

∴FA⊥OA，

∴AF是⊙O的切线；

（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，

∴OF==1

∵FA⊥OA，OF⊥AC，

∴AC=2AE，△OAF的面积=AF•OA=OF•AE，

∴3×4=1×AE，

解得：AE=，

∴AC=2AE=．

考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质．

23、 (1) y＝﹣x2﹣3x+4；(2)当时，S有最大值；（3）点P的横坐标为﹣2或1或或.

【解析】
（1）将代入，列方程组求出b、c的值即可；

（2）连接PD，作轴交于点G，求出直线的解析式为，设

，则，

，，

当时，S有最大值；

（3）过点P作轴，设，则，

，

根据，列出关于x的方程，解之即可．

【详解】

解：（1）将、代入，

，

∴二次函数的表达式；

（2）连接，作轴交于点，如图所示．

在中，

令y＝0，得，

∴直线AD的解析式为．

设，则，

，

∴．

，

∴当时，S有最大值．

（3）过点P作轴，设，则，，

，

即

，

当点P在y轴右侧时，，

，或，

（舍去）或（舍去），

当点P在y轴左侧时，x＜0，

，或，

（舍去），或（舍去），

综上所述，存在点F，使与互余点P的横坐标为或或或．

【点睛】

本题是二次函数，熟练掌握相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及二次函数图象的性质等是解题的关键．

24、450m.

【解析】
若要使A、C、E三点共线，则三角形BDE是以∠E为直角的三角形，利用三角函数即可解得DE的长．

【详解】

解：，，

，

在中，，，

，

．

答：另一边开挖点离，正好使，，三点在一直线上．

【点睛】

本题考查的知识点是解直角三角形的应用和勾股定理的运用，解题关键是是熟记含30°的直角三角形的性质.