2019年天津市河西区中考二模数学试卷

这是一份2019年天津市河西区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 (−6)÷2 的结果等于 ( )
A. 4B. −4C. −3D. −12

2. sin60∘ 的值是 ( )
A. 22B. 33C. 12D. 32

3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.

4. 某微生物的直径为 0.000005035 m，数据 0.000005035 用科学记数法表示应为 ( )
A. 5.035×10−6B. 50.35×10−5C. 5.035×106D. 5.035×10−5

5. 如图所示的几何体的主视图是 ( )
A. B.
C. D.

6. 估计 57 的值在 ( )
A. 5 和 6 之间B. 6 和 7 之间C. 7 和 8 之间D. 8 和 9 之间

7. 分式方程 13x=2x−2 的解为 ( )
A. x=1B. x=−1C. x=25D. x=−25

8. 二元一次方程组 2x−y=9,3x+y=6 的解为 ( )
A. x=3,y=−3B. x=−2,y=1C. x=2,y=−2D. x=2,y=−1

9. 如图，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为 (3,0)，(−2,0)，点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是 ( )
A. (−5,4)B. (0,4)C. (−5,3)D. (−5,5)

10. 若点 A(x1,−6)，B(x2,−2)，C(x3,2) 在反比例函数 y=12x 的图象上，则 x1，x2，x3 的大小关系是 ( )
A. x1
11. 如图，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 △EDC，若点 A，D，E 在同一条直线上，则 ∠BAD 的度数是 ( )
A. 65∘B. 70∘C. 80∘D. 90∘

12. 已知抛物线 y=x2+2mx−3m（m 是常数），且无论 m 取何值，该抛物线都经过某定点 H，则点 H 的坐标为 ( )
A. −32,1B. −32,−1C. 32,94D. −32,94

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 a4⋅a3 的结果等于 ．

14. 如图，在 △ABC 中，MN∥BC，分别交 AB，AC 于点 M，N，若 AM=1，MB=52，BC=3，则 MN 的长为 ．

15. 不透明袋子中装有 5 个球，其中有 2 个红球，1 个绿球和 2 个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率是 ．

16. 如图，第一个图形是用 3 根一样长度的木棍拼接而成的等边三角形 ABC，第二个图形是用 5 根同样木棍拼接成的；那么按图中所示的规律，在第 n 个图形中，需要这样的木棍的根数为 ．
⋯⋯

17. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=7，E 为 CD 的中点，若 P，Q 为 BC 边上的两个动点，且 PQ=2，若想使得四边形 APQE 的周长最小，则 BP 的长度应为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 在每个小正方形的边长为 1 的网格中，有 △ABC，点 A，B，C 都在格点上．
（1）△ABC 的面积等于 ；
（2）求作其内接正方形，使其一边在 BC 上，另两个顶点各在 AB，AC 上，在如图所示的网格中，请你用无刻度的直尺，画出该正方形，并简要说明画图的方法（不要求证明） ．

19. 解不等式组 x+3≥6, ⋯⋯①2x−1≤9. ⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如图的统计图 ① 和图 ②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图 ① 中 a 的值为 ；
（2）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定 10 人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为 1.65 m 的运动员能否进入复赛．

21. 如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线相交于点 E，⊙O 的切线 DF 交 EC 于点 F．
（1）求 ∠DFC 的度数；
（2）若 AC=3AE，BC=12．求 ⊙O 的直径 AB．

22. 如图，从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地，图中 AC=30 km，∠CAB=25∘，∠CBA=45∘．因城市规划的需要，将在 A，B 两地之间修建一条笔直的公路．（参考数据 sin25∘≈0.42，cs25∘≈0.91，tan25≈0.47，2 取 1.414．）（结果保留小数点后一位）
（1）求改直后的公路 AB 的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少 km?

23. 公司有 345 台电脑需要一次性运送到某学校，计划租用甲、乙两种货车共 8 辆．已知每辆甲种货车一次最多运送电脑 45 台、租车费用为 400 元，每辆乙种货车一次最多运送电脑 30 台、租车费用为 280 元．
（1）设租用甲种货车 x 辆（x 为非负整数），试填写如表．
表一：
租用甲种货车的数量/辆37x租用的甲种货车最多运送电脑的数量/台135租用的乙种货车最多运送电脑的数量/台150
表二：
租用甲种货车的数量/辆37x租用甲种货车的费用/元2800租用乙种货车的费用/元280
（2）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．

24. 如图，将 △AOB 放在平面直角坐标系中，点 O(0,0)，点 A(6,0)，点 B(0,8)．动点 P 从点 A 开始沿边 AO 向点 O 以每秒 1 个单位长度的速度运动，同一时间，动点 Q 从点 O 开始沿边 OB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．过点 P 作 PD∥BO 交 AB 于点 D，连接 PQ，设运动时间为 t 秒（t≥0）．
（1）用含 t 的代数式表示 PD；
（2）（ⅰ）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为平行四边形?若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由；
（ⅱ）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形?若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．
（3）在整个运动过程中，求出线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长（直接写出结果即可）．

25. 如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B5,0，另一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C0,5．
（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；
（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MN∥y 轴交直线 BC 于点 N，求 MN 的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点，以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1，△ABN 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. B
4. A
5. B
6. C【解析】∵49<57<64，
∴7<57<8．
7. D【解析】去分母得：x−2=6x，
解得：x=−25，
经检验 x=−25 是分式方程的解．
所以原方程的解是：x=−25．
8. A【解析】2x−y=9, ⋯⋯①3x+y=6. ⋯⋯②
①+② 得：5x=15，即 x=3，
把 x=3 代入 ② 得：y=−3，
故方程组的解为 x=3,y=−3.
9. A【解析】∵ 菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为 (3,0)，(−2,0)，点 D 在 y 轴上，
∴AB=5，
∴AD=5，CD=5，
∴ 由勾股定理知：OD=AD2−OA2=52−32=4，
∴ 点 C 的坐标是：(−5,4)．
10. B
【解析】因为 A，B，C 在函数 y=12x 的图象上，
所以 x1=126=−2，x2=12−2=−6，x3=122=6，
所以 x211. D【解析】∵ 将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 △EDC，
∴∠ABC=∠CDE，∠BCD=90∘，
∵∠CDE+∠ADC=180∘，
∴∠ABC+∠ADC=180∘，
在四边形 ABCD 中，∠ABC+∠BAD+∠ADC+∠BCD=360∘，
∴∠BAD=90∘．
12. C【解析】∵ 抛物线 y=x2+2mx−3m=(2x−3)m+x2，
∴ 当 2x−3=0 时，无论 m 为何值，抛物线经过定点 H，
∴x=32，y=94，
∴ 定点 H 的坐标为：32,94．
第二部分
13. a7
14. 67
15. 15
16. 2n+1
17. 103
【解析】如图，在 AD 上截取线段 AF=DE=2，
作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点．
因为 E 为 CD 的中点，
所以 CE=2，
所以 GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90∘，
因为 BC∥GH，
所以 △QCE∽△GHE，
所以 CQGH=ECEH，
所以 CQ5=26，
所以 CQ=53，
所以 BP=CB−PQ−CQ=7−2−53=103．
第三部分
18. （1） 10
【解析】S△ABC=12×5×4=10．
（2） 取格点 D，F，E，连接 DE，DF 分别交 AB，AC 于点 M，N，再取格点 S，T，G，K，连接 GK，ST 交于点 Q，连接 MQ 并延长 MQ 交 BC 于点 P，同理得到点 R，四边形 MPRN 即为所求的正方形
【解析】首先计算此三角形中内接的最大的正方形的边长，然后找到 AB，AC 上分界点的比例关系，在构造相似三角形，然后再找到垂直于底边的两个边即可．
设正方形边长为 x，
∵MN∥BC，则有 MNBC=AIAD，即 x5=4−x4，
解得：x=209，
则有 AMAB=ANAC=49，
即 AMMB=ANNC=45，
∵AD=4，则在 B 的正上方取 E 点使得 BE=5，
连接 DE 交 AB 于 M，则 M 为所求；
同理取格点 F，连接 DF 分别交 AC 于点 N．
下面只需过 M，N 点作 BC 的垂线即可，四边形 MPQN 即为所求的正方形．
19. （1） x≥3
（2） x≤5
（3） 把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来．如图：
（4） 3≤x≤5
20. （1） 25
【解析】根据题意得：1−20%−10%−15%−30%=25%，故 a 的值是 25．
（2） 观察条形统计图，
∵x=1.50×2+1.55×4+1.60×5+1.65×6+1.70×32+4+5+6+3=1.61，
∴ 这组数据的平均数是 1.61；
∵ 在这组数据中，1.65 出现了 6 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数为 1.65；
∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 1.60，有 1.60+1.602=1.60，
∴ 这组数据的中位数为 1.60．
（3） 能．
【解析】∵ 共有 20 个人，中位数是第 10，11 个数的平均数，
∴ 根据中位数就可以判断出能否进入前 9 名，
∵1.65 m>1.60 m，
∴ 能进入复赛．
21. （1） 连接 OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF 是 ⊙O 的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC，
∴∠DFC=∠ODF=90∘．
（2） 连接 BE，
∵AB 是直径，
∴∠AEB=90∘，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
设 AE=k，则 AB=AC=3k，EC=4k，
∴ 在 Rt△ABE 中，BE2=AB2−AE2=8k2，
在 Rt△BEC 中，BE2+EC2=BC2，
∵BC=12，
∴8k2+16k2=122，
∴k2=6，
∴k=6（负舍），
∴ 直径 AB=3AE=36．
22. （1） 过点 C 作 CH⊥AB 交 AB 于点 H，
在 Rt△ACH 中，AC=30，∠CAB=25∘，
∴CH=AC⋅sin∠CAB=AC⋅sin25∘≈30×0.42，AH=AC⋅cs∠CAB=AC⋅cs25∘≈30×0.91；
又在 Rt△BCH 中，
∵∠CBA=45∘，
∴BH=CH，
∴AB=AH+BH≈30×0.42+30×0.91=12.6+27.3≈39.9（千米）．
答：改直后的公路 AB 的长为 39.9 千米．
（2） 在 Rt△BCH 中，sin∠CBH=CHBC，BC=CHsin45∘=2CH，
∴BC≈1.414×30×0.42=17.8164≈17.8（千米），
∴AC+BC−AB=30+17.8−39.9=7.9（千米），
答：改直后的路程缩短了 7.9 千米．
23. （1） 表一：315，45x，30，−30x+240；
表二：1200，400x，1400，−280x+2240
【解析】由题意可得，在表一中，当甲车 7 辆时，运送的机器数量为：45×7=315（台），
则乙车 8−7=1 辆，运送的机器数量为：30×1=30（台），
当甲车 x 辆时，运送的机器数量为：45×x=45x（台），
则乙车 (8−x) 辆，运送的机器数量为：30×(8−x)=−30x+240（台），
在表二中，当租用甲货车 3 辆时，租用甲种货车的费用为：400×3=1200（元），
则租用乙种货车 8−3=5（辆），租用乙种货车的费用为：280×5=1400（元），
当租用甲货车 x 辆时，租用甲种货车的费用为：400×x=400x（元），
则租用乙种货车 (8−x) 辆，租用乙种货车的费用为：280×(8−x)=−280x+2240（元）．
（2） 能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车 7 辆，乙车 1 辆，理由如下：
设租用甲种货车 x 辆时，两种货车的总费用为 y 元，
所以 y=400x+(−280x+2240)=120x+2240，
因为 120>0，
所以 y 随 x 的增大而增大，
因为 45x+(−30x+240)≥345，解得 x≥7，
所以当 x=7 时，y 取得最小值，此时 8−x=1．
答：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案为甲种货车 7 辆、乙种货车 1 辆．
24. （1） ∵ 点 A(6,0)，点 B(0,8)，
∴OA=6，OB=8，
且由题意，PA=t，OQ=2t，
∵PD∥BO，
∴PDBO=PAAO，
又 BO=8，AO=6，PA=t，
∴PD8=t6，
∴PD=43t．
（2） （ⅰ）存在，理由如下：
∵BQ∥DP，
若 BQ=DP，
∴ 则四边形 PDBQ 是平行四边形，
即 8−2t=43t，解得：t=125，
∴ 当 t=125 时，四边形 PDBQ 为平行四边形．
（ⅱ）不存在，理由如下：
∵OA=6，OB=8，
∴ 在 Rt△AOB 中，AB=OA2+OB2=62+82=10，
∵PD∥BO，
∴ADAB=PAAO，
∴AD10=t6，
∴AD=5t3，
∴BD=10−5t3，
∴ 当 t=125，四边形 PDBQ 为平行四边形时，PD=165，BD=6，
∴DP≠BD，
∴ 四边形 PDBC 不能为菱形．
（3） 25．
【解析】∵ 点 Q 在 BO 上运动，点 P 在 AO 上运动，
∴ 线段 PQ 的中点 M 的运动路径为一条线段，
∵ 当 Q 在点 O 时，点 P 在点 A 处，
∴OM=12PQ=12×6=3，
∵ 当 Q 在点 B 时，AP=4，则 OP=2，
此时，连接 PQ，取 PQ 的中点 Mʹ，过 Mʹ 作 MʹE⊥OA 交 OA 于点 E，
∴OE=1，
∴EM=2，
∵AO⊥BO，MʹE⊥OA，
∴MʹE∥BO，
∵Mʹ 为 PQ 的中点，
∴MʹE 为 △BOP 的中位线，
∴MʹE=12BO=4，
∴ 点 M 的运动路径长为 MMʹ=22+42=25．
25. （1） 设直线 BC 的解析式为 y=kx+m，将 B5,0，C0,5 代入，得
5k+m=0,m=5,
得
k=−1,m=5.∴
直线 BC 的解析式为 y=−x+5．
将 B5,0，C0,5 代入 y=x2+bx+c，得
25+5b+c=0,c=5,
得
b=−6,c=5.∴
抛物线的解析式为 y=x2−6x+5．
（2） ∵ 点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的动点，
∴ 设 Mm,m2−6m+5．
∵ 点 N 是直线 BC 上与点 M 横坐标相同的点，
∴Nm,−m+5．
∵ 当点 M 在抛物线在 x 轴下方时，N 的纵坐标总大于 M 的纵坐标．
∴MN=−m+5−m2−6m+5=−m2+5m=−m−522+254．
∴MN 的最大值是 254．
（3） ∵MN 取得最大值时，x=52
∴−x+5=−52+5=52，即 N52,52．
解方程 x2−6x+5=0，得 x=1 或 5，
∴A1,0，B5,0．
∴AB=5−1=4．
∴△ABN 的面积 S2=12×4×52=5．
∴ 平行四边形 CBPQ 的面积 S1=6S2=30．
设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD，则 BC⊥BD．
∵BC=52，
∴BC⋅BD=30，
∴BD=32．
过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线于点 P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC，则四边形 CBPQ 为平行四边形．
∵BC⊥BD，∠OBC=45∘，
∴∠EBD=45∘，
∴△EBD 为等腰直角三角形，BE=2BD=6，
∵B5,0，
∴E−1,0．
设直线 PQ 的解析式为 y=−x+t，将 E−1,0 代入，得 1+t=0，解得 t=−1，
∴ 直线 PQ 的解析式为 y=−x−1．
解方程组
y=−x−1,y=x2−6x+5,
得
x1=2,y1=−3,x2=3,y2=−4,∴
点 P 的坐标为 P12,−3（与点 D 重合）或 P23,−4．