2018年天津市河西区中考一模数学试卷

这是一份2018年天津市河西区中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 6−−4+7 的结果等于
A. 5B. 9C. 17D. −9

2. sin45∘ 的值是
A. 12B. 1C. 32D. 22

3. 下列有关“安全提示”的图案中，可以看作轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 据某行业研究报告提出，预计到 2021 年，中国共享单车用户数将达 1.98 亿，运营市场规模有望达到 291 亿元，将 291 亿用科学记数法表示应为
A. 291×107B. 2.91×108C. 2.91×109D. 2.91×1010

5. 如图所示的几何体的俯视图为
A. B.
C. D.

6. 估计 50 的值在
A. 5 和 6 之间B. 7 和 8 之间
C. −6 和 −5 之间D. −8 和 −7 之间

7. 分式方程 5x=7x−2 的解为
A. x=−5B. x=−3C. x=3D. x=−2

8. 等边三角形的边心距为 3，则该等边三角形的边长是
A. 33B. 6C. 23D. 2

9. 如图，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影部分剪下，拼成右边的矩形，由图形①到图形②的变化过程能够验证的一个等式是
A. aa+b=a2+abB. a2−b2=a+ba−b
C. a+b2=a2+2ab+b2D. aa−b=a2−ab

10. 已知反比例函数 y=−6x，当 −3A. 0
11. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上的一点，BE=1，F 为 AB 的中点，P 为 AC 上一个动点，则 PF+PE 的最小值为
A. 23B. 4C. 17D. 25

12. 已知点 P 为抛物线 y=x2+2x−3 在第一象限内的一个动点，且 P 关于原点的对称点 Pʹ 恰好也落在该抛物线上，则点 Pʹ 的坐标为
A. −1,−1B. −2,−3
C. −2,−22−1D. −3,−23

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 −a32 的结果等于 ．

14. 从 2，0，π，3.14，6 这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是 ．

15. 请写出一个二次函数的解析式，满足过点 1,0，且与 x 轴有两个不同的交点 ．

16. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．若 AD=3，DB=2，BC=6，则 DE 的长为 ．

17. 如图，正六边形 ABCDEF 的顶点 B，C 分别在正方形 AMNP 的边 AM，MN 上，若 AB=1，则 CN= ．

18. 在每个小正方形的边长为 1 的网格中，有以 AB 为直径的半圆和线段 AP，AB 组成的一个封闭图形，点 A，B，P 都在网格点上．
（Ⅰ）计算这个图形的面积为 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一条能够将这个图形的面积平分的直线，并简要说明这条直线是如何找到的（不要求证明） ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 x−1≤5, ⋯⋯①3x+2>4x, ⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中 a 的值为 ；
（2）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定 9 人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为 1.60 m 的运动员能否进入复赛．

21. 如图，已知：AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，CD 是 ⊙O 的切线，AD⊥CD 于点 D，E 是 AB 延长线上的一点，CE 交 ⊙O 于点 F，连接 OC，AC，若 ∠DAO=105∘，∠E=30∘．
（1）求 ∠OCE 的度数；
（2）若 ⊙O 的半径为 22，求线段 EF 的长．

22. 如图所示，天津电视塔顶部有一桅杆 AB，数学兴趣小组的同学在距地面高为 4.2 m 的平台 D 处观测电视塔桅杆顶部 A 的仰角为 67.3∘，观测桅杆底部 B 的仰角为 58∘．已知点 A，B，C 在同一条直线上，EC=172 m．求测得的桅杆部分 AB 的高度和电视塔 AC 的高度．（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan67.3∘≈2.39，tan58∘≈1.60）

23. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按 8 折出售，乙商场对一次购物中超过 200 元后的价格部分打 7 折．
（1）以 x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出 y 关于 x 的函数解析式；
（2）在同一直角坐标系中画出（1）中函数的图象；
（3）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱?

24. 如图①，在平面直角坐标系中，等边 △ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为 5,0，9,0，点 D 是 x 轴正半轴上一个动点，连接 CD，将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转 60∘ 得到 △BCE，连接 DE．
（1）直接写出点 C 的坐标，并判断 △CDE 的形状，说明理由；
（2）如图②，当点 D 在线段 AB 上运动时，△BDE 的周长是否存在最小值?若存在，求出 △BDE 的最小周长及此时点 D 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）当 △BDE 是直角三角形时，求点 D 的坐标．（直接写出结果即可）

25. 已知二次函数 y=x2−2x+cc<0 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点的左侧），与 y 轴交于点 C，且 OB=OC．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 Fʹ 恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标；
（3）若有动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M，与抛物线交于点 N，试问：抛物线上是否存在点 Q，使得 △PQN 与 △APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小?如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. D【解析】由特殊角的三角函数值可知，sin45∘=22．
3. C
4. D
5. C
6. B
7. A
8. B
9. B
10. C
11. C
12. D
第二部分
13. a6
14. 35
15. y=x2−3x+2（答案不唯一）
16. 185
17. 3−32
18. 20+8π，如图取格点 O，H，连接 PO，OH，PH，取格点 F，作直线 OF 交 PB 于点 E，再作直线 HE，直线 HE 即为所求
第三部分
19. （1） x≤6
（2） x<2
（3） 如图所示：
（4） x<2
20. （1） 25
（2） 平均数为 1.50×2+1.55×4+1.60×5+1.65×6+1.70×32+4+5+6+3=1.61m，众数为 1.65，中位数为 1.60+1.602=1.60．
（3） 由条形统计图知，分数从高到低排列 1.70 m 的有 3 人，1.65 m 的有 6 人，共 9 人，
∴ 初赛成绩为 1.60 m 的运动员不能进入复赛．
21. （1） ∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴OC⊥CD，
又 ∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠COE=∠DAO=105∘，
∴∠OCE=180∘−∠COE−∠E=45∘．
（2） 如图，作 OM⊥CE 于 M，
则 CM=MF，
∵∠OCE=45∘，
∴OM=CM=2=MF，
在 Rt△MOE 中，ME=OMtanE=23，
∴EF=ME−MF=23−2．
22. 如图，作 DF⊥AC 于点 F，
∵DF∥EC，DE∥CF，DE⊥EC，
∴ 四边形 DECF 是矩形，
∴DF=EC=172 m，DE=CF=4.2 m，
在 Rt△ADF 中，AF=DF⋅tan67.3∘≈411.1m，
在 Rt△BDF 中，BF=DF⋅tan58∘≈275.2m，
∴AB=AF−BF=411.1−275.2=135.9m，AC=AF+CF=411.1+4.2=415.3m．
答：桅杆部分 AB 的高度为 135.9 m，电视塔 AC 的高度为 415.3 m．
23. （1） 甲商场：y=0.8x；
乙商场：y=x0≤x≤200，
y=0.7x−200+200=0.7x+60，即 y=0.7x+60x>200．
（2） 如图所示．
（3） 当 0.8x=0.7x+60 时，x=600，
∴x<600 时，甲商场购物更省钱；
x=600 时，甲、乙两商场购物花钱相同；
x>600 时，乙商场购物更省钱．
24. （1） C7,23，△CDE 是等边三角形，
理由：如图 1，过点 C 作 CH⊥AB 于 H，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=60∘，AH=12AB=12×9−5=2，
∴OH=OA+AH=7，
在 Rt△ACH 中，∠BAC=60∘，AH=2，
∴CH=3AH=23，
∴C7,23，
由旋转知，∠DCE=60∘，DC=EC，
∴△CDE 是等边三角形．
（2） 存在，
理由：由（Ⅰ）知，△CDE 是等边三角形，
∴DE=CD，
由旋转知，BE=AD，
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE=4+CD，
由两点之间垂线段最短可知，CD⊥AB 于 D 时，△BDE 的周长最小，此时，CD=23，
∴△BDE 的周长最小值为 4+23，D7,0．
（3） D1,0 或 D13,0．
【解析】如图 2，
由旋转知，∠CBE=∠CAD=120∘，
∵∠ABC=60∘，
∴∠DBE=60∘，
∵△BDE 是直角三角形，
∴∠BED=90∘ 或 ∠BDE=90∘（∠BDʹEʹ=90∘），
当 ∠BED=90∘ 时，
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠CED=60∘，
∴∠BEC=30∘，
∵∠CBE=∠CAD=120∘，
∴∠BCE=30∘，
∴BE=BC=AB=4，
在 Rt△BDE 中，∠DBE=∠CBE−∠ABC=60∘，
∴BD=2BE=8，
∵OB=9，
∴OD=OB−BD=1，
∴D1,0，
当 ∠BDʹEʹ=90∘ 时，
∵△CDʹEʹ 是等边三角形，
∴∠CDʹEʹ=60∘，
∴∠BDʹC=30∘，
∵∠ABC=60∘，
∴∠BCDʹ=30∘=∠BDʹE，
∴BDʹ=BC=6，
∵OB=9，
∴ODʹ=OB+BDʹ=13，
∴Dʹ13,0，
即：D1,0 或 D13,0．
25. （1） ∵y=x2−2x+cc<0，
∴ 点 C 的坐标为 0,c，
∵OB=OC，点 A 在点 B 的左侧，
∴ 点 B 的坐标为 −c,0，
将点 −c,0 代入 y=x2−2x+c，解得 c1=−3，c2=0（舍去），
∴c=−3，
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−2x−3，配方得 y=x−12−4，
∴ 顶点坐标为 1,−4．
（2） 设点 F 的坐标为 0,m，
∵ 对称轴为直线 l：x=1，
∴ 点 F 关于直线 l 的对称点 Fʹ 的坐标为 2,m，
设直线 BE 的解析式为 y=kx+b，
将 B3,0，E1,−4 代入得 3k+b=0,k+b=−4, 解得 k=2,b=−6,
∴ 直线 BE 的解析式为 y=2x−6，
∵ 点 Fʹ 在直线 BE 上，
∴m=2×2−6=−2，
∴ 点 F 的坐标为 0,−2．
（3） 存在，设点 P 的坐标为 n,0，
则 PA=n+1，PB=PM=3−n，PN=−n2+2n=3，
如图，作 QR⊥PN，垂足为 R，
∵S△PQN=S△APM，
∴12n+13−n=12−n2+2n+3⋅QR，
∴QR=1，
①当点 Q 在直线 PN 的左侧时，
Q 点坐标为 n−1,n2−4n，
R 点的坐标为 n,n2−4n，
N 点的坐标为 n,n2−2n−3，
∴ 在 Rt△QNR 中，NQ2=1+2n−32，
∴ 当 n=32 时，NQ 取最小值，此时 Q 点的坐标为 32,−154；
②当点 Q 在直线 PN 的右侧时，Q 点的坐标为 n+1,n2−4，
同理，NQ2=1+2n−12，
∴ 当 n=12 时，NQ 取最小值，此时 Q 点的坐标为 12,−154．
综上所述，满足题意的点 Q 坐标为 12,−154 和 32,−154．