2019年天津市北辰区中考二模数学试卷

这是一份2019年天津市北辰区中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −2+−6 的结果是
A. 12B. 13C. −8D. −4

2. 13cs30∘ 的值是
A. 16B. 26C. 36D. 33

3. 根据统计数据，截止 2018 年底，中国高速铁路营业里程已达 29000 km，成为世界上高铁里程最长的国家，将 29000 用科学记数法表示为
A. 0.29×105B. 2.9×104C. 29×103D. 290×102

4. 下列图标，可以看作是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 23−1 的值在
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 方程组 x−y=1,2x+y=5 的解是
A. x=2,y=−1B. x=1,y=2C. x=−1,y=2D. x=2,y=1

8. 计算 5x+3yx2−y2−2xx2−y2 的结果是
A. 3x−yB. 3x+yC. 5x−yD. 5x+y

9. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=65∘，以点 A 为旋转中心，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转，得 △ABʹCʹ，连接 BBʹ，若 BBʹ∥AC，则 ∠BACʹ 的大小是
A. 15∘B. 25∘C. 35∘D. 45∘

10. 如图，在同一直角坐标系中，函数 y=kx 与 y=kxk≠0 的图象大致是
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④

11. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60∘，E 为 BC 边的中点，M 为对角线 BD 上的一个动点．则下列线段的长等于 AM+12BM 最小值的是
A. ADB. AEC. BDD. BE

12. 抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a<0）经过点 0,2，且关于直线 x=−1 对称，x1,0 是抛物线与 x 轴的一个交点．有下列结论：
①方程 ax2+bx+c=2 的一个根是 x=−2；
②若 1③若 m=4 时，方程 ax2+bx+c=m 有两个相等的实数根，则 a=−2；
④若 −32≤x≤0 时，2≤y≤3，则 a=−1．
其中正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 a5÷a2 的结果等于 ．

14. 当 x=10−1 时，多项式 x2+2x+6 的值等于 ．

15. 一个不透明的盒中装有 9 个小球，其中有 2 个红球，3 个黄球，4 个蓝球，这些小球除颜色外无其他差别，从盒中随机摸出一个小球为红球的概率是 ．

16. 一次函数 y=−x+b，当 b<0 时，这个一次函数的图象不经过的象限是 ．

17. 如图，在等边 △ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，CD=12BC，E，F 分别是 BC，AD 的中点，若 AB=2，则线段 EF 的长是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C，D 都在格点上．
（1）AC 的长是 ；
（2）将四边形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕 EF 交 BC 于点 E，交 AD 于点 F，点 D 的对应点为 Q，得五边形 ABEFQ．请用无刻度的直尺在网格中画出折叠后的五边形，并简要说明点 E，F，Q 的位置是如何找到的： ．

19. 解不等式组 2x+1≤x+2, ⋯⋯①3x+1+1≥−2. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式 ①，得 ；
（Ⅱ）解不等式 ②，得 ；
（Ⅲ）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来．
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

20. 3 月 12 日是我国义务植树节，某校组织学生开展义务植树活动，在活动结束后随机调查了 40 名学生每人植树的棵数，根据调查获取的样本数据，制作了不完整的扇形统计图和条形统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中 m 的值是 ，补全条形统计图；
（2）求抽取的这部分学生植树棵数的平均数；
（3）若本次活动共有 320 名学生参加，估计植树棵数超过 8 棵的约有多少人．

21. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上 AB 同侧的两点，∠BAC=25∘．
（1）如图①，若 OD⊥AB，求 ∠ABC 和 ∠ODC 的大小；
（2）如图②，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 AB 延长线于点 E，若 OD∥EC，求 ∠ACD 的大小．

22. 一轮船以 15 海里/时的速度向正北方向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 42∘ 方向，航行 2 小时到达 B 处，测得灯塔 C 在南偏东 60∘ 方向，求 B 处与灯塔 C 的距离 BC 的长度（结果保留 1 位小数）．
参考数据：sin42∘≈0.67，cs42∘≈0.74，tan42∘≈0.90，3≈1.73．

23. 学校计划购买某种树苗绿化校园，甲、乙两林场这种树苗的售价都是每棵 20 元，又各有不同的优惠方案．甲林场：若一次购买 20 棵以上，售价是每棵 18 元；乙林场：若一次购买 10 棵以上，超过 10 棵部分打 8.5 折．设学校一次购买这种树苗 x 棵（x 是正整数）．
（1）根据题意填写下表：
学校一次购买树苗棵10152040在甲林场实际花费元200300在乙林场实际花费元200370710
（2）学校在甲林场一次购买树苗，实际花费记为 y1（元），在乙林场一次购买树苗，实际花费记为 y2（元），请分别写出 y1，y2 与 x 的函数关系式；
（3）当 x>20 时，学校在哪个林场一次购买树苗，实际花费较少?为什么?

24. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A3,4，点 B6,0．
（1）如图①，求 AB 的长；
（2）如图②，把图①中的 △OAB 绕点 B 顺时针旋转，使点 O 的对应点 M 恰好落在 OA 的延长线上，N 是点 A 旋转后的对应点．
（ⅰ）求证：BN∥OM；
（ⅱ）求点 N 的坐标．
（3）点 C 是 OB 的中点，点 D 为线段 OA 上的动点，在 △OAB 绕点 B 顺时针旋转过程中，点 D 的对应点是 P，求线段 CP 长的取值范围（直接写出结果）．

25. 抛物线 y=−x2+bx+c（b，c 为常数）与 x 轴交于点 x1,0 和 x2,0，与 y 轴交于点 A，点 E 为抛物线顶点．
（1）当 x1=−1，x2=3 时，求点 A，点 E 的坐标；
（2）若顶点 E 在直线 y=x 上，当点 A 位置最高时，求抛物线的解析式；
（3）若 x1=−1，b>0，当 P1,0 满足 PA+PE 值最小时，求 b 的值．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. B
4. A
5. D
6. B【解析】∵16<23<25，
∴4<23<5，
∴3<23−1<4．
7. D【解析】x−y=1, ⋯⋯①2x+y=5. ⋯⋯②
①+② 得：3x=6，x=2，
将 x=2 代入 ① 得：y=1，
故方程组的解为 x=2,y=1.
8. A【解析】原式=5x+3y−2xx2−y2=3x+yx+yx−y=3x−y．
9. A【解析】∵△ABC 绕点 A 逆时针旋转到 △ABʹCʹ 的位置，
∴ABʹ=AB，∠BʹACʹ=∠BAC=65∘，
∴∠ABʹB=∠ABBʹ，
∵BBʹ∥AC，
∴∠ABBʹ=∠CAB=65∘，
∴∠ABʹB=∠ABBʹ=65∘，
∴∠BABʹ=180∘−2×65∘=50∘，
∴∠BACʹ=∠BʹACʹ−∠BABʹ=65∘−50∘=15∘.
10. C
【解析】当 k>0 时，函数 y=kx 的图象位于一、三象限，
y=kxk≠0 的图象位于一、三象限，② 符合；
当 k<0 时，函数 y=k 的图象位于二、四象限，
y=kxk≠0 的图象位于二、四象限，④ 符合．
11. B【解析】过点 M 作 MP⊥CB 于点 P，连接 AC，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠PBM=12∠ABC=30∘，AB=BC，
∴PM=12BM，
∴AM+12BM=AM+PM，
∵AB=BC，∠ABC=60∘，
∴△ABC 是等边三角形，
∵E 为 BC 边的中点，
∴AE⊥BC，根据垂线段最短可知，AM+PM 的最小值为 AE 的长．
12. D【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 0,2，且关于直线 x=−1 对称，
∴c=2，−b2a=−1，
∴b=2a，
∴y=ax2+2ax+2，
将 x=−2 代入得：4a−4a+2=2，
∴ 方程 ax2+bx+c=2 的一个根是 x=−2，故①正确；
由①可知 y=ax2+2ax+2a<0，
∵x1,0 是抛物线与 x 轴的一个交点，且 1 ∴ 当 x=1 时，y=3a+2>0，当 x=2 时，y=8a+2<0，
∴−23 ∵ 当 m=4 时，方程 ax2+bx+c=m 为：ax2+2ax−2=0，
∴Δ=4a2+8a=4aa+2，
∵ 方程有两个相等的实数根，且 a<0，a=−2，故③正确；
∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca<0 的对称轴是直线 x=−1，
∴ 当 x=−1 时 y 有最大值为：−a+2，且 x=−32 与 x=−12 的函数值相等，
∵ 抛物线开口向下，当 x>−1 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x=0 时，y 的函数值为 2，
∵ 若 −32≤x≤0 时，2≤y≤3，
∴−a+2=3，
∴a=−1，故④正确．
第二部分
13. a3
14. 15
15. 29
16. 第一象限
17. 72
【解析】连接 AE，
∵△ABC 为等边三角形，点 E 是 BC 的中点，
∴AE⊥BD，AC=BC=AB=2，BE=CE=12BC=1，∠ACE=60∘，
∴DC=12BC=1，
在 Rt△AEC 中，AC=2，
∴AE=ACsin60∘=3，ED=EC+CD=2，
由勾股定理可得：AD2=AE2+ED2，
∴AD=7，
∵ 在 Rt△AED 中，F 为 AD 中点，
∴EF=12AD=72．
第三部分
18. （1） 25
【解析】在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC=22+42=25．
（2）
如图所示，取格点 O，H，M，N，连接 HO 并延长分别交 AD，BC 于点 F，E，连接 BN，DM 相交于点 Q，则点 E，F，Q 即为所求
【解析】根据折叠的性质折痕 EF 垂直平分 AC，取 AC 的中点格点 O，
根据 AC 是直角边长分别为 2，4 的直角三角形的斜边，要找过 O 与 AC 垂直的直线需找过点 O 且直角边长分别为 2，4 的直角三角形的斜边．
取格点 H，连接 HO 并延长分别交 AD，BC 于点 F，E，则点 E，F 即为所求．
根据点 D 的对应点为 Q，可知点 D 和点 Q 关于 OH 对称，则 OH 垂直平分 DQ，需 QD∥AC，QF=DF，
取格点 M，N，连接 DM，BN 交于点 Q，可得 DM⊥BN，
故 QD∥AC，且 F 是 PD 的中点，故 QF=FD，则点 E，F，Q 即为所求．
19. （Ⅰ）x≤1
（Ⅱ）x≥−2
（Ⅲ）
（Ⅳ）−2≤x≤1
20. （1） 25
【解析】条形统计图如图所示：
（2） ∵x=6×6+7×12+8×10+9×8+10×440=7.8，
∴ 这组数据的平均数是 7.8 棵．
（3） 320×1240=96（人），
答：约有 96 人植树棵数超过 8 棵．
21. （1） 连接 OC，
∵AB 是 ⊙O 直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠BAC=25∘，
∴∠ABC=90∘−25∘=65∘，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD=90∘，
∴∠ACD=12∠AOD=12×90∘=45∘，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=25∘，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=70∘，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70∘．
（2） 连接 OC，
∵EC 与 ⊙O 相切，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90∘，
∵OD∥CE，
∴∠DOC=∠OCE=90∘，
∵OA=OD=OC，
∴∠OCA=∠BAC=25∘，∠OCD=∠ODC=45∘，
∴∠ACD=∠OCD−∠OCA=20∘．
22. 根据题意，有 ∠BAC=42∘，∠ABC=60∘，
AB=15×2=30（海里），
过 C 作 CH⊥AB，垂足为 H，
设 BH=x，
在 Rt△BCH 中，∠CBH=60∘，
cs∠CBH=BHBC，tan∠CBH=CHBH，
即 cs60∘=xBC=12，tan60∘=CHx=3，
∴BC=2x，CH=3x，
在 Rt△ACH 中，∠CAH=42∘，
tan∠CAH=CHAH，即 tan42∘=3x30−x，
∴x=30tan42∘3+tan42∘≈30×+0.90≈10.27，
∴BC=2x≈20.5（海里）．
答：B 处与灯塔 C 的距离 BC 的长度约为 20.5 海里．
23. （1）
学校一次购买树苗棵10152040在甲林场实际花费元200300400720在乙林场实际花费元200285370710
（2） 根据题意，得 y1=20x,0≤x≤2018x,x>20，
y2=20x,0≤x≤1017x+30.x>10．
（3） 当 x>20 时，得 y1=18x，y2=17x+30，
∴y1−y2=18x−17x+30=x−30，
记 y=x−30．
由 y=0，x−30=0，得 x=30，
由 1>0，得 y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 2030 时，y>0，
因此，当 20当 x=30 时，在甲、乙两个林场一次购买树苗实际花费一样；
当 x>30 时，在乙林场一次购买树苗实际花费较少．
24. （1） 过 A 作 AC⊥OB，垂足为 C，
∵A3,4，B6,0，
∴OC=3，AC=4，OB=6，
∴CB=OB−OC=6−3=3，
在 Rt△ACB 中，AB=AC2+CB2=42+32=5．
（2） （ⅰ）由（Ⅰ）得 OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，
由旋转得 OB=BM，△OAB≌△MNB，
∴∠AOB=∠BMO，∠ABO=∠NBM，
∴∠BMO=∠NBM，
∴BN∥OM．
（ⅱ）过 N 作 NE⊥x轴，垂足为 E，连接 AN，
∵OA∥BN，OA=AB=BN=5，
∴ 四边形 AOBN 是平行四边形，
∴AN∥OB，NE=4，
在 Rt△NBE 中，BE=BN2−NE2=52−42=3，
∴OE=OB+BE=6+3=9，
∴N9,4．
（3） 95≤CP≤9．
【解析】如图，过 B 作 BP⊥AO 于 P，以 B 为圆心 BP 为半径画圆交 BC 于 P1，CP1 为最小值，
此时 S△OAB=12×6×4=12×5×BP，
∴BP=245，
∴BP1=245，
∴CP1 的最小值为 245−3=95，
以 B 为圆心，BO 为半径画圆交 OB 的延长线于 P2，CP2 为最大值，此时 CP2=BC+BP2=3+6=9．
故线段 CP 长的取值范围：95≤CP≤9．
25. （1） 把点 −1,0 和 3,0 代入函数 y=−x2+bx+c，
有 −1−b+c=0,−9+3b+c=0,
解得 b=2，c=3，
∴y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴A0,3，E1,4．
（2） 由 y=−x2+bx+c=−x−b22+4c+b24，得 Eb2,4c+b24，
∵ 点 E 在直线 y=x 上，
∴b2=4c+b24，
∴c=−14b2+12b=−14b−12+14，
∴A0,−14b−12+14，
当 b=1 时，点 A 的位置最高，此时，y=−x2+x+14．
（3） 抛物线经过点 −1,0，有 −1−b+c=0，
∴c=b+1，
∵Eb2,4c+b24，A0,c，
∴Eb2,b+224，A0,b+1，
∴E 关于 x 轴的对称点 Eʹ 为 b2,−b+224，
设过点 A，P 的直线为 y=kx+t，
把 A0,b+1，P1,0 代入 y=kx+t，得 y=−b+1x−1，
把点 Eʹb2,−b+224 代入 y=−b+1x−1，
得 −b+224=−b+1b2−1，即 b2−6b−8=0，
解得，b=3±17，
∵b>0，
∴b=3−17 舍去，
∴b=3+17．