2020年北京市海淀区中考二模数学试卷

这是一份2020年北京市海淀区中考二模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是
A. B.
C. D.

2. 若代数式 1x−2 有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x=0B. x=2C. x≠0D. x≠2

3. 如图，在 △ABC 中，AB=3 cm，通过测量，并计算 △ABC 的面积，所得面积与下列数值最接近的是
A. 1.5 cm2B. 2 cm2C. 2.5 cm2D. 3 cm2

4. 图中阴影部分是由 4 个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在
A. 区域①处B. 区域②处C. 区域③处D. 区域④处

5. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，ED 平分 ∠BEF，且 ∠DEF=70∘，则 ∠B 的度数为
A. 70∘B. 60∘C. 50∘D. 40∘

6. 如果 a2−a−2=0，那么代数式 a−12+a+2a−2 的值是
A. 1B. 2C. 3D. 4

7. 如图，⊙O 的半径等于 4，如果弦 AB 所对的圆心角等于 90∘，那么圆心 O 到弦 AB 的距离为
A. 2B. 2C. 22D. 32

8. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 Pa,b，若 ab>0，则称点 P 为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是
A. y=−x+1B. y=x2−2xC. y=−2xD. y=x2+1x

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 单项式 3x2y 的系数是 ．

10. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，点 D 在 ⊙O 内，则 ∠ACB ∠ADB（填“>”，“=”或“<”）．

11. 下表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：
投篮次数n4882124176230287328投中次数m335983118159195223投中频率
根据上表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为 ．（结果精确到 0.01）

12. 函数 y=kx+1k≠0 的图象上有两点 P1−1,y1，P21,y2，若 y1
13. 如图，在 △ABC 中，AB=BC，∠ABC=120∘，过点 B 作 BD⊥BC，交 AC 于点 D，若 AD=1，则 CD 的长度为 ．

14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 C3,2，将 △ABC 关于直线 x=4 对称，得到 △A1B1C1，则点 C 的对应点 C1 的坐标为 ；再将 △A1B1C1 向上平移一个单位长度，得到 △A2B2C2，则点 C1 的对应点 C2 的坐标为 ．

15. 小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行 18 km，小明每小时骑行 12 km，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时．设他们这次骑行线路长为 x km，依题意，可列方程为 ．

16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，有五个点 A2,0，B0,−2，C−2,4，D4,−2，E7,0，将二次函数 y=ax−22+mm≠0 的图象记为 W．下列的判断中
①点 A 一定不在 W 上；
②点 B，C，D 可以同时在 W 上；
③点 C，E 不可能同时在 W 上．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12−1+2020−π0+3−1−2cs30∘．

18. 解不等式 2x−1<4−x，并在数轴上表示出它的解集．

19. 下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线 l 及直线 l 外一点 P．
求作：直线 PQ，使得 PQ∥l．
作法：如图．
①在直线 l 外取一点 A，作射线 AP 与直线 l 交于点 B；
②以 A 为圆心，AB 为半径画弧与直线 l 交于点 C，连接 AC；
③以 A 为圆心，AP 为半径画弧与线段 AC 交于点 Q，则直线 PQ 即为所求．
根据小王设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（ ）．（填推理的依据）
∵AP= ，
∴∠APQ=∠AQP．
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180∘，∠APQ+∠AQP+∠A=180∘，
∴∠APQ=∠ABC．
∴PQ∥BC（ ）．（填推理的依据）
即 PQ∥l．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x+n=0．
（1）如果此方程有两个相等的实数根，求 n 的值；
（2）如果此方程有一个实数根为 0，求另外一个实数根．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，D 为 AB 边的中点，连接 CD，过点 A 作 AG∥DC，过点 C 作 CG∥DA，AG 与 CG 相交于点 G．
（1）求证：四边形 ADCG 是菱形；
（2）若 AB=10，tan∠CAG=34，求 BC 的长．

22. 坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系．
图 1 反映了 2014∼2019 年我国生活垃圾清运量的情况．
图 2 反映了 2019 年我国 G 市生活垃圾分类的情况．
根据以上材料回答下列问题：
（1）图 2 中，n 的值为 ；
（2）2014∼2019 年，我国生活垃圾清运量的中位数是 ；
（3）据统计，2019 年 G 市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为 0.02 亿吨，所创造的经济总价值约为 40 亿元．若 2019 年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与 G 市的占比相同，根据 G 市的数据估计 2019 年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少．

23. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，⊙O 的切线 BD 交 OC 的延长线于点 D．
（1）求证：∠DBC=∠OCA；
（2）若 ∠BAC=30∘，AC=2．求 CD 的长．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=2xx>0 的图象与直线 y=kxk≠0 交于点 P1,p．M 是函数 y=2xx>0 图象上一点，过 M 作 x 轴的平行线交直线 y=kxk≠0 于点 N．
（1）求 k 和 p 的值；
（2）若点 M 的横坐标为 m．
①求点 N 的坐标（用含 m 的代数式表示）；
②若 △OMN 的面积大于 12，结合图象直接写出 m 的取值范围．

25. 如图 1，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分 ∠BAD，∠B=∠ACD=90∘，AC−AB=1．为了研究图中线段之间的数量关系，设 AB=x，AD=y．
（1）由题意可得 ABAC= AD（在括号内填入图 1 中相应的线段），y 关于 x 的函数表达式为 y= ；
（2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，根据（1）中 y 关于 x 的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质： ；
②估计 AB+AD 的最小值为 （精确到 0.1）．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y=mx2+2mx+3 的图象与 x 轴交于点 A−3,0，与 y 轴交于点 B，将其图象在点 A，B 之间的部分（含 A，B 两点）记为 F．
（1）求点 B 的坐标及该函数的表达式；
（2）若二次函数 y=x2+2x+a 的图象与 F 只有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．

27. 如图 1，等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边上一点，满足 BD（1）依题意补全图 1；
（2）求证：AD=AE；
（3）若点 B 关于直线 AD 的对称点为 F，连接 CF．
①求证：AE∥CF；
②若 BE+CF=AB 成立，直接写出 ∠BAD 的度数为 ∘．

28. 在平面内，对于给定的 △ABC，如果存在一个半圆或优弧与 △ABC 的两边相切，且该弧上的所有点都在 △ABC 的内部或边上，则称这样的弧为 △ABC 的内切弧．当内切弧的半径为最大时，称该内切弧为 △ABC 的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）
在平面直角坐标系 xOy 中，A8,0，B0,6．
（1）如图 1，在弧 G1，弧 G2，弧 G3 中，是 △OAB 的内切弧的是 ；
（2）如图 2，若弧 G 为 △OAB 的内切弧，且弧 G 与边 AB，OB 相切，求弧 G 的半径的最大值；
（3）如图 3，动点 Mm,3，连接 OM，AM．
①直接写出 △OAM 的完美内切弧半径的最大值；
②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧 T．点 P 为弧 T 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，分别交 x 轴和直线 AB 于点 D，E，点 F 为线段 PE 的中点，直接写出线段 DF 长度的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. D
4. B
5. D
6. A
7. C
8. C
第二部分
9. 3
10. <
11. 0.68
12. 1（答案不唯一）
13. 2
14. 5,2，5,3
15. x12−x18=12
16. ①②
第三部分
17. 原式=2+1+3−1−2×32=2.
18. 去括号，得：
2x−2<4−x.
移项，得：
2x+x<4+2.
合并同类项，得：
3x<6.
系数化成 1 得：
x<2.
该不等式的解集在数轴上表示为：
19. （1） 补全图形如图所示．
（2） 等边对等角；AQ；同位角相等，两直线平行
20. （1） ∵ 原方程有两个相等实数根，
∴Δ=0，即 −22−4n=0．
∴n=1．
（2） ∵ 原方程有一个实数根为 0，
∴02−2×0+n=0，即 n=0．
∴ 原方程可化为 x2−2x=0．
∴ 另一个根为 2．
21. （1） ∵AG∥DC，CG∥DA，
∴ 四边形 ADCG 为平行四边形，
∵Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，D 为 AB 边的中点，
∴AD=CD=BD，
∴ 四边形 ADCG 是菱形．
（2） ∵ 四边形 ADCG 是菱形，
∴∠CAG=∠BAC，
∵tan∠CAG=34，
∴tan∠BAC=34，
∴BCAC=34，
∵AB=10，
∴BC=6．
22. （1） 18
（2） 2.1
（3） 2.5×20%=0.5（亿吨），
40÷0.02=2000（亿元/亿吨），
2000×0.5=1000（亿元）．
答：根据 G 市的数据估计 2019 年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是 1000 亿元．
23. （1） ∵DB 是 ⊙O 的切线，
∴∠OBD=∠OBC+∠DBC=90∘，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90∘，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠DBC=∠OCA．
（2） 在 Rt△ACB 中，∠A=30∘，AC=2，可得 CB=ACtanA=233，
∵∠A=30∘，
∴∠COB=2∠A=60∘，
∴∠D=90∘−∠COB=30∘，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30∘，
∴∠DBC=∠OCA=30∘，
∴∠D=∠DBC，
∴CB=CD，
∴CD=233．
24. （1） 依题意，P1,p 在函数 y=2xx>0 的图象上，
可得 p=21=2，得点 P1,2．
将 P1,2 代入直线 y=kxk≠0，得 k=2．
（2） ①由于 M 是函数 y=2xx>0 图象上一点，且点 M 的横坐标为 m，
可得点 M 的纵坐标为 2m．
又 ∵ 过 M 作 x 轴的平行线交直线 y=kxk≠0 于点 N，
得 2m=2x，解得 x=1m，即 N 点坐标为 1m,2m．
② 02．
25. （1） AC；x+12x
（2） 如图所示：
（3） 当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大（答案不唯一）；4.8
26. （1） ∵y=mx2+2mx+3 的图象与与 y 轴交于点 B，
∴ 点 B 的坐标为 0,3．
∵y=mx2+2mx+3 的图象与 x 轴交于点 A−3,0，
∴ 将 A−3,0 代入 y=mx2+2mx+3 可得 9m−6m+3=0．
∴m=−1．
∴ 该函数的表达式为 y=−x2−2x+3．
（2） ∵ 将二次函数 y=mx2+2mx+3 的图象在点 A，B 之间的部分（含 A，B 两点）记为 F，
∴F 的端点为 A，B，并经过抛物线 y=mx2+2mx+3 的顶点 C（其中 C 点坐标为 −1,4）．
∴ 可画 F 如图 1 所示．
∵ 二次函数 y=x2+2x+a 的图象的对称轴为 x=−1，且与 F 只有一个公共点，
∴ 可分别把 A，B，C 的坐标代入解析式 y=x2+2x+a 中．
∴ 可得三个 a 值分别为 −3，3，5．
可画示意图如图 2 所示．
∴ 结合函数图象可知：
二次函数 y=x2+2x+a 的图象与 F 只有一个公共点时，
a 的取值范围是 −3≤a<3 或 a=5．
27. （1） 依题意补全图形．
（2） ∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=∠C=60∘，
∴∠1+∠2=60∘，
∵ 射线 AD 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到射线 AE，
∴∠DAE=60∘，
∴∠2+∠3=60∘，
∴∠1=∠3，
∵∠ABC=60∘，
∴∠ABN=180∘−∠ABC=120∘，
∵BM 平分 ∠ABN，
∴∠4=∠5=60∘，
∴∠4=∠C，
∴△ABE≌△ACD，
∴AD=AE．
（3） ①连接 AF，设 ∠BAD=α，
∵ 点 B 与点 F 关于直线 AD 对称，
∴∠FAD=∠BAD=α，FA=AB，
∵∠DAE=60∘，
∴∠BAE=∠DAE−∠DAB=60∘−α，
∵ 等边三角形 ABC 中，∠BAC=60∘，
∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=120∘−α，
∵AB=AC，AF=AB，
∴AF=AC，
∴∠F=∠ACF，
∵∠FAC=∠BAC−∠FAD−∠BAD=60∘−2α，且 ∠F+∠ACF+∠FAC=180∘，
∴∠ACF=60∘+α，
∴∠EAC+∠ACF=180∘，
∴AE∥CF．
② 20．
28. （1） 弧 G2，弧 G3
（2） ∵ 弧 G 为 △OAB 的内切弧，且弧 G 与边 AB，OB 相切，
∴ 弧 G 所在圆的圆心在 ∠OBA 的角平分线 BI 上．
易知若弧 G 的半径最大，则弧 G 所在圆的圆心 I 在 △OAB 的边 OA 上．
设弧 G 与边 AB，OB 相切分别切于点 O，H．
∴IH⊥AB．
∵A8,0，B0,6，
∴BO=6，AO=8，AB=AO2+BO2=10．
∵∠IOB=∠IHB=90∘，OI=IH，BI=BI，
∴△IOB≌△IHB．
∴BH=BO=6．
∴AH=AB−BH=4，AI=AO−OI=8−OI，OI=HI．
在 Rt△AIH 中，AI2=AH2+HI2，即 8−OI2=42+OI2．
解得 OI=3．
（3） ① △OAM 的完美内切弧半径的最大值为 125；
②线段 DF 长度的取值范围是 35≤DF≤3 且 DF≠4825．